2020-2021学年南昌十中高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年南昌十中高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.2、已知i是虚数单位，a,beR,贝I]"a=8=1”是“（a+次＞=2?”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是

)

A.

正（主）视图侧（左）视图

B.8

C.10

俯视图

D.12

3.若4是直线m外一点，过点4且与m平行的平面（）

A.存在无数个B.不存在

C.存在但只有一个D.只存在两个

4.在棱长为2的正方体4BCD—中，点P是正方体棱上的一点，若满足|PB|+\PDr\=爪的

点P的个数大于6个，则小的取值范围是（）

A.(2V3,2V5)B.(2V3,2V5]C.(2代,2+2a)D.[2遮,2+2夜)

5.如图，已知某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图

是边长为2的正方形，那么它的体积是（）

4

A.

3

B.8

3

C.4

D.16

3

6.有两个命题：命题p：正方形的四个角相等，命题q：正方形的四条边相等.则下列判断错误的是

()

A.新命题“0且勺”是真命题B.新命题“p或q”是真命题

C.新命题“非P”是假命题D.新命题“「或勺”是假命题

7.如图，在正方体4BCD—4BiCiDi中，E为①加上的点，尸为CQ上的点，■「

则下列直线中一定与EF垂直的是（）4丁丁产

A.AC/

B.BD

彳%

C.4也

D.ArA

8.已知后为椭圆C4+g=l（a>h>0）的左焦点，直线2过椭圆的中心且与椭圆交于4B两点.若

以48为直径的圆过鼻，且袤<"AB等，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A.停净B.除1)C.(0.|]D.[i,|]

9.在四棱锥4-BCDE中，△ABC是边长为6的正三角形，8CDE是正方形，平面ABC_L平面BCDE,

则该四棱锥的外接球的体积为（）

A.21V217TB.84兀C.7V217TD.28V21n

10.下列命题中，正确的是（）

A.若a〃b,bua,则a〃aB.若a〃oc,bca,贝1|a〃匕

C.若。〃戊，b//a,则（1〃6D.若a〃b,b//a,a(ta,则。〃戊

11.空间四边形ABC。的四边相等，则它的两对角线AC、BO的关系是（）

A.垂直且相交B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交D.不垂直也不相交

12.已知一个圆锥的母线［与底半径r满足产+1=5,则当圆锥表面积最大时，它的母线与底面所成

的角的余弦值为（）

A.-B.-C.小D.正

4444

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.命题“$xER,x<1或％>4"的否定为.

14.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上若这两个

正四棱锥的体积之比为1：2,则该球的表面积为.

22

15.若椭圆C：京+a=1缶>6>0）与圆G：比2+y2=9和圆。2：/+f=8均有且只有两个公

共点，则椭圆C的标准方程是.

16.四面体48C。的四个顶点都在球。的球面上，AB=4,BC=CD=2,^BCD=120",AB_L平面

BCD,则球。的表面积为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为47n2,互相平行的两个侧面的距

离为2m,则这个六棱柱的体积为,并说明理由.

A.37n3c.i27n3。.以上都不对

18.已知p：(%+2)(%—10)>0,q：[x-(1—m)][x—(1+m)]<0,(m>0),若q是”的充分

不必要条件，求实数血的取值范围.

19.四棱柱ABCD-的直观图和三视图如下图所示，其正(主)视图、侧(左)视图为矩形，俯

视图为直角梯形.

(/)求证：BC1平面&AC；

(n)若异面直线与BC所成的角为60。，求二面角a-A1C-。的大小.

□

20.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是屏=僦磔酹嚼’,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建

I1弱

富:=——离得瞬

立平面直角坐标系，直线/的参数方程是：■!莫(席是参数).

I通.

IFF

(1)将曲线c的极坐标方程和直线也参数方程转化为普通方程；

(〃)若直线/与曲线C相交于4、B两点，且|/瞬|=、再，试求实数捌:值.

21.已知正四棱台上底面边长为4cm,侧棱和下底面边长都是8czn,求它的全面积.

22

22.2知椭圆C；京+£=l(a>b>0)经过点4―2,0),B(0,-l).

(I)求椭圆C的方程及其离心率；

(II)若P为椭圆C上第一象限的点，直线P4交y轴于点M,直线PB交工轴于点N.求证：四边形M4BN的

面积S为定值.

