考研数学一概率论知识点概要

本人考研整理的数学概率论知识点，word版，可编辑、添加、打印。祝大家学有所得。第一章随机事件概率随机试验：满足以下三个条件的试验：（1）可重复；（2）知道所有可能；（3）结果不可预知。样本点：每一个可能的结果叫做一个样本点。样本空间：全体样本点的集合，记为。随机事件：随机试验中每一个可能出现的结果，叫做随机事件。基本事件：试验中不可再分的事件。不可能事件：不可能发生的事件。必然事件：必定要发生的事件。复合事件：由两个或两个以上的事件构成的事件。事件的关系与运算：事件的关系定义文氏图：包含关系：事件B发生必然导致事件A发生，则称事件A包含事件B。事件相等：A=B事件A,B相互包含，就称事件A,B相等。互斥事件：AB=不可能同时发生的事件对立事件：若AB=且，称事件A,B对立事件。两者之一必然发生，但又不可能同时发生的事件。事件的并：事件A,B中至少有一个发生，称事件发生。事件的差：A-B事件A发生且B不发生，事件的交：事件A,B同时发生，称事件发生。概率：事件发生可能性大小的描述。条件概率：设A,B是两个基本事件，且P(A)>0，则：称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。事件的独立性：如果两事件A,B满足：,则称A与B独立。A,B独立独立和互斥的关系：时，独立一定不互斥，互斥一定不独立。对于三个以上的事件：相互独立两两独立，两两独立退不出相互独立。取反运算不改变事件的独立性：相互独立相互独立相互独立。概率的基本性质：非零性：归一性：：古典概率满足：（1），试验的样本空间的元素只有有限个；（2），每个样本点出现的可能性相等：古典概型事件A的计算公式：n---样本点数，k---事件A包含的样本点数。几何概率：随机试验E的样本空间为一个欧氏空间的一个区域，且每个样本点出现的可能性相同。计算公式：加法公式（加奇减偶公式）：对于任意事件A,B,C有：减法公式：乘法公式：对事件A,B,且P（A）>0，P(B)>0,有：完备组（分割，划分）：如果事件组满足（1），（2），，这样的事件组成为一个完备组。全概率公式：设为一个完备组，则对于事件A发生的概率为：贝叶斯公式：设为一个完备组，，,则有：,j=1,2,…,n。事件的运算规则：交换律：结合律：分配率：德-摩根率：,除独立性外，无法从概率关系推出事件关系。排列组合知识：排列：从n个不同的元素中m个按特定顺序排成一列，称为从n个元素中取m个元素的一个排列。全排列：将n个不同元素全部取出的排列。规定。组合：从n个不同元素中取m个元素，排成无序的一组，称为从n个元素中取m个元素的一个组合，记为：组合的性质：第2章一维随机变量随机变量：定义在样本空间上的样本点的实值函数,随机变量一般用大写字母X表示，其取值用小写字母x,y,z来表示。离散型随机变量的分类：离散型随机变量：X的取值为有限个或无限可列多个。用分布列来表示。连续型随机变量：X的取值为某区间上的所有值。用分布函数来表示。非离散也非连续：连续型随机变量的概率分布：一维随机变量X的分布几何表示X是一个随机变量，对于任意实数x，称函数：，，为X的分布函数。（完整的F(x)表达式必须从写到）随机变量X的分布函数，是满足下列条件的函数：，（完整的F(x)表达式自变量必须从写到）1,2，，3，F(x)是不减函数，4，F(x)右续函，对于任意点，有：X为离散型X为连续型概率分布：，分布率：XP性质：非负，归一，写离散型随机变量的概率分布，先确定X的所有取值，在确定X取特定值时的概率。如非负函数满足：（）则称f(x)为X的概率密度函数，简称密度函数：1，非负：归一：归一：2，，x为f(x)的连续点。3，F(x)是连续函数。4，对任意点x,都有P(X=x)=0。5，对于任意a>b有：可见，对连续型随机变量，个别点（甚至有限个点）的存在与否，不影响区间上的概率值。重要离散分布：1,0-1分布：设事件发生的概率为p。X011-pp2，二项分布：伯努利概型（考研中能建模的唯一概率模型）：试验E只有两个结果和的概型。n重伯努利概型：将伯努利概型独立重复n次，则称为n重伯努利概型。若P(A)=p,则n次试验中事件A发生k次的概率为：，称X服从参数为的二项分布，记为：。