高中数学核心知识点常考题型精析概率(理)

高中数学核心知识点常考题型精析：概率（理）高中数学核心知识点常考题型精析:概率(理)一、等可能事件的概率1(10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是(2(五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是(3(已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球(现在从甲、乙两个盒内各任取2个球((?)求取出的4个球均为黑色球的概率;(?)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(?)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望(4(我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表:空气污染指数空气质量空气污染指数空气质量0,,50优201,,250中度污染51,,100良251,,300中度重污染101,,150轻微污染,300重污染151,,,,200轻度污染我们把某天的空气污染指数在0,100时称作A类天，101,,200时称作B类天，大于200时称作C类天(下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下:(百位为茎，十、个位为叶)(?)从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率;(?)从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列及数学期望(二、互斥事件的概率5(甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止(设甲在每局中获胜的概率为p(p,)，且各局胜负相互独立(已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为((1)求p的值;(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ(6(甲、乙两人参加某种选拔测试(在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题第1页(共57页)加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，得分低于o分时记为0分(即最低为0分)，至少得15分才能入选((1)求乙得分的分布列和数学期望;(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率(7(惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)(每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回((1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望;(2)已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率(参考公式:互斥事件加法公式:P(A?B)=P(A)+P(B)(事件A与事件B互斥)(独立事件乘法公式:P(A?B)=P(A)•P(B)(事件A与事件B相互独立)(条件概率公式:(三、古典概率8(有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A(B(C(D(9(甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()A(B(C(D(10(如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)=()A(B(C(D(11(甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙在不同岗位服务的概率为()A(B(C(D(12(从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A(B(C(D(13(从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()第2页(共57页)A(B(C(D(14(从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=(15(为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分数表示)(16(盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)(17(三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示)(18(随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)19(在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期(从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为((结果用最简分数表示)20(从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为(21(某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)((?)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(?)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望(22(如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染(某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天((?)求此人到达当日空气重度污染的概率;(?)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;(?)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大,(结论不要求证明)23(近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位:吨);“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100第3页(共57页)可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其2中a,0，a+b+c=600(当数据a，b，c的方差s最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，2并求此时s的值(2(求:S=[++…+]，其中为数据x，x，…，12x的平均数)n*24(随机将1，2，…，2n(n?N，n?2)这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a，最大数为a;B组最小数为b，最大数为b;记ξ=a,a，η=b,b(12122121(1)当n=3时，求ξ的分布列和数学期望;(2)C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C);(3)对(2)中的事件C，表示C的对立事件，判断P(C)和P()的大小关系，并说明理由(25(已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=()A(B(2C(D(326(将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l:ax+by=2，l:x+2y=2平行的概率为P，相交的概率为P，若点(P，1212122P)在圆(x,m)+y=的内部，则实数m的取值范围是()2A(B(C(D((,，+?)(,?，)(,，)(,，)27(随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，则D(ξ)=(28(某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E(ξ)=4.2，则小白得5分的概率至少为(29(甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者(设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则ξ的数学期望(为30(某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为(用数字作答)(四、几何概率31(在长为12cm的线段AB上任取一点C(现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，2则该矩形面积小于32cm的概率为()A(B(C(D(第4页(共57页)32(由不等式组确定的平面区域记为Ω，不等式组确定的平面区域1记为Ω，在Ω中随机取一点，则该点恰好在Ω内的概率为()212A(B(C(D(33(节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是()A(B(C(D(34(如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆(在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A(B(C(D(1,,35(正方形的四个顶点A(,1，,1)，B(1，,1)，C(1，1)，D(,1，1)分别在抛物线22y=,x和y=x上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是(36(在区间[,3，3]上随机取一个数x使得|x+1|,|x,2|?1的概率为(37(如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)(若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()第5页(共57页)A(B(C(D(2238(在区间[,π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x+2ax,b+π有零点的概率为()A(B(C(D(五、相互独立事件的概率39(某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A(0.8B(0.75C(0.6D(0.4540(甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A(B(C(D(41(如图，用K、A、A三类不同的元件连接成一个系统(当K正常工作且A、A至少有一1212个正常工作时，系统正常工作，已知K、A、A正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统12正常工作的概率为()A(0.960B(0.864C(0.720D(0.57642(在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表:作物产量300500(kg)概率0.50.5作物市场价610格(元/kg)概率0.40.6(?)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列;(?)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率(43(设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立(第6页(共57页)(?)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(?)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望(44(甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛(假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立((?)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(?)记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)(45(某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P，在射击比武活动2中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”;(1)若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;(2)计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ?5，求P的取值范围(246(一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示(将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立((?)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(?)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)(47(某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，2则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000，50)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为(48(某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的(记X为该毕业生得到面试的公司个数(若P(X=0)=，则随机变量X的数学期望E(X)=(第7页(共57页)49(如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形(将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)=;(2)P(B|A)=(50(一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n(如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验(假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立((?)