2020-2021学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年天津市东丽区九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

cA

C.直线x=-2D.直线x=2

A.汽车累积行驶10000b”,从未出现故障

B.购买1张彩票，中奖

C.任意画一个三角形，其内角和是180。

D.明天一定会下雪

4.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A.x-x+-^=0B.X2+2X+4=0C.X-x+2=0

D.x-2x=0

4

5.已知O。的半径是6c则。。中最长的弦长是（）

A.6cmB.12cmC.16cmD.20cm

6.如图，A3是。。的直径，点C在A3的延长线上，CD与。。相切于点。，若NCD4=

118°,则NC的度数为（）

A.32°B.33°C.34°D.44°

7.往直径为520n的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽A5=48on,

则水的最大深度为（)

o.

B

-----48-----

A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm

8.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为

()

A.y=(x+3)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+3

9.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其

他差别，从袋子中随机摸出一个小球.则摸出的小球是红球的概率是()

八

AA.—2Bo.—1C.—1nDl.—

3239

10.半径为3的正六边形的周长为()

A.18B.1873C.D.

11.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业

务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均

增长率为x,则可列方程为()

A.5000(l+2x)=7500

B.5000X2(1+无)=7500

C.5000(1+x)2=7500

D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500

12.如图，抛物线>=以2+历；+4交y轴于点A,交过点A且平行于x轴的直线于另一点8,

交无轴于C,。两点(点C在点。右边)，对称轴为直线尤=半，连接AC,AD,BC.若

点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()

A.点8坐标为（5,4）B.AB=AD

C.a=YD.0000=16

6

二、填空题（共6小题）.

13.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为.

14.掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面朝上的概率是

15.如图，在中，ZC=90°,AC=4,BC=3.若以AC所在直线为轴，把△ABC

旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于

16.若抛物线y=3x2-4x-%与x轴没有交点，则左的取值范围为.

17.如图，在AABC中，ZBAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ABC.若

点8恰好落在BC边上，且A8=C8,则NC的度数为.

0B=2,ZA0B=90°,C为皿上一点，NAOC=30°,

连接8C,过C作OA的垂线交AO于点。，则图中阴影部分的面积为

三、解答题（共7小题，共66分）

19.解方程：10』-5x--^-=x2-5x+-^-.

20.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字4、5、6,随机摸取

1个小球然后放回，再随机摸取一个小球.

（1）用面树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果；

（2）求两次抽出数字之和为奇数的概率.

21.如图，点E是正方形A8CD的边。C上一点，把△&£）£顺时针旋转AAB尸的位置.

（I）旋转中心是点，旋转角度是度；

（II）若连结EF则△AEF是三角形，并证明你的结论.

22.如图，AB是半圆。的直径，C,。是半圆。上不同于A,B的两点，AC与2。相交于

点、F,BE是半圆。所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.

（I）若AO=BC,证：/XCBA四△ZMB；

（II）若BE=BF,ND4C=32°,求：NEAB的度数.

23.某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千

克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应

值如下表所示：

销售单价X（元/55606570

千克）

销售量y（千克）70605040

（1）求y（千克）与尤（元/千克）之间的函数表达式;

(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

24.已知，点。是等边△ABC内的任一点，连接。4,OB,OC.

(I)如图1所示，已知/AOB=150°,ZBOC=nQ°,将△80C绕点C按顺时针方

向旋转60。得△AQC

①求的度数；

②用等式表示线段OB,OC之间的数量关系，并证明.

(11)设/&。8=(1,ZBOC=p.

①当a,6满足什么关系时，Q4+O5+OC有最小值？并说明理由；

②若等边△ABC的边长为1,请你直接写出OA+OB+OC的最小值.

25.如图，抛物线y=-f+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A,B,且。4=。8,

点G为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；

(2)点N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个

单位长度和5个单位长度，点。为抛物线上点M,N之间(含点N)的一个动点，

求点。的纵坐标的取值范围.

