2024高考数学常考题型第3讲 导数中八大切线问题题型总结（解析版）

2024高考数学常考题型精华版第3讲导数中八大切线问题题型总结

【考点分析】

考点一：曲线在点P（Xo，/Go））处的切线方程

①把切点的横坐标与带入导函数/'（X）,得左=f'M

②又因切点为。（叫）,/（/））,利用点斜式直接写出切线为＞-/（x0）=fXx.Xx-x.）

考点二：过一点4（九〃）的切线方程

①设切点为P5,%）,则斜率k=f\x0）

②利用切点和斜率写出切线方程为：y-%=r（x0）（x-%）,

③又因为切线方程过点A（m,〃），点入切线得”-%=（（%）（〃2-%）然后解出/的值.（x0有几个值，就有

几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目是在点P处（P为切点），还是过点P的切线（P不一定为切点）

【题型目录】

题型一：导数与切线斜率的关系

题型二：在点P处切线（此类题目点P即为切点）

题型三：过点P的切线（此类题目点尸不一定为切点，需要设切点为（%,%））

题型四：已知切线求参数问题

题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）

题型六：公切线问题

题型七：切线平行、垂直、重合问题

题型八：与切线相关的最值问题

【典例例题】

题型一：导数与切线斜率的关系

【例1】（2022•全国•高三专题练习（文））函数y=f（x）的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）

A.0＜八2)＜八3)＜/(3)-〃2)

B.0<f'(2)</(3)-/(2)〈八3)

C.0</z(3)</(3)-/(2)<r(2)

D.0</(3)-/(2)</,(2)</,(3)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.

【详解】

如图所示，根据导数的几何意义，可得了'(2)表示切线《斜率匕>0,

r(3)表示切线4斜率%>0,

又由平均变化率的定义，可得里二警=/(3)-/(2),表示割线4的斜率网，

3—2

结合图象，可得0<&<&<占,即0〈(⑶<〃3)-/⑵<r(2).

【例2】函数y=/(x)的图象如图所示，/'(X)是函数“X)的导函数，则下列大小关系正确的是()

24x

A.2/-（4）＜/（4）-/（2）＜2/-（2）B.2/f(2)</(4)-/(2)<2/'(4)

C.27-（4）＜2/1（2）＜/（4）-/（2）D./（4）-/（2）＜2/-（4）＜2/（（2）

【答案】B

【解析】

【分析】

由导数的几何意义判断

【详解】

由图象可知/（X）在（0,+8）上单调递增，k[＜kAB＜k2,

故A2）＜/（^~｛（2）＜;（4）,即2/1（2）＜/（4）-/（2）＜2r（4）

故选：B

【题型专练】

1.（2021•福建・泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数f（x）的图象如图所示，/'（X）是f（x）的

导函数，则下列数值的排序正确的是（）

B./'（3）＜/（3）-/（2）

c.r(2)</0)-/(2)D./（3）-/（2）＜0

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义可得r⑵＞/'⑶，记A（2,”2））,8（3,43））,作直线AB,根据两点坐标求出直线

AB的斜率，结合图形即可得出/（3）-/（2）＞/（3）.

【详解】

由函数的图象可知函数/（x）是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象

可知，函数图象在x=2处的切线斜率匕大于在x=3处的切线斜率%所以〃2）＞/'⑶；

记A（2,〃2））,B（3,/（3））,作直线A3,则直线A2的斜率人=小匕乂9=/（3）-/（2）,由函数图象，

3—2

可知K>%>a>o，

即r（2）＞“3）­（2）＞r（3）＞0.

故选：AB

2.（2022.黑龙江齐齐哈尔.高二期末）函数y=的图象如图所示，,盟x）是函数/（x）的导函数，则下列

数值排序正确的是（）

A.2/(3)<f(5)-/(3)<2/(5)B.2/(3)<2r(5)</(5)-/(3)

C./(5)-〃3)<2((3)<205)D.2/(3)<2/(5)</(5)-/(3)

【答案】A

【分析】由y=/(x)图象的变化趋势，结合导函数的定义有/(3)<智誓</(5),即可得答案.

【详解】由图知：/，(3)</(5^~{(3)<r(5),即2r(3)<〃5)—/(3)<2:(5).

