高考数学一轮复习单元质检7立体几何（B）（含解析）新人教A版

单元质检七立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若圆锥的表面积是底面积的3倍,则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A.2π3 B.C.π D.72.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC,E为BC的中点,则AE·BC等于(A.3 B.2C.1 D.03.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4.又H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形4.如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,∠BAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为()A.2π9 BC.2π3 D5.(2018上海,15)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4 B.8 C.12 D.166.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,平面α过直线BD,α⊥平面AB1C,α∩平面AB1C=m,平面β过直线A1C1,β∥平面AB1C,β∩平面ADD1A1=n,则m,n所成角的余弦值为()A.0 B.12 C.22 D二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在菱形ABCD中,AB=2,∠BCD=60°,现将其沿对角线BD折成直二面角A-BD-C(如图),则异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.

8.已知球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.10.(15分)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.11.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=22,PA=2.(1)取PC的中点N,求证:DN∥平面PAB;(2)求直线AC与PD所成角的余弦值;(3)在线段PD上是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为45°?如果存在,求BM与平面MAC所成的角;如果不存在,请说明理由.

单元质检七立体几何(B)1.C解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图扇形的圆心角为θ,根据条件得πrl+πr2=3πr2,即l=2r,根据扇形面积公式得θπl22即θ=r·2πl2.D解析AE·BC=(AD+DE)·BC=AD·BC+3.B解析如图,由题意,得EF∥BD,且EF=15BDHG∥BD,且HG=12BD故EF∥HG,且EF≠HG.因此,四边形EFGH是梯形.由题可得EF∥平面BCD,而EH与平面ADC不平行,故选B.4.A解析MN=2,则DP=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球面的一部分,则球的体积为V=43π·r3=4∵∠BAD=60°,∴∠ADC=120°,120°为360°的13,只取半球的1则V'=4π5.D解析设正六棱柱为ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以侧面AA1B1B,AA1F1F为底面矩形的阳马有E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F,共8个;以对角面AA1C1C,AA1E1E为底面矩形的阳马有F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C,B-AA1E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共8个.所以共有8+8=16(个),故选D.6.D解析如图所示,∵BD1⊥平面AB1C,平面α过直线BD,α⊥平面AB1C,∴平面α即为平面DBB1D1.设AC∩BD=O.∴α∩平面AB1C=OB1=m.∵平面A1C1D过直线A1C1,与平面AB1C平行,而平面β过直线A1C1,β∥平面AB1C,∴平面A1C1D即为平面∩平面ADD1A1=A1D=n,又A1D∥B1C,∴m,n所成角为∠OB1C,由△AB1C为正三角形,则cos∠OB1C=cosπ6=37.14解析如图,取BD的中点O,连接AO,CO∵AB=2,∠BCD=60°,∴A(0,0,3),B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,3,0),∴AB=(1,0,-3),CD=(-1,-3,0),∴cos<AB,CD>=AB·∴异面直线AB与CD所成的角的余弦值为148.33解析记球O的半径为R,由△ABC是边长为2的正三角形,且O,A,B,C四点共面,易求R=2作SD⊥AB于D,连接OD,OS,易知SD⊥平面ABC,注意到SD=SO2-OD2=R2因此高SD的最大值为232-因为三棱锥S-ABC的体积为13S△ABC·SD=13×34×22所以三棱锥S-ABC的体积的最大值为33×1=39.(1)证明如图,连接BD交AC于点O,连接EO.因为底面ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又因为E为PD的中点,所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP的方向为x轴、y轴、则P(0,0,1),D(0,3,0),E0,设B(m,0,0)(m>0),则C(m,3,0),AC=(m,3,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则n可取n1=3m由题意得n2=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量.由题设|cos<n1,n2>|=12即33+4m2=因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为12三棱锥E-ACD的体积V=1310.(1)证法一如图,取AE的中点H,连接HG,HD.因为G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=12AB又因为F是CD的中点,所以DF=12CD由四边形ABCD是矩形,得AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH.又因为DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.证法二如图,取AB中点M,连接MG,MF.因为G是BE的中点,所以GM∥AE.又因为AE⊂平面ADE,GM⊄平面ADE,所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点,得MF∥AD.又因为AD⊂平面ADE,MF⊄平面ADE,所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF=M,GM⊂平面GMF,MF⊂平面GMF,所以平面GMF∥平面ADE.因为GF⊂平面GMF,所以GF∥平面ADE.(2)解如图,在平面BEC内,过B点作BQ∥EC.因为BE⊥CE,所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC,所以AB⊥BE,AB⊥BQ.以B为原点,分别以BE,BQ,BA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E因为AB⊥平面BEC,所以BA=(0,0,2)为平面BEC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量,由题意,得AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-1).由n取z=2,得n=(2,-1,2).从而cos<n,BA>=n·所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为2311.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).(1)证明:PC中点N(0,0,1),∴DN=(1,0,1).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),可得n=(0,1,0).∵DN·n=0,DN⊄平面PAB,∴DN∥平面PAB.(2)设AC与PD所成的角为θ.∵AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2),∴cosθ=22(3)设M(x,y,z)及