参考答案

一、选择题（共12小题）.

解：4：此图形旋转180。后不能与原图形重合，，此图形不是中心对称图形，是轴对

称图形，故此选项错误；

B,此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故

此选项正确；

C、：此图形旋转180。后不能与原图形重合，...此图形不是中心对称图形，是轴对称图

形，故此选项错误；

：此图形旋转180°后能与原图形重合，，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形,

故此选项错误.

故选：B.

2.抛物线y=2x2-4x+l的对称轴是（）

A.直线x=-lB.直线x=lC.直线x=-2D.直线x=2

解：•.•抛物线y=2f-4x+l=2（x-1）2-1,

该抛物线的对称轴是直线x=L

故选：B.

3.下列描述的事件为必然事件的是（）

A.汽车累积行驶10000历w,从未出现故障

B.购买1张彩票，中奖

C.任意画一个三角形，其内角和是180°

D.明天一定会下雪

解：A.汽车累积行驶10000加3从未出现故障，是随机事件，不合题意；

B.购买1张彩票，中奖，是随机事件，不合题意；

C.任意画一个三角形，其内角和是180°,是必然事件，符合题意；

D.明天一定会下雪，是随机事件，不合题意；

故选：C.

4.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是()

A.x-X+-Y=OB.X2+2X+4=0C.X-x+2=0D.x-2x=0

4

解：A.此方程判别式△=(-1)2-4X1X4=0,方程有两个相等的实数根，不符合

4

题意；

B.此方程判别式4=2?-4X1X4=-12<0,方程没有实数根，不符合题意；

C.此方程判别式△=(-1)2-4XlX2=-7<0,方程没有实数根，不符合题意；

D.此方程判别式△=(-2)2-4XlX0=4>0,方程有两个不相等的实数根，符合题

-zfe.

思；

故选：D.

5.已知。。的半径是6c〃z,则O。中最长的弦长是()

A.6cmB.12cmC.16c加D.2Qcm

解：：圆的直径为圆中最长的弦，

：.Q0中最长的弦长为12cm.

故选：B.

6.如图，是的直径，点C在的延长线上，CD与。。相切于点。，若NCD4=

118°,则NC的度数为()

解：如图，连接。£»,

•••CD与OO相切于点。，

・・・NOOC=90°,

VZCDA=118°,

：.ZODA=ZCDA-ZODC=118°-90°=28

OD=OAf

：.ZOAD=ZODA=28°,

AZDOC=2ZODA=56°,

.\ZC=90°-ZDOC=M°,

故选：c.

7.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽A5=48on,

)

10cmC.16cmD.20cm

解：连接08,过点。作OC，AB于点。，交。。于点G如图所示:

VAB=48cm,

/.BD=—AB=4-X48=24(cm),

22

的直径为52cm,

OB=OC=26cm,

在RtZXOBD中，OD=q皿2-BI)2=q262-242=10(cm),

：.CD=OC-OD=26-10=16(cm),

故选：c.

8.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为

()

A.y—(x+3)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+3

解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式

为：y=d+3；

由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=¥+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式

为：y=(x-5)2+3；

故选：D.

9.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其

他差别，从袋子中随机摸出一个小球.则摸出的小球是红球的概率是()

A.—B.—C.—D.—

3239

解：・・,从袋子中随机摸出一个小球有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球有6种，

摸出的小球是红球的概率是盘岩，

y3

故选：A.

10.半径为3的正六边形的周长为()

A.18B.1873C.D.

V42

解：：正六边形的半径等于边长，

・••正六边形的边长〃=3,

正六边形的周长/=6。=18,

故选：A.

11.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业

务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均

增长率为x,则可列方程为()

A.5000(l+2x)=7500

B.5000X2(1+无)=7500

C.5000(1+x)2=7500

D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500

解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,

由题意得：5000(1+无)2=7500,

故选：C.