故选：A

题型二：在点P处切线(此类题目点P即为切点)

【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线y=ae'+xlnx在点(1屎)处的切线方程为y=2x+b,则

A.a=e,b=-\B.a=e,b=\C.a-e'',b=\D.a=e',b=-1

【答案】D

【解析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得“，将点的坐标代入直线方程，求得以

【详解】

详解：y'=ae*+lnx+l,

k=)口曰=四+1=2,a=e-'

将(U)代入y=2x+6得2+b=l,6=-l,故选D.

【点睛】

本题关键得到含有。，的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.

【例2】(2022・全国•高三专题练习(文))已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=-2丁+3,1-f⑴x,

则函数f(x)的图象在点(-2,〃-2))处的切线的斜率为()

A.-21B.-27C,-24D.-25

【答案】A

【解析】

【分析】

求导数得出了'⑴，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算r(-2)即可.

【详解】

/(X)是奇函数，

f(-%)=2x3+3ax2+=-f(x)=2x3-3ax2+f'O)x,所以a=0,

/(x)=-2x}-f'Wx,尸(x)=-6x2-.f(l),

所以广⑴=一6一/'(1),,f(l)=-3,即1(x)=-6/+3,

/,(-2)=-6X(-2)2+3=-21.

故选：A.

【例3】(2022•河南省浚县第一中学模拟预测(理))曲线y=xln(2x+5)在工=_2处的切线方程为()

A.4x-y+8=0B.4x+y+8=0

C.3x—y+6=0D.3JC+>>+6=0

【答案】B

【解析】

【分析】

将x=-2代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.

【详解】

解：因为y=xln(2x+5),所以了=[xln(2x+5)]'=ln(2x+5)+^|^,所以

又当x=-2时，y=xlnl=0,故切点坐标为(—2.0),所以切线方程为4x+y+8=0.

故选：B.

【例4】过函数f(x)=]e2*-x图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为()

,•内B・[电信，

TTd(小

【答案】B

【解析】

【分析】

求得尸(x)=e2"l,根据指数函数的性质，得到即切线的斜率&>-1,进而得至hanO>-l,即

可求解.

【详解】

由题意，函数/(x)=；e2'-x,可得r(x)=e2，—1,

因为e?、〉。，所以/，—1>一1,即切线的斜率左>一1,

设切线的倾斜角为。，则tand>-l

又因为所以或,<6<万，

即切线的倾斜角的范围为°，1)u

故选：B.

【例5】(2022•安徽・巢湖市第一中学模拟预测(文))曲线>=三詈在点(1⑼处的切线方程为匕-“6=0,

则女的值为()

A.—1B.——C.gD.1

【答案】A

【解析】

【分析】

依据题意列出关于。、b、上的方程组，即可求得女的值

【详解】

由切点(1,6)在曲线上，得6=”①；

由切点(18)在切线上，得&-力+6=0②；

对曲线求导得y=雨了，...y'L=^=3即4-a=%③，

.2+a

b-------

3a=13

联立①②③&-匕+6=0,解之得<b=5

4-a=9kk=-\

故选：A.

[/(2)2->0

I---X—A,A->U

【例6】（2022.江西•丰城九中高二期末（理））已知函数/（x）=图像关于原点对称，则f（x）

[g(x)，x<0

在x=-I处的切线方程为（）

A.3x-y+2=0B.3x-y-2=0C.3x+y+4=0D.3x+y-4=0

【答案】A

【分析】令x=2先求出〃2）的值，再利用函数关于原点对称可求出g（x）,再利用导函数的几何意义即可求出

在犬=-1处的切线方程.

【详解】由题意知：〃2）=牛x2J2nf⑵=6.

2x2-x,x>0

所以f(x)=,

g(x),x<0

令x<0,则-x>0.

所以f(-x)=2x2+x.

又函数f(x)图像关于原点对称，即/(-x)=-/(x).

所以当x<0时，/(x)=-2x2-x.

所以当x<0时，r(x)=-4x-l.

尸(T)=4-l=3J(-l)=-2+l=-l；

所以f(x)在x=-l处的切线方程为：y+l=3(x+l)=3x-y+2=0.

故选：A.

【题型专练】

1.【2018年新课标1卷理科】设函数/（x）=d+（a-l）Y+ar.若/（x）为奇函数，则曲线y=〃x）在点（0,0）

处的切线方程为（）

A.y=-2xB.y=TC.y=2xD.V=x

【答案】D

【解析】

【详解】

分析：利用奇函数偶次项系数为零求得。=1，进而得到/*）的解析式，再对/*）求导得出切线的斜率3

进而求得切线方程.