3，泊松分布：定义：对于常数，如果随机变量X的分布律为：，则称X服从参数为的泊松分布，记为：。泊松定理：4，几何分布：（试验第一次成功发生在第k次的概率）：，此时称X服从几何分布。5，超几何分布：产品检测，放回抽取和不放回抽取。重要连续分布：1，均匀分布：X~U(a,b)如果随机变量X密度函数为：，则称X服从[a,b]上的均匀分布。记作：X~U(a,b)。2，指数分布：X~E()寿命问题如果随机变量X密度函数为：，则称X服从参数为的指数分布。记作：X~E()。3，正态分布：如果随机变量X密度函数为：，，称X服正态分布。记作：X~N()。特别的，如果密度函数满足：，则称X服从标准正态分布，记为：N~(0,1)若X~N()，令，则，这就是正态分布的标准化。性质：1，；2，；3，若X~N()，则：，随机变量函数的分布：两个随机变量X,Y,Y=g(X)是X的函数，已知X，求Y的分布。第3章二维随机变量随机试验E的样本空间为,是定义在的两个随机变量，则随机变量（X,Y），叫做二维随机变量。二维随机变量几何意义性质：,1，非负、归一：，对于任意的x,y，有：2，F(x,y)对于任意的x,y都是右连续的，对于任意点，有：3，F(x)对x,y分别是不减函数，且有：（X,Y）为离散型（X,Y）为连续型（X,Y）的联合分布率：，表格形式：概率密度f(x,y)：定义：则称其位（X,Y）的联合密度函数。性质：在（x,y）的连续点处，2，（哪儿求概率，哪儿求积分）边缘分布：二维随机变量的边缘分布：边缘分布函数：定义：关于X,有：关于Y，有：（X,Y）为离散型（X,Y）为连续型边缘分布率：设（X,Y）的联合分布率为：对于X,有：关于Y,有：此时：，二维随机变量的边缘分布：边缘密度函数：关于X,有：关于Y，有：条件分布：二维随机变量（X,Y）在Y=y条件下：X,Y为离散型（X,Y）为连续型（X,Y）在条件下的X的条件分布律：,（X,Y）在条件下的X的条件分布率：（X,Y）在条件下的X的条件分布率：（X,Y）在条件下的X的条件分布率：设随机变量(X,Y)的联合分布函数，边缘分布函数分别为,,,若对于任一x,y,均有：则称随机变量X,Y是相互独立的。判断方法：对离散型：相互独立对任意在变量表中行与行，列与列称比例。X,Y为离散型（X,Y）为连续型如果对于任意x,y都有：则称X与Y(相互)独立。对连续型：相互独立拆开是平行于坐标轴的矩形如果拆开不是矩形，则两者一定不独立。离散型随机变量的联合分布率：随机变量（x,y）的所有取值为有限对或无限可列多对，则称(x,y)为离散型随机变量。分布律：，写离散型随机变量的概率分布，先确定X的所有取值，在确定X取确定值时的概率。边缘分布率：关于X,有：关于Y,有：此时：，联合分布函数：对二维随机变量（X,Y），满足：的函数称为X,Y的联合分布函数。联合分布函数的性质：非负性、归一性：，对于任意的x,y，有：，F(x,y)对于任意的x,y都是右连续的，对于任意点，有：（3）F(x)对x,y分别是不减函数，且有：二维连续型随机变量的概率密度：为联合分布函数，若且满足：则称其为（X,Y）的联合密度函数。性质：F(x,y)是x,y的连续函数。在f(x,y)的连续点，有：（哪儿求概率，哪儿求积分）二维随机变量的边缘分布：边缘分布函数：关于X,有：关于Y，有：边缘分布率可由联合分布率求出：边缘密度函数：关于X,有：关于Y，有：离散型随机变量的联合分布率：二维随机变量的条件分布：离散型随机变量的条件分布率：,连续型随机变量的条件密度函数：二维随机变量的独立性：如果对于任意x,y都有：则称X与Y(相互)独立。判断方法：对离散型：相互独立对任意在变量表中行与行，列与列称比例。对连续型：相互独立拆开是平行于坐标轴的矩形。如果拆开不是矩形，则两者一定不独立。重要二维分布：（1），二维均匀分布：密度函数：，其中S为平面闭区域D的面积。（2），二维正态分布：密度函数：，称X,Y服正态分布。记作：,其中。特别的，如果X,Y独立，，，此时密度函数为：，称X，Y服从标准正态分布，记为：。性质：二维正态分布中X,Y独立。二维正态分布的边缘分布为正态分布，且都和无关。