小题核心考点完整版练-04计数原理与概率统计-冲刺2024年高考（原卷）

小题核心考点精练04计数原理与概率统计冲刺2024年高考（原卷）题型大全目录【题型一】排列组合综合【题型二】二项式定理【题型三】统计【题型四】统计案例【题型五】概率、概率的性质、事件的关系【题型六】条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式【题型七】随机变量及其分布列知识温习（略）各个击破【题型一】排列组合综合【知识回顾】分类加法计数原理：N=m1+m2+…+mn.2.分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×mn3.排列数公式：Anm=n(n1)(n2)…(nm+1)(m，n∈N*阶乘的相关结论(1)规定：0!=1.(2)Anm=n!(n∈N(3)Anm=n(n1)(n2)…(nm+1)=n!(n−m)!*排列数及其运算1.Anm=n(n1)…(nm+1)=n!(n−m)!Anm=nAn−1m−1=m4.组合数公式与组合数性质1.组合数公式：Cnm=AnmAmm2.规定：Cn3.组合数的性质：Cnm=Cnn−m；【跟踪训练】一、单选题1．（2023·四川雅安·一模）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（

）A．420 B．460 C．480 D．5202．（2024·浙江嘉兴·二模）6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（

）A．180种 B．210种 C．240种 D．360种3．（2324高三上·河北·期末）第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（

）A． B． C． D．【题型二】二项式定理【知识回顾】二项式定理1.概念：公式(a+b)n=Cn0an+Cn1an1b1+…+Cnkankbk+…+2.(a+b)n的二项展开式：Cn0an+Cn1an−1b1+…+Cnk3.二项式系数：展开式中各项的系数Cn4.通项：展开式的第k+1项：Tk+1=Cnkank5.备注：在二项式定理中，若设a=1，b=x，则得到公式：(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+C【跟踪训练】4．（2024·陕西西安·一模）的展开式中的系数为（

）A． B． C．40 D．805．（2024·全国·模拟预测）二项式的展开式中，项的系数为（

）A． B． C．15 D．606．（2024·全国·模拟预测）二项式展开式的常数项为（

）A． B． C．21 D．35【题型三】统计【知识回顾】1.分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i=n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3.频率分布表、频率分布直方图及其相关的计算1.绘制频率分布直方图的注意点(1)各组频率的和等于1.(2)在Oxy坐标平面内画频率分布直方图时，x=样本数据，y=频率组距，这样每一组的频率可以用该组的小矩形的面积来表示，其中矩形的底=组距，高=频(3)同一组数据，组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同.2.由频率分布表或频率分布直方图进行有关计算时，要掌握下列结论(1)小长方形的面积=组距×频率(2)各小长方形的面积之和等于1；(3)频数样本量4.数据集中趋势的估计1.众数、中位数、平均数的定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在最中间位置的数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：如果有n个数x1，x2,…,xn，那么x=1n(x1+x2+…+xn2.总体集中趋势的估计(1)平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.(2)一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.5.数据离散程度的估计1.极差极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.2.方差和标准差(1)方差、标准差的定义：已知一组数据x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为s2=1ni=1n(xix)2=1(2)总体方差和标准差如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则称S2=1Ni=1N(YiY)2为总体方差，S=S2为总体标准差.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2,…,k)，则总体方差为S2=1Ni(3)样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为y，则称s2=1ni=1n(yiy(4)标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.一般情况下，大部分数据落在区间[xs，x+s]内，绝大部分数据落在区间[x2s，x+2s]内.【跟踪训练】7．（2024·四川南充·二模）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（

）A．150 B．180 C．200 D．2508．（2024·上海徐汇·二模）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：x12345y0.50.911.11.5若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（

）A．B．当时，y的预测值为2.2C．样本数据y的第40百分位数为1D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变9．（2024·辽宁·二模）已知一组数据为50，40，39，45，32，34，42，37，则这组数据第40百分位数为（

）A．39 B．40 C．45 D．3210．（2024·陕西西安·模拟预测）某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成，，，，，六组），下列结论中不正确的是（

）A．图中的B．若从成绩在，，内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在内的有3人C．这100名学生成绩的中位数约为65D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2【题型四】统计案例【知识回顾】1.样本相关系数1）.样本相关系数：r=i=12）.样本相关系数r的特征(1)r∈[1，1].(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关.(3)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本

数据的线性相关程度越弱.2.样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征.2.一元线性回归模型1.把式子Y=bx+a+e，E(e)=0，D(e)=3.经验回归方程与最小二乘法1.设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(xi，yi)(i=1，2，…，n)，通

常用各散点到直线y=bx+a的竖直距离的平方之和Q=i=1（1）当a，b的取值为b^（2）将y^=b^x+a^称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b4.残差分析1.对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y^称为预测值，残差=观测值预测值5.回归模型拟合效果的检验1.刻画回归效果的方式(1)残差图法以残差为纵坐标，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.(2)残差平方和法：残差平方和为i=1n(yiy(3)决定系数R2法：R2=1i=1R2越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.6.独立性检验1.假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表所示.XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d则χ2=n(ad−利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.3.χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值如下表所示.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828独立性检验的实质是检验两个分类变量是否相关及相关的程度有多大，其应用过程如下：根据观测数据计算出χ2的值，其值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，在假设X与Y没有关系的前提下，可以通过查阅临界值表得到P(χ2≥xα)，从而得到两变量相关的程度.7.由χ2进行独立性检验1.应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：(1)提出零假设H0：分类变量X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；(3)根据检验规则得出推断结论；(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律.【注】上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整.例如，在有些时候，分类变