详解：因为函数/（X）是奇函数，所以。-1=0,解得〃=1,

所以f(x)=*3+X,f\x)=3x2+1,

所以/'(0)=1J(0)=0,

所以曲线y=/(x)在点(o,o)处的切线方程为y-f(o)=/'(0)x，

化简可得丫=》，故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线y=/(x)在某个点(X。，“/))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需

要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求

得相应的参数值，之后利用求导公式求得尸食)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

2r-1

2.【2021年甲卷理科】曲线丫=上一在点(T-3)处的切线方程为.

x+2

【答案】5x-y+2=0

【解析】

【分析】

先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.

【详解】

由题，当x=—l时，y=-3,故点在曲线上.

2(x+2)-(2x-l)5

求导得:所以川i=5.

(x+2)2(x+2)2

故切线方程为5x-y+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

3.【2019年新课标1卷理科】曲线y=3(x2+x)e”在点(0,0)处的切线方程为.

【答案】3x-y=0.

【解析】

【分析】

本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

【详解】

详解：y=3(2x+l)e'+3(x2+x)ex=3(x2+3x+l)ex,

1

所以，k=y|A=0=3

所以，曲线y=3(x2+x)e,在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.

【点睛】

准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误.求导要"慢”，计

算要准，是解答此类问题的基本要求.

4.【2018年新课标2卷理科】曲线y=21n(x+l)在点(0,0)处的切线方程为.

【答案】y=2x

【解析】

【分析】

先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.

【详解】

22

y'=-----k=--------=2y=2x

x+10+1

【点睛】

求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线''的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点,

点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

5.【2018年新课标3卷理科】曲线y=(or+l)e'在点(0,1)处的切线的斜率为一2,则。=.

【答案】-3

【解析】

【分析】

求导，利用导数的几何意义计算即可.

【详解】

解：y'=aex+(^ax+l^e'

贝i］f'(O)=a+l=-2

所以a=-3

故答案为-3.

【点睛】

本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题

题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为(%,%))

【例1H2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,

［答案］y=-xy=--x

ee

【解析】

【分析】

分4>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为（xo，lnx°）,求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而

表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出即可求出切线方程，当x<0时同理可得；

【详解】

解：因为y=ln|x|,

当%>0时y=Inx,设切点为Oo，lnxo）,由y'=所以y'lx=&=所以切线方程为y-lnx0=白0-质），

Xv-*ox0

又切线过坐标原点，所以Tnxo=!（-%o）,解得g=e，所以切线方程为y-1=-e），即y=2x；

x°ee

当x<0时y=ln（-x）,设切点为（%i，ln（-Xi））,由;/==,所以y'lx=z=[，所以切线方程为y-InJxJ=

*（*-*1）

又切线过坐标原点，所以一也（一%1）=5（-%1）,解得匕=一所以切线方程为y—i=Z（x+e）,即、=一工

~ee

%；

故答案为：y=[x；y=--x

ee

【例2】（2022•四川・广安二中二模（文））函数〃x）=£e*过点（0,0）的切线方程为（）

A.y=0B.ex+y=0C.y=0或x+ey=0D.y=0或ex+y=0

【答案】C

【解析】

【分析】

设切点（也疝e"'）,利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过（0,0）代入求参数，小即可得切

线方程.

【详解】

由题设F'（x）=（2x+x2）e*,若切点为（m,Me"'）,则:（加）=（2加+病门,

2

所以切线方程为y-nre=（,2m+m）e"'（x-in）,又切线过（0,0）,

则,〃%"'=（2+〃?），〃％”',可得=0或m=-1,

当帆=0时，切线为y=0；当m=-l时，切线为ey-l=-（x+l）,整理得x+ey=0.

故选：C

【例3】（2022.四川省成都市郸都区第一中学高三阶段练习（文））若过点（；,0）的直线与函数/（x）=xe'的

图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（）

A.e+1B.—C.1D.；

22

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点§,0）代入方程，解出切点坐标即可完成求解.

【详解】

因为函数Ax）=xe',所以尸（x）=（x+l）e*,

设切点为（％,入户”）,则切线方程为：y-x<>e""=（Xo+l）e&（x-Xo）,

将点（；,0）代入得-々优=（%+1把%（；-/）,

即-Xo=（Xo+l）（；-Xo）,解得%>=-；或%=1,

所以切点横坐标之和为-g+1=g

故选：D.