二维随机变量函数的分布：设两个随机变量（X,Y）的分布密度为,则二维随机变量函数的分布为：常用的随机变量函数为：,,数学期望平均值反映平均值的大小X为离散型随机变量X为连续型随机变量X的分布：随机变量函数Y=f(x)：1，X的密度函数：2，随机变量函数Y=g(x)：E(X)的性质：2，3，4，5，如果X,Y相互独立，则：方差标准差反映变量的偏差大小。方差定义：X为离散型：X为连续型：D(X)的性质：1，2，3，4，若X与Y相互独立，则：矩X为离散型随机变量Y为连续型随机变量X的k阶原点矩：X的k阶中心矩：X的k阶原点矩：X的k阶中心矩：协方差相关系数二维随机变量的数字特征：第五章大数定律中心极限定理切比雪夫不等式：对随机变量X,有,,则对于任意实数，恒有：，大数定理：切比雪夫大数定理：设相互独立，且，，则对于任意正数，有：则称序列依概率收敛与a.依概率收敛：设是一个随机变量序列，a为常数，若对于任意正数，有：伯努利大数定理：设是n次独立重复试验中事件A发生的次数。是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，有：辛钦大数定理：设独立同分布，,则对于任意正数，有：隶莫弗---拉普拉斯定理：设随机变量，则有：列维---林德伯格定理：设独立同分布，,,则:第6章数理统计总体与个体：研究对象的全体叫做总体，一般是指某个可视为随机变量X的指标，其取值的全体叫做总体。其中的每一个叫做个体。样本：从总体中抽取n个个体，这n个个体叫总体X的容量为n的样本。样本值：抽取的ｎ个个体得到的观测值。简单随机样本：满足下列条件的随机样本（１），每个个体都和总体Ｘ同分布，（２），任何两个个体之间相互独立。统计量：样本的数字特征：样本均值：样本方差：样本标准差：样本矩：样本的ｋ阶原点矩：样本的ｋ阶中心矩：不管总体服从什么分布，只要均值、方差存在，是来自的一个样本，,分别是样本的均值，样本方差，则必有：,，分位点（分位数）：分布：设总体,为简单随机样本，统计量为：则称服从自由度是n的分布，记为：t分布：设，，Ｘ,Ｙ相互独立，记为：则称Ｔ服从的分布是自由度为ｎ的ｔ分布，记作：F分布：设，，且Ｘ,Ｙ相互独立，则称随机变量所服从的分布称为自由度为（ｍ，ｎ）的Ｆ分布，记作：Ｆ（ｍ，ｎ）．正态总体：一个正态总体：设来自正态总体的样本，则有：两个正态总体：第7章参数估计点估计：设为来自总体X的样本，若将样本的某个函数作为总体分布中未知参数的估计，则称为的点估计量。抽样后，的值称为的估计值。矩估计法：设总体X的分布中含有m个未知参数，其k阶原点矩为：令，则由上述方程所求的解：称为未知参数的矩估计量。最大似然估计法：设总体X的概率密度为（若为离散型，则用分布律代替），为未知参数。记样本的观测值为，则称：为似然函数，若有使得：则称为的最大似然估计。称为的最大似然估计量。估计的选择标准：估计量的无偏性：设为的估计量，若,则称为的无偏估计。估计量的有效性：设均为的无偏估计，若,则称比有效。估计量的一致性：为的估计量，若对任意正数，有：则称为的一致估计量。区间估计：第8章参数估计显著性检验的基本思想：为了推断总体的分布类型或分布中的未知数，首先对它们提出一个假设,然后在为真的条件下，选取恰当的统计量来构造一个小概率事件，若一次试验中，小概率事件发生了，就拒绝的正确性，否则没有充分理由拒绝，从而接受。假设检验的基本步骤：（1）由实际问题提出原假设与备选假设；（2）选取适当的统计量，并在为真的条件下确定该统计量的分布；（3）根据问题要求确定显著水平，从而得到拒绝域；（4）有样本观测值计算统计量的观测值，判断是否属于拒绝域，从而对做出判断。两类错误：第一类错误（拒真错误）：当本来是正确的，但检验后作出了拒绝的判断。第二类错误（受伪错误）：当本来是错误的，但检验后作出了接受的判断。单个正态总体的均值和方差的假设检验：两个正态总体的均值和方差的假设检验：随机变量附表：一维随机变量X的分布几何表示随机变量X的分布函数，是满足下列条件的函数：，（完整的F(x)表达式自变量必须从写到）1,2，，3，F(x)是不减函数，4，F(x)右续函，对于任意点，有：X为离散型X为连续型概率分布：，分布率：XP性质：非负，归一，写离散型随机变量的概率分布，先确定X的所有取值，在确定X取确定值时的概率。概率密度，1，非负：归一：,2，，x为f(x)的连续点。3，F(x)是连续函数。4，对任意点x,都有P(X=x)=0。5