参考答案及解析

L答案：A

2T1一ja—6=0a=1I、a=-11、।“.«日

因为(a+5)2=a2-b^+2abi,：.<=><",，所以a=b=l是

解析:2a6=26=1i=-l

“（a+历了=2i”的充分不必要条件，故答案A.

2.答案：C

解析：试题分析：此四面体为三棱锥，底面为直角三角形一直角边长为4,另一边长为3。棱锥的一

条侧棱垂直与底面，垂足为底面边长为4的直角边与直角边的交点，棱锥高为4。所以面积最大的侧

面为垂直与底面的侧棱和底面直角边构成的直角三角形，面积为潟4函第次琳=：3»。故C正

确。

考点：三视图和空间几何体间的关系。

3.答案：A

解析：解：4是直线m外一点，

由线面平行的性质得：过点4且与小平行的平面有无数个.

故选：A.

由线面平行的性质得：过点a且与小平行的平面有无数个.

本题考查满足线面平行的平面的个数的判断，考查线面平行的性质等基础知识，考查空间想象能力

等数学核心素养，是基础题.

4.答案:D

解析：解：分类讨论：①•••正方体的棱长为2,

BD]=2V3>

•••点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+\PDr\=2V5,

・・•点P是以2c=2百为焦距，以。=逐为长半轴，以鱼为短半轴的椭圆，

•••P在正方体的棱上，・•.P应是椭圆与正方体与棱的交点，

结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满

足条件.

二满足|PB|+\PDr\=2%的点P的个数为12个.满足条件.

②8个顶点中，除了B,%两个以外的6个顶点满足|PB|+IP。/=2+2近，且是正方体棱上的所有

点中的最大值，只有这6个顶点.

因此除了以上6个顶点以外的点满足：|PB|+\PD1\<2+2V2,

不难得出满足条件：2代<\PB\+IPDJ<2+2企的点P都满足|PB|+\PD1\=m的点P的个数大于

6个，

由选择支可得只能选择D.

故选：D.

首先说明①：满足条件|PB|+IPDJ=2而的点P有12个，符合题意.再说明：②8个顶点中，除了

8,%两个以外的6个顶点满足|PB|+IP。/=2+2近，且是正方体棱上的所有点中的最大值，只有

这6个顶点.因此除了以上6个顶点以外的点满足：|PB|+\PDr\<2+2夜，不难得出满足条件：2代<

\PB\+\PDr\<2+2夜的点P都满足|PB|+\PDr\=m的点P的个数大于6个，结合选择支即可得出

结论.

本题考查了正方体的性质、椭圆的意义、数形结合方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能

力，属于难题.

5.答案：B

解析：

本题考查的知识点是棱锥的体积，简单几何体的三视图，难度基础.

由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案.

解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

其底面的面积S=2x2=4,高八=2,

故四棱锥的体积M=?S/i=|,

故选艮

6.答案：D

解析：解：命题p：正方形的四个角相等，为真命题，

命题q：正方形的四条边相等，为真命题，

则“p且q”是真命题，故A正确，“p或q”是真命题，故2正确，D错误，

非P”是假命题，正确，故C正确，

故选：D.

先判断命题p,q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.

本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题的真假是解决本题的关键，是基础题.

7.答案：B

解析：解：由正方体的性质可知，平面4BCD,

A±A1BD,

X---BDLAC,^.A^AOAC=A,

BD_L平面ZiACCi，

又EF1平面&acci，

・•・BD1EF,

故选：B.

利用线面垂直的判定定理可得BD，平面4送"1，又EF1平面4遇"1，所以BD1EF.

本题主要考查了线面垂直的判定定理，是基础题.

8.答案：A

解析：解：设“4B=。，则套＜。号，

由以2B为直径的圆过尻，可得|4。|=田。|=。0|=c,即|2B|=2c,

在直角三角形中，|4&|=2ccos0,ISFJ=2cs讥。，

由椭圆的对称性可得+田&|=2a=2ccos6+2csin9=2c-V2sin(0+-),

4

_c1

即有te=Z=两哂，

由今＜。等，可得/sin(8+a)e停,或］,

则ee停冷,

故选：A.

设N&AB=e,由以AB为直径的圆过F1，可得|40|=\B0\=。&|=c,即|AB|=2c,运用直径所对

的圆周角为直角，以及锐角三角函数的定义，以及辅助角公式，结合离心率公式可得所求范围.

本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及直角三角形的锐角三角函

数的定义，辅助角公式和正弦函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题.