【例4】（2022广东・佛山市南海区九江中学高二阶段练习）直线>=夫-〃与曲线>=-]+1111相切，则6的

值为（）

A.2B.-2C.-1D.1

【答案】D

【分析】求出？=-1+-,设切点（%,%）,由y'（%）=；求出（%,%）,代入y=可得答案.

【详解】>'=-4+1，设切点（七,%），由=,

2X2演）2

所以%=l,%=-g,代入y=；x-Z?,得人=1.

故选：D.

【题型专练】

1.（2022・陕西安康•高三期末（文））曲线y=2xlnx+3过点的切线方程是（）

A.2x+y+\=0B.2x—y+1=0

C.2x+4y+l=0D.2x-4y+l=0

【答案】B

【解析】

【分析】

设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.

【详解】

由题意可得点（-；，（））不在曲线>=2xlnx+3上，

设切点为（毛,%）,因为y'=21nx+2,

所以所求切线的斜率，=21n/+2=-^=^］，

xo+2

所以为=2X（）In/+2%+In须）+1.

因为点（%，%）是切点，所以％=2x0In%+3,

所以2%）In/+2%+Inx（）+1=2x0Inx0+3,即2x（）4-Inx0-2=0.

设/（x）=2x+lnx—2,明显〃x）在（0,+8）上单调递增，且/（1）=0,

所以2%+In/-2=0有唯一解%=1,则所求切线的斜率k=2,

故所求切线方程为），=2（x+g）=2x+l.

故选：B.

2.（2022.广东茂名.二模）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，则切点的纵坐标为（）

-11

A.eB.1C.~f=D.-

yjee

【答案】B

【解析】

【分析】

设出切点尸（事,ln%）（x0>0）,利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出

即可.

【详解】

解：设切点P（%,>0）,

由y=lnx,得歹=2，所以y'L=&='"，

x"X。

...曲线在点尸处的切线I方程为y-In/=—(x-x0),

又/过(0,0),，-In/-,解得%=e,

.••切点尸(e,l),纵坐标为1.

故选:B.

3.过点(0,-1)作曲线/(x)=xlnx的切线，则切线方程为

A.x+y+l=0B.x-y-\=0

C.x+2y+2-0D.2x-y-l=0

【答案】B

【解析】

设切点为(%，%)，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.

【详解】

f\x)=lnx+\,

设切点为(%，%),，%=4111面,

Vn+1

二------Inxo+1,

%

/.xolnxo+1-xolnxo+xo,.*.xo=l,.*.yo=O,

所以女=r(4)=i,

切线方程为y=x-l,即x-y-l=O,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4.已知/(x)=V,则过点P(-l,0)且与曲线y=/(x)相切的直线方程为()

A.>=0B.4x+y+4=0

C.y=0或4x+y+4=0D.y=O或4x-y+4=0

【答案】C

【解析】

设切点为(%,%)则切线方程为y-片=2毛(x-毛)，将点P(-1,0)代入解％,即可求切线方程.

【详解】

设切点为（%,%）,则%=片，切线斜率为k=>（%）=2%

所以切线方程为y一%=2x°（x-$）,因为过点P（-1,O）则一片=2%（-1-毛）

解得%=0或%=-2,所以切线方程为），=0或4x+y+4=0

故选:C

题型四：已知切线求参数问题

【例1】.（2022•湖南•模拟预测）已知P是曲线C：y=lnx+/+（6-a卜上的一动点，曲线C在P点处的切

线的倾斜角为，，若则实数a的取值范围是（）

A.[2A/3,0）B.[2夜,0）C.（-8,26]D.（口,2&]

【答案】D

【解析】

【分析】

对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.

【详解】

因为y=lnx+x?+（6-a）x,所以y，='+2x+6-a,

因为曲线在M处的切线的倾斜角

所以y'2tang=正对于任意的x>0恒成立，

即4+2x+百一”2月对任意x>0恒成立，

X

g|U<2x+-,X2x+->2V2,当且仅当2X=L,

XXX

即犬=立时，等号成立，故

2

所以a的取值范围是（口，2夜].

故选：D.

【例2】（2022•广东・石门高级中学高二阶段练习）若直线y=h+l-ln2是曲线y=lnx+2的切线，贝必=

【答案】2

【分析】设切点4（芭,凶），根据导数的几何意义列式求解即可.