12.如图，抛物线>=依2+法+4交y轴于点A,交过点A且平行于无轴的直线于另一点2,

5

交x轴于C,。两点(点C在点。右边)，对称轴为直线尤=彳连接AC,AD,BC.若

点8关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()

A.点2坐标为(5,4)B.AB=AD

C.a=D.OC-OD=16

6

解：：抛物线>=依2+法+4交y轴于点A,

(0,4),

5

:对称轴为直线户半AB〃尤轴，

：.B(5,4).

故A无误；

如图，过点8作轴于点E,

则3E=4,AB=5,

•・・A3〃x轴，

AZBAC=NACO,

•・・点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上,

・•・ZACO=ZACB,

：.ZBAC=ZACBf

.\BC=AB=5f

・••在Rt^BCE中，由勾股定理得：EC=3,

：.C(8,0),

:对称轴为直线X得

：.D(-3,0)

•・•在RtZXAOO中，04=4,0。=3,

：.AD=5f

：.AB=AD,

故3无误；

^y=<2x2+ta+4=a(x+3)(x-8),

将A(0,4)代入得：4=q(0+3)(0-8),

故。无误；

V0C=8,0。=3,

・•・OC-OD=24,

故。错误.

综上，错误的只有D

故选：D.

二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)

13.一元二次方程f-2x=0的两根分别为为=0,必=2

解：Vx2-2x=0,

."•x(x-2)=0,

.*.x=0或x-2=0,

解得为=0,兀2=2.

14.掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面朝上的概率是v

一4一

解：根据题意可得：掷两枚质地均匀的硬币，有4种情况，则两枚硬币全部反面朝上的

概率是义.

4

故本题答案为：

4

15.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.若以AC所在直线为轴，把△ABC

旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于15n.

解：由已知得，母线长/=5,底面圆的半径厂为3,

圆锥的侧面积是s=Tt/r=5X3XTT=15it.

故答案为：15TT.

16.若抛物线y=3尤2-4x-4与x轴没有交点，则k的取值范围为k<-.

解：：抛物线尸3尤2-4X-4与x轴没有交点，

一元二次方程3x2-4x-k=0没有实数根，

；.△=(-4)2-4X3X(-k)<0,

.y4

故答案为：k<-

O

17.如图，在△ABC中，ZBAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C.若

点9恰好落在BC边上，且A3=CN,则NC的度数为24。.

解：*：AB'=CB\

：.ZC=ZCAB'f

：.ZAB'B=ZC+ZCAB'=2ZC,

•・•将5c绕点A按逆时针方向旋转得到△ABC,

：.ZC=ZC,AB=AB\

：.ZB=ZAB'B=2ZCf

VZB+ZC+ZCAB=180°,

.,.3ZC=180°-108°,

・・・NC=24°,

.-.ZC=ZC=24°,

故答案为：24°.

18.如图所示的扇形498中，0A=05=2,ZAOB=90°,。为第上一点，ZAOC=30°,

连接3C,过C作。4的垂线交A。于点。，则图中阴影部分的面积为工冗二区.

—32―

解：VZAOB=90°,ZAOC=30°,

：.ZBOC=60°,

:扇形AO8中，。4=。8=2,

：.OB=OC=2,

是等边三角形，

・・・过。作Q4的垂线交AO于点D,

.\ZODC=90°,

VZAOC=30°,

；.0。=哼0C=«,CD=^OC=1,

二・图中阴影部分的面积一s扇形50c-SAOBLS/\COD

=6°'肾22_,X2X2X零+1x«x]

3bUZN/

—2近

——Tl.

32

故答案为

32

三、解答题（共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.解方程：10尤2-5x--^-=%2-5x+-^-.

解：整理得9f-1=0,

(3x+l)(3尤-1)=0,

3x+l=0或3x-1=0,

1_1

..X]

『X2~3

20.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字4、5、6,随机摸取

1个小球然后放回，再随机摸取一个小球.