9.答案:D

解析：解：四棱锥4-BCDE中，△ABC是边长为6的正三人

角形，BCDE是正方形，平面ABC_L平面BCDE,/

如图所示：AABC是边长为6的正三角形，/4,

所以△ABC的中心到8C中点的距离为弓X、62-32=遮,__________C

所以。B=J（3夜）2+（遮）2=&T'

所以17=（X兀X（V21）3=28V217T,

故选：D.

首先求出几何体的球心，进一步求出球的半径，最后求出球的体积.

本题考查的知识要点：几何体的外接球的球心的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维

能力，属于基础题型.

10.答案：D

解析：解：对于4若4/b,6ua,则a〃a或aua,故A错误；

对于B,若a“a,bua,则a与b平行或异面，故B错误；

对于C,若。〃戊，b//a,则a与b相交、平行或异面，故C错误；

对于若a〃b,b//a,a<ta,则由线面平行的判定定理得a〃a,故。正确.

故选：D.

对于4a〃a或aua；对于8,a与b平行或异面；对于C,a与b相交、平行或异面；对于D,由线面

平行的判定定理得a〃a.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证

能力，是中档题.

11.答案：C

解析:

本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题.

取8。中点E,连接4E、CE,由已知条件推导出BD，平面4EC,从而得到BC2C.

解：取BD中点E,连接AE、CE.

AB=AD=BC=CD,AEA.BD,CE1BD,且4E、CE为平面ACE内两条相交直线，

•••BD，平面4EC.

又ACu平面4EC,BDVAC,

又AC,BD显然不相交，

故AC,BD垂直但不相交，

故选C.

A

12.答案：A

解析：解：一个圆锥的母线/与底半径丁满足产+1=5,

圆锥表面积为：S=7r(r2+1x2rxZ)=—7r(r3—r2—5),

Sr=-3nr2+2TIT+5TT,令S'=0可得丁=-1或丁=|,

rG(0,|),函数是增函数，丁时，函数是减函数，

5

丁=9时，函数取得最大值，此时：=-Vr=7-

所以与底面所成的角的余弦值为：

4

故选：A.

利用已知条件求出圆锥的表面积，通过函数的导数求解函数的最大值，得到r,然后求解母线与底面

所成的角的余弦值.

本题考查直线与平面所成角的求法，函数的最值的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计

算能力，是中档题.

13.答案：VxSR,l<jr=^4.

解析：由题意得，已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题，

故答案为：VxGR,1<A<4.

14.答案：367r

解析：

根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为球的直径，结合底面边长为4,则底面截球所得

圆的半径为2,结合勾股定理求出球半径可得球的面积.

本题给出两个正四棱锥有公共的底面，求外接球表面积，考查了正四棱锥的性质和球内接多面体等

知识点，属于中档题

解：•••两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为1：2,

•••两个正四棱锥的高的比也为1：2

设两个棱锥的高分别为X,2X,球的半径为R

则X+2X=3X=2R

即R=竽

球心到那个公共底面距离是?，

又,••底面边长为4

•••废=(当2=(>+22,

解得X=V2

3V2

R=—-—

该球的表面积S=4兀/?2=36TT

故答案为：36兀

15.答案：3+5=1

98

22

22

解析：解：椭圆C：京=l(a>b>0)与圆Cl：%+y=9^0672：/+y2=8均有且只有两

22

个公共点，所以a=3,b=2®所以椭圆方程为：卷+三=1，

故答案为：立+比=1.

98

利用已知条件求出椭圆的半长轴与半短轴的长，即可得到椭圆方程.

本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查，基

础题.

16.答案：327r

解析：

本题考查三棱锥的外接球知识，考查空间想象能力，属于中档题.

作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积.

解:记△BCD的夕卜心为G,

•••BC=CD=2,乙BCD=120",

BD=14+4-2X2X2X（一号）=2V3.

口厂12V3Q

***BG=—X--1=-=2

2叵,

2

过G作的平行线与4B的中垂线H。交于。,

则。为四面体ABCD的外接球的球心，即R=OB,

•••R=V4+4=2V2.

四面体ABCD外接球的表面积为：4TTR2=327r.

故答案为327r.

17.答案：B

解析：解：设正六棱柱的底面边长为am,高为历n,

・•,正六棱柱的最大对角面的面积为47n2,

2ah=4m2,BPah=2m2,

,•・互相平行的两个侧面的距离是2zn,

2x—<2=2>解得a=

23

正六边形的面积=6x-xax—a=—a2(m2)»

222v7

・,・正六棱柱体积=正六边形面积x高

3V3

=xaxah

3V32V3

=——x——x2

23

=6(m3).