【详解】对函数y=lnx+2求导得V=1,设直线y="+l-ln2与曲线y=lnx+2相切于点《(%,%),则

1]—=k

y=lnX|+2,由点[(x”yj在切线上得y-(ln*+2)=jx-xj,即y=—x+ln为+1,所以《玉

再占[l+lnx,=l-ln2

解得玉=；,k=2.

故答案为：2

【例3】(2022•陕西・千阳县中学高三阶段练习(文))已知曲线y=ae，+xlnx在点(l,ae)处的切线方程为

y=2x+b,则匕=

【答案】T

【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出“=6一1,再由切点

坐标，即可求出结果.

(详解】因为y=ae*+xlnx的导数为y'=ae*+Inx+1,

又函数y=ae，+xlnx在点(l,ae)处的切线方程为y=2x+b,

可得ae+O+l=2,解得a=e-'，

又切点为(1,1)，可得l=2+b,即b=—1.

故答案为：T.

[例4](2022•江苏苏州•模拟预测)已知奇函数/(£)=(/-2*(5+6)("0)在点(a,""))处的切线方程

为y=/(。)，贝46=()

A.-1或1B.-友或也C.-2或2D.一华或竽

33

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数为奇函数可得b=2a,根据切线的斜率为0建立方程求出“即可得解.

【详解】

由/(x)=(x2-2x)(or+6)(a/0)可得/(x)=ax}+(b-2a)x2-2bx,

因为/(—x)=—/(x),所以人一2。=0,解得b=2a.

所以y=/(。)=a4—4a2,故切线斜率k=r(a)=0,

又/'(x)=a(3x2-4),所以((a)=a(3/_4)=0,解得〃=毡或〃=_延,

33

所以匕=-延或迪.

33

故选：D

【题型专练】

1.（2022・云南•丽江市教育科学研究所高二期末）已知曲线〃x）=（x+a）e'在点处的切线与直线

2x+y-l=O垂直，则实数。的值为.

【答案】

【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可.

【详解】因为f'（x）=（尤+a+l）e、，所以切线的斜率为％=/（-1）=〃/,

而切线与直线2x+y-l=0垂直，所以〃/-（-2）=-1,解得a=|,

故答案为：—•

2

2.（2022.云南昆明•模拟预测（文））若函数,f（x）="6+lnx的图象在x=4处的切线方程为丁=》+6,则（）

A.a=3,Z?=2+ln4B.a=3,=—2+In4

33

C.〃=一,〃=—l+ln4D.a=—,6=1+In4

22

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义可求出结果.

【详解】

/（X）的定义域为（0,+8）,

4/、a1

f（x）=-7=+—）

2-Jxx

a।1_]

r(4)=ia=3

由题意可得即.，解得

f(4)=4+bZ?=2+ln4

o・"+ln4=4+b

故选：A

3.（2022•河南•方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线/的斜率为2,/与曲线C：y=x（l+lnx）和圆C?：

f+y2_6x+〃=0均相切，贝U"=（）

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

设曲线a的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于

半径即可求得〃值.

【详解】

设直线/：2x-y+加=0与曲线G相切，切点为（跖,々）（1+111%）），因为y=x（l+lnx）的导数为y'=2+lnx,

由2+111%=2,解得4=1,所以切点为（1,1）,代入2x-y+优=0得机=-1,所以切线方程为2x-y-1=0.

将7+）；2-6犬+〃=0化为标准方程为（x—3丫+/=9-〃（”<9）,因为/与圆G相切，所以=19一”,

解得〃=4.

故选：D

题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）

【例1】（2022•河南洛阳•三模（文））若过点尸（1,0）作曲线y=x?的切线，则这样的切线共有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】C

【解析】

【分析】

设切点为（％，与3）,求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点尸在切线上，即可代入切线方程，解

得吃,即可得解；

【详解】

解：设切点为（x（）,玉：），由y=%3,所以y=3£,所以八.=*=3/2,

所以切线方程为丁一十=3叶（x-与），即y=3年》-2/3,因为切线过点P（l,0）,

所以0=3X°2_2X；,

3

解得%=0或

所以过点P(l,())作曲线y=x3的切线可以作2条，

故选:C

【例2】(2022•全国•高三专题练习)若过点(。，0可以作曲线y=lnx的两条切线，贝I]()

A.a<\nbB.b<\naC.\nb<aD.\na<b

【答案】D

【解析】

【分析】

设切点坐标为(%,%),由切点坐标求出切线方程，代入坐标(。，勿，关于％的方程有两个不同的实数解，变

形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.