量的抽样数据列联表是问题中给定的.8.独立性检验的一般方法分割线【跟踪训练】11．（2024·上海虹口·二模）给出下列4个命题：①若事件和事件互斥，则；②数据的第百分位数为10；③已知关于的回归方程为，则样本点的离差为；④随机变量的分布为，则其数学期望.其中正确命题的序号为（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④12．（2023·福建宁德·二模）5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G的销量也逐渐上升，某商城统计了最近5个月的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y（千只）0.50.81.01.21.5若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（

）A．由题中数据可知，变量y与x正相关B．线性回归方程中C．可以预测时该商场5G销量约为1.72（千只）D．时，残差为13．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列说法不正确的是（

）A．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18B．设一组样本数据，，…，的方差为2，则数据，，.…，的方差为32C．在一个列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大D．已知随机变量，且，则【题型五】概率、概率的性质、事件的关系古典概率：P(A)=kn=n(A)2.概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(⌀)=0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)，此性质可以推广到

多个事件的情况，即如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+

P(A2)+…+P(Am).性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1P(A)，P(A)=1P(B).性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B).3.互斥事件和对立事件互斥事件：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)对立事件：一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为.4.事件相互独立的定义对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.相互独立事件的性质：1）.如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与2）必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立.5.概率关系概率A、B互斥A、B相互独立P(A∪B)P(A)+P(B)1P(A)P(B)P(AB)0P(A)P(B)P(AB1[P(A)+P(B)]P(A)P(B)P(AB∪AB)P(A)+P(B)(A、B互斥时，AB=A，AB=B)P(A)·P(B)+P(A)·P(B)P(AB∪AB∪A11P(A)P(B)6.频率的随机性与稳定性1.频率的随机性：大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.2.频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).分割线【跟踪训练】14．（2024·四川泸州·三模）从3，4，5，6，7这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除的概率是（

）A． B． C． D．15．（2223高三·江西抚州·阶段练习）一袋中有大小相同的个白球和个红球，现从中任意取出个球，记事件“个球中至少有一个白球”，事件“个球中至少有一个红球”，事件“个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（

）A．事件与事件不为互斥事件 B．事件与事件不是相互独立事件C． D．16．（2022·广东·模拟预测）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（

）A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件C． D．17．（2024·福建莆田·二模）若，则（

）A．事件与互斥 B．事件与相互独立C． D．【题型六】条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式【知识回顾】1.条件概率1.定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=P(AB)P(A)2.性质：设P(A)>0，则(1)P(B|A)∈[0，1]，P(Ω|A)=1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1P(B|A).2.概率的乘法公式1.由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称上式为概率的乘法公式.2.推广：(1)若P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).(2)若Ai(i=1，2，3，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An)>0，则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An1).3.全概率公式1.一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=i=1n4.贝叶斯公式*1.设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,…,n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)=P(Ai)P(B|i=1，2,…,n.2.贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知条件和未知条件如下：(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知；(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B).【跟踪训练】18．（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（

）A． B． C． D．19．（2024·甘肃武威·模拟预测）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（

）A． B． C． D．20．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（

）A． B． C． D．【题型七】随机变量及其分布列1.离散型随机变量X的分布列1）.定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.2）.分布列的表格表示Xx1x2…xnPp1p2…pn3）.离散型随机变量分布列具有的两个性质(1)pi≥0，i=1，2，…，n；(2)p1+p2+…+pn=1.2.离散型随机变量的均值1）.定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=i=1nxip称期望.2）.性质：若X是一个离散型随机变量，则有E(aX+b)=aE(X)+b.3.离散型随机变量的方差、标准差1.设离散型随机变量X的分布列如表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn则称D(X)=(x1E(X))2p1+(x2E(X))2p2+…+(xnE(X))2pn=i=1n(xiE(X))2pi为随机变量X的方差，并称随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.*离散型随机变量的方差的性质1.设a，b为常数，则D(aX+b)=a2D(X).2.均值与方差的性质公式：D(X)=E(X2)(E(X))2.4.二项分布1.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1p)n2.二项分布的期望与方差：一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1p).5.超几何分布1.一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件

(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=CMkCN−Mn−kC若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)=nMN若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N，n，M)，则D(X)=nM(N6.正态分布1）.正态曲线：函数f(x)=1σ2）.正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.3）.正态变量在三个特殊区间内取值的概率P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827；P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4）3σ原则1.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.分割线【跟踪训练】二、多选题21．（2023·新疆·一模）已知任一随机变量，若其数学期望，方差均存在，则对任意的正实数，有，即表示事件“”的概率下限估计值为．现有随机变量，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．C．若，则取最大值时或D．若有不低于的把握使，则的最小值为62522．（2024·湖南常德·三模）下列说法正确的是（

）A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7B．样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同C．若随机事件，满足：，则，相互独立D．若，且函数为偶函数，则23．（2022·全国·模拟预测）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的