故选：B.

设正六棱柱的底面边长为cun,高为/un,推导出。/1=2血2,。=空1由此能求出正六棱柱体积.

37TB

本题考查六棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题.

18.答案：解：p：(%+2)(x—10)>0,

••・p：x<—2或%>10,

・•・~p：—2<x<10,

q：[%—(1—m)][x—(1+m)]<0,(m>0)

q：1—m<x<l+m,

,•eq是”的充分不必要条件，

m>0

1+m<10,解得0<TH<3,

1—m>—2

・•・实数瓶的取值范围为(0,3]

解析：解不等式可得”：-2<%<10,q：l-m<x<l+m,由q是”的充分不必要条件可得

血的不等式组，解不等式组可得.

本题考查充要条件，涉及不等式组的解集，属基础题.

19.答案：0

解：(/)由题知4遇，平面48C。，所以AiALBC,

取AB的中点E,连接CE,DE,易证得BE〃CD,且BE=CD,所以四边形4BCD为直角梯形,AB1DA,

又因为48=2DC,AB//DC,所以AB1CE,S.AB=2CE,

所以平行四边形4DCE是正方形，

因止匕所以BC_L4C,

因为ClAC=2,

所以BC1平面44C

(〃)由(/)知2。，AB,A4i两两垂直，故分别以AD,AB,所在方向为X轴，V轴，Z轴建立空间直

角坐标系，且DC=1,设(O,O,z)(z>0),

则由题设条件知4(0,0,0),B(0,2,0),C(l,l,0),D(l,0,0)

.•.飞=(1,1,—z),砸=(1,0,—z),BC=

因为异面直线&D与BC所成的角为60。，

所以|cos(旅，初>|=萧需=%解得z=l

设沆=(a,b,c)为平面&DC的一个法向量，贝嚅,熬二；，即｛:骁：；=0，解得b=0

设。=1,贝!Jc=1,所以沅=(1,0,1)

由(/)知能=(1,一1,0)为平面4/C的一个法向量，

,-、m:BClxl-lxO+Oxl1

cos<m,BC>=—-=r=-----尸一——=-

\m\\BC\V2xV22

由图知二面角/—A^C—。为锐角

所以二面角a-ArC-。的大小为60°

解析：(/)由题意，可先证BC与平面44C中两个相交线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得出所

要证的结论；

(〃)考查本题的图形，存在同一点出发的三个两两垂直的线段，故可建立空间直角坐标系，利用空间

向量求出二面角a-&c-。的大小.

20.答案：(/)背=x-w.；(〃)痴=避或.=1。

解析：试题分析：(/)曲线C的极坐标方程是瞬=锄酶贯谈化为直角坐标方程为：

直线4的直角坐标方程为：1=x-w：..........................5分

(口)解法一：由(1)知：圆心的坐标为(2,0),圆的半径R=2,

二,圆心到直线I的距离潇=,卜*一心恒科=立

.|R—'t—w|||'反嘲’.«I.MI

■■■----后一=—:qI»|||=.l.

:,W=涯或拗=；3..........................10分

后.

I般=:〃、也卡立秘

解法二：把《当（席是参数）代入方程富3#金铲-崛=叽

得铲卡麻燧加一鸣解卡减产-4w：=®,

二簟十与=：—、愿物”：一邀:精眄=题:"—4w：-

,」./啜H除一%1卜拗115/一嫡%

=出心融-磔®-畿镣-4碱=国

*->翻,*=亚或%M=；.蠹.....……1。分

考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程与直角坐标方程的互化；直线与圆的位置关系。

点评：将参数方程化为普通方程主要就是消去参数，消去参数常用的方法是代入消元法和利用三角

恒等式消去参数，有事需要把式子变形才能消去参数。

21.答案：解：如图所示的一个侧面四边形，分别过点4B作AE1DC,人B

BF1DC,垂足分别为E,F.\：\

则四边形48EF为矩形./!：\》

DEFC

：.EF=AB=4,DE=CF=2.

AE=<AD2-DE2=2V15.

•••等腰梯形48C。的面积S=（4+8）x2.,

2

二正四棱台的全面积S=4X（4+8）x2属+42+82=48V15+80cm2.