【详解】

-Inx0=-~+1=Inx0+—,

*0%

设/(x)=lnx+@,函数定义域是(0,+8),则直线y=6+l与曲线f(x)=lnx+3有两个不同的交点,

X

,]ax-a

/W=-X--Xr=X

当时，/"(x)>0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，不合题意；当。>0时，0cxe。时，<0,f(x)

单调递减，

x>a时，f'(x)>0,/(X)单调递增，所以f(x)n“n=/(〃)=lna+1,结合图像知b+l>lna+l,即>>lna.

故选：D.

【例3】【2021年新高考1卷】若过点(“力)可以作曲线y=e，的两条切线，则()

A.eb<aB.e"<b

C.0<a<efcD.0<。<e"

【答案】D

【解析】

【分析】

解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线丫="的图象，根据直观即可判定点g,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】

在曲线y="上任取一点尸(r,d),对函数y=/求导得)/=6，，

所以，曲线y=，在点P处的切线方程为y—e'=e'(xT),即y=e'x+(l—/)d,

由题意可知，点(。,匕)在直线y=e'x+(lT)e'上，可得6=ae'+(l-f)e'=(a+l-f)e',

令/⑺=(a+l-f)e'，则/'⑺=(a-f)e'.

当f<a时，/'(。>0,此时函数单调递增，

当，>a时，此时函数单调递减，

所以，/⑺g=/(a)=e"，

由题意可知，直线y=6与曲线y=/。)的图象有两个交点，则6</(“晔=/，

当f<a+l时，/(0>0,当r>a+l时，/(?)<0,作出函数/⑺的图象如下图所示:

由图可知，当0<b<e"时，直线丫=匕与曲线y=〃r）的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=e，的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和X轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知0<匕<e".

故选：D.

【点睛】

解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计,

解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

【例4】(2022.河南洛阳•三模(理))若过点可作出曲线y=V的三条切线，则实数f的取值范围是()

A.(-oo,l)B.(0,+纥)C.(0,1)D.{0,1}

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函

数，y=f与g(x)=3x2_2/,借助导数研究函数g(x)的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点

情况即可完成求解.

【详解】

由已知，曲线y=x',即令f(x)=V,则/'(力=3/，

设切点为(飞,飞3),切线方程的斜率为/'(%)=3/2,

所以切线方程为：K/3=3玉：。_与)，将点尸(15)代入方程得："x；=3x；(l-x。)，整理得f=3x；_2x；,

设函数g(x)=3/-2/,过点P(l.r)可作出曲线y=x3的三条切线，

可知两个函数图像y=r与g(x)=3V-2V有三个不同的交点，

又因为g'(x)=6x-6x2,由g，(尤)=0,可得x=0或x=l,

所以函数g(x)在(-8,0),(LE)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

所以函数g(x)的极大值为g⑴=3-2=1,函数g(x)的极小值为g(0)=0-0=0,

如图所示，

当，£（0,1）时，两个函数图像有三个不同的交点.

故选：C.

X

【例5】（2022•河北•高三阶段练习）若过点尸（1,陶可以作三条直线与曲线C:y=y相切，则机的取值范围

e

为（）

A.\%*B.（0,：）C.（-oo,0）D.@靖）

【答案】D

【解析】

【分析】

本题为过点尸的切线，切点为可得切线方程y-亲=M（x-%）,

代入点P坐标整理为巾=片-：。+1,即y=机与/（尤）=一：+1有三个交点.

e/ex

【详解】

由y=2,则了==，设切点为"，?],则切线斜率k=上要

eeIe”e*

则在点卜。,，）的切线方程为

代入点P坐标得机一名=匕三（1-%）

整理为机=芯二翌11,即这个方程有三个不等式实根，

人r/、X+lI—x'+3x—2

令f（x）=——；—，则mf\x）=-------；----，

ee

令（（x）>0则l<x<2

函数/(X)在(-8,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,+00)上单调递减,

故得/⑴<帆</(2),即

故选：D.

【例6】(2022•黑龙江・哈尔滨市第六中学校高二期末)过直线y=x-l上一点P可以作曲线/(x)=x-hu的

两条切线，则点尸横坐标，的取值范围为()

A.O<Z<1B.\<t<e

C.Ov/veD.—<r<l

e

【答案】c

【分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程f=2x°-InX。的根的个数问题转化为函数)，=，与函

数g(x)=2x-xlnx的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.

