辗转相除法和更相减损法讲义市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

1、求两个正整数最大条约数（1）求25和35最大条约数（2）求49和63最大条约数2、求8251和6105最大条约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35最大条约数为5所以，49和63最大条约数为7

辗转相除法与更相减损术讲义第1页辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和6105最大条约数过程第一步用两数中较大数除以较小数，求得商和余数

8251=6105×1+2146结论：8251和6105条约数就是6105和2146条约数，求8251和6105最大条约数，只要求出6105和2146条约数就能够了。第二步对6105和2146重复第一步做法

6105=2146×2+1813

同理6105和2146最大条约数也是2146和1813最大条约数。为什么呢？思考：从上述的过程你体会到了什么？第2页完整过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135最大条约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37最大条约数，也就是8251和6105最大条约数显然45是90和45最大条约数，也就是225和135最大条约数思索1：从上面两个例子能够看出计算规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0第3页利用辗转相除法求最大条约数步骤以下：第一步：用较大数m除以较小数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0)第二步：若r0＝0，则n为m，n最大条约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1)第三步：若r1＝0，则r0为m，n最大条约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2)……依次计算直至rn＝0，此时所得到rn-1即为所求最大条约数。第4页

辗转相除法是一个重复执行直到余数等于0停顿步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？第5页辗转相除除法程序框图与程序

否是第6页《九章算术》——更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大数减较小数，接着把所得差与较小数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得减数和差相等为止，则这个等数就是所求最大条约数。第7页例3用更相减损术求98与63最大条约数解：因为63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，98和63最大条约数等于7练习2：用更相减损术求两个正数84与72最大条约数。(12)第8页第一步,给定两个正整数,不妨设m>n,第二步,若m,n都是偶数,则不停用2约简,使他们不一样时是偶数,约简后两个数仍记为m,n第三步,d=m-n第四步,判断”d<>0”是否成立,若是,则将n,d中较大者记为m,较小记为n,返回第三步;不然,2^k*d(k是约简整数2个数)为所求最大条约数.更相减损术算法第9页开始输m,n(m>n)K=0m,n为偶数?K=k+1m=m/2n=n/2d=m-nd<>n?d>n?是否m=nn=dd=m-nm=d是输出2^kd结束是否否第10页INPUT“m,n=“;m,nIFm<nTHENa=mm=nn=aENDIFK=0WHILEmMOD2=0ANDnMOD2=0m=m/2n=n/2k=k+1WENDd=m-nWhiled<>nIFd>nthenm=dELSEm=nn=dEndifd=m-nWendd=2^k＊dPRINTdEnd

第11页辗转相除法与更相减损术比较: （1）都是求最大条约数方法，计算上辗转相除法以除法为主，更