（1）用面树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果;

（2）求两次抽出数字之和为奇数的概率.

解：（1）列表如下：

456

4(4,4)(5,4)(6,4)

5(4,5)(5,5)(6,5)

6(4,6)(5,6)(6,6)

（2）所有等可能的结果有9种，其中之和为奇数的情况有4种,

•••两次抽出数字之和为奇数的概率为4.

y

21.如图，点E是正方形ABC。的边。C上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置.

（I）旋转中心是点4,旋转角度是90度;

（II）若连结EF,则是等腰直角三角形，并证明你的结论.

解：(I)旋转中心是点A,旋转角度是90度.

故答案为：A,90.

(II)由旋转的性质可知，ZDAE^ZBAF,AE^AF,

:四边形A8C。是正方形，

.\ZBAD=90°,

：.ZEAF=ZBAD=90°,

AAEF是等腰直角三角形.

故答案为：等腰直角.

22.如图，AB是半圆。的直径，C,。是半圆。上不同于A,B的两点，AC与2。相交于

点、F,BE是半圆。所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.

(I)若AD=8C,证：△C8A之△ZMB；

(II)若ND4C=32°,求：NEAB的度数.

【解答】(1)证明：TAB是半圆。的直径,

/.ZACB=ZADB=90°,

在RtACBA与RtADAB中,

(BC=AD

lBA=AB，

ARtACBA^RtADAB(HL)；

(2)解:；BE=BF,

由(1)知8C_LER

，NE=ZBFE,

:BE是半圆。所在圆的切线,

/.ZABE=90°,

：.ZE+ZBAE^90°,

由（1）知/。=90°,

：.ZDAF+ZAFD^90°,

:ZAFD=ZBFE,

：.ZAFD^ZE,

"：ZDAF=90°-ZAFD,ZBAF=90°-ZE,

：.ZEAB=ZDAC^32°.

23.某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千

克）与销售单价无（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应

值如下表所示：

销售单价X（元/55606570

千克）

销售量y（千克）70605040

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

解：（1）设y与x之间的函数表达式为（20）,将表中数据（55,70）、（60,

60）代入得：

（55k+b=70

l60k+b=60,

解得：（k=wn-

lb=180

...y与x之间的函数表达式为y=-2x+180.

（2）由题意得：（%-50）（-2x+180）=600,

整理得：%2-140^+4800=0,

解得苞=60,忿=80.

答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/

千克.

(3)设当天的销售利润为卬元，贝(J：

w=(九-50)(-2x+180)

=-2(%-70)2+800,

：-2<0,

当尤=70时，w最大值=800•

答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是80。元.

24.已知，点。是等边△ABC内的任一点，连接。4,OB,OC.

(I)如图1所示，已知乙4。8=150°,NBOC=120。，将△80C绕点C按顺时针方

向旋转60。得△AQC.

①求/D4O的度数；

②用等式表示线段OB,OC之间的数量关系，并证明.

(II)设NAOB=a,ZBOC=p.

①当a,0满足什么关系时，04+02+0C有最小值？并说明理由；

②若等边△ABC的边长为1,请你直接写出OA+O8+OC的最小值.

ZAOC=90°,

由旋转的性质可知，ZOCD=60°,ZADC=ZBOC=nO°,

：.ZDAO=360°-60°-90°-120°=90°,

故答案为：90°；

②线段。4,OB,OC之间的数量关系是OC2.

如图1,连接OD.

•.•△8OC绕点C按顺时针方向旋转60。得△AOC,

AAADC^ABOC,NOCD=60°.

：.CD=OC,ZADC=ZBOC=120°,AD=OB,

•••△OCZ)是等边三角形，

AOC=OD=CD,ZCOD=ZCDO=60°,

VZAOB=150°,ZBOC=120°,

/.ZAOC=90°,

AZAOD=30°,ZADO=60°.

：.ZDAO=90°.

在R