【详解】解：由题意得尸(J7),设切点为%>0,

r(x)=i--,/(/)=「=红」，

XX0X0

则过点P的切线方程为y-Xo+ln/=土」(x-%),整理得丫=也」％-皿与+1,

X—1

1

由点P在切线上，贝“Tn」—r-ln%+l,gpt=2x0-x0Inx0,

因为过直线y=x-l上一点P可以作曲线f(x)=x-lnx两条切线，

所以关于%的方程，=2x°-%In%有两个不等的实数根，

即函数'=/与函数g(x)=2x-xlnx的图象有两个交点，

g'(x)=2-lnx-l=l-lnx,

g'(x)>()=>()<x<e,g'(x)〈()=x)e,

则函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，且g(e)=e,

x-0时，g(x)-O；xf+8时，g(x)f-oo,

则函数尸，与函数g(x)=-xlnx+2x的图象如下图所示：

由图可知，0<f<e,

【题型专练】

I.（2022.内蒙古呼和浩特.二模（理））若过点P（-1,m）可以作三条直线与曲线C：y=xe,相切，则机的取

值范围是（）

A。UHB.卜川C.卜“£|D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求出导函数，利用导数的几何意义列出方程，即可求解.

【详解】

设切点为（工,%）,过点P的切线方程为N=（/+l）e*（X-/）+x°e”，代入点P坐标，化简为

=,即这个方程有三个不等根即可.

令/（x）=（-x2求导得：r（x）=（-x-l）（x+2）e\

令/'（x）>0,解得：所以〃x）在（―2,-1）上递增；令r（“<0,解得：x<-2或x>-l,所以〃x）

在（-00,-2）和（-1,+00）上递增.

要使方程加=（-七2-%-l）e"有三个不等根即可.

1

只需即-

ee

故选：D

2.（2022・广东深圳•二模）已知。>0,若过点（。向可以作曲线y=V的三条切线，则（）

A.b<0B.0<b<a?,C.b>a3D./?仅一。3）=。

【答案】B

【解析】

【分析】

（k=3%2

设切点为（％，X；）,切线方程为y=&（x-。）+。，求出函数的导函数，即可得到\3,整理得

KIX。Cllit?—X（）

2x；-+匕=0,令g(x)=2/-3加+，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意g(x)

有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；

【详解】

解：设切点为(与，与3),切线方程为y=Mx—a)+b,由y=V,所以y，=3f,所以y晨=3事?，

‘2=3x2

则I”"、八3，所以2X°3_3C/2+/7=0,

令g(x)=2/-3ax2+b,则gr(x)=6x2-6ar=6x(x-tz),

因为。〉0,所以当1<0或时g'(x)>。，当0cxe。时g'(x)<0,

所以g")在(e,0)和(。,口)上单调递增，在(0,。)上单调递减，

所以当工=0时g(x)取得极大值,当““时g(x)取得极小值,即晨力极大值=8(。)=匕，

依题意g(x)=2x^-3ax2+6有三个零点，所以g(%)极大值=g⑼=A>0且g(》)极小值=g(。)=6-。'<0,即

0<b<a,t

故选：B

3.(2022•安徽•安庆市第二中学高二期末)若过点(。力)(〃>())可以作曲线y=xe"的三条切线，则()

A.0<a<behB.-aea<b<0

C.0<ae2<b+4D.-(tz+4)<fe2<0

【答案】D

【分析】设切点为(也,改优)，利用导数的几何意义及条件可得关于%的方程=」>有三个不

同的解，构造函数f(x)=(/-如-〃)e*,利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.

【详解】由题可得y'=(x+l)e',

设切点(%,工£,),则(M+l)e&=整理得(x：T%-a)e&=-A,

由题意知关于%的方程(石-叫-。)e*=4有三个不同的解，

设〃x)=(x2-ax-a)e\/,(x)=(x+2)(x-a)e',

由第x)=0,得x=-2或x=〃，又a>0,

所以当x<-2时，.用勾>0,〃x)单调递增，当-2<x<a时，用x)<0,〃x)单调递减，当x>。时用x)>0,

/(x)单调递增，

当XT-8时/(X)f0,

当xf+8时，/(x)