求这批产品通过检验的概率;(?)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列及数学期望(51(某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生(I)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p(i=1，2，3);i(II)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i(i=1，2，3)的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据(甲的频数统计图(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计图(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大;(III)将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望(第8页(共57页)六、独立重复试验252(已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，且P(ξ,4)=0.8，则P(0,ξ,2)=()A(0.6B(0.4C(0.3D(0.253(将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为(54(一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得,200分)(设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列;((2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少,(3)玩过这款游戏的许多人都发现(若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了(请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因(55(乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定:回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分(对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为;对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为(假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求:(?)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(?)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望(第9页(共57页)56(从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图:2(?)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);2(?)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ)，其中μ近似为22样本平均数近似为样本方差s(，σ(i)利用该正态分布，求P(187.8,Z,212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX(附:?12.2(2若Z,N(μ，σ)则P(μ,σ,Z,μ+σ)=0.6826，P(μ,2σ,Z,μ+2σ)=0.9544(七、概率与频率57(某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X?5为标准A，X?3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(?)已知甲厂产品的等级系数X的概率分布列如下所示:15678X1P0.4ab0.1且X的数字期望EX=6，求a，b的值;11(?)为分析乙厂产品的等级系数X，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组2成一个样本，数据如下:353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X的数学期望(2(?)在(?)、(?)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性,说明理由(注:(1)产品的“性价比”=;(2)“性价比”大的产品更具可购买性(第10页(共57页)58(某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查(根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据，按照以下区间分为八组:?[0，30)，?[30，60)，?[60，90)，?[90，120)，?[120，150)，?[150，180)，?[180，210)，?[210，240)，得到频率分布直方图如下(已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人;(1)求n的值并补全下列频率分布直方图;(2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表:利用时间充分利用时间不充分总计走读生502575住宿生101525总计6040100是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关,参考公式:参考列表:20.500.400.250.150.100.050.025P(K?k)00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024k0(3)若在第?组、第?组、第?组、第?组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望(八、概率的应用59(根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量XX,300300?X,700700?X,900X?900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求:(I)工期延误天数Y的均值与方差;(?)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率(60(某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(第11页(共57页)(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝，n?N)的函数解析式((2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝)，整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位:元)，求X的分布列，数学期望(及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝,请说明理由(第12页(共57页)高中数学核心知识点常考题型精析:概率(理)参考答案与试题解析一、等可能事件的概率1(10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是(考点:等可能事件的概率(专题:计算题(4分析:本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C种结果，1031满足条件的事件是恰好有1件次品有CC种结果，得到概率(73解答:解:由题意知本题是一个等可能事件的概率，4试验发生包含的事件是从10件中取4件有C种结果，101满足条件的事件是恰好有1件次品有CC种结果，3?恰好有一件次品的概率是P==故答案为:点评:本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题(2(五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，(则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是考点:等可能事件的概率(专题:概率与统计(分析:根据题意，首先由排列数公式分析可得5位同学每人随机地抽取1张卡片的情况;进而分两步分析5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况数目，?先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，?分析抽到的都不是其本人制作的3人，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案(5解答:解:根据题意，共5张贺卡，5位同学每人随机地抽取1张，有A=120种情况，5要满足5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作，2可以先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，有C=10种情况，5则剩余的3人，抽到的都不是其本人制作的，有2种情况，则5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况有10×2=20种，其概率P==(第13页(共57页)故答案为(点评:本题考查等可能事件概率计算，关键是正确理解“恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的”的含义(3(已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球(现在从甲、乙两个盒内各任取2个球((?)求取出的4个球均为黑色球的概率;(?)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(?)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望(考点:等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列(分析:(1)取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果((2)取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的((3)ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3(结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望(解答:解:(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B(?事件A，B相互独立，且(?取出的4个球均为黑球的概率为P(A•B)=P(A)•P(B)=((II)解:设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D(?事件C，D互斥，且(?取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=((III)解:ξ可能的取值为0，1，2，3(由(I)，(II)得，第14页(共57页)又，从而P(ξ=2)=1,P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=3)=(ξ的分布列为ξ0123Pξ的数学期望(点评:本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力(4(我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表:空气污染指数空气质量空气污染指数空气质量0,,50优201,,250中度污染51,,100良251,,300中度重污染101,,150轻微污染,300重污染151,,,,200轻度污染我们把某天的空气污染指数在0,100时称作A类天，101,,200时称作B类天，大于200时称作C类天(下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下:(百位为茎，十、个位为叶)(?)从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率;(?)从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列及数学期望(考点:离散型随机变量及其分布列;茎叶图;离散型随机变量的期望与方差(专题:概率与统计(分析:(?)从这18天中任取3天，取法种数有n=，3天中至少有2个A类天的取法种数m=，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3天至少有2个A类天的概率((?)X的一切可能的取值是3，2，1，0，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望(第15页(共57页)解答:解:(?)从这18天中任取3天，取法种数有n==816，3天中至少有2个A类天的取法种数m==46，…(2分)所以这3天至少有2个A类天的概率为P===(…(4分)(?)X的一切可能的取值是3，2，1，0(…(5分)当X=3时，P(X=3)==，…(6分)当X=2时，P(X=2)==，…(7分)当X=1时，P(X=1)==，…(8分)当X=0时，P(X=0)==，…(9分)X的分布列为X3210P…(11分)数学期望为EX==(…(12分)点评:本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用(二、互斥事件的概率5(甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止(设甲在每局中获胜的概率为p(p,)，且各局胜负相互独立(已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为((1)求p的值;(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ(考互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列(点:分(1)已知各局胜负相互独立，第二局比赛结束时比赛停止，包含甲连胜2局或乙连胜2局，析:写出甲连胜两局的概率和乙连胜两局的概率求和为(解出关于P的方程((2)因为比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止，所以ξ的所有可能取值为2，第16页(共57页)4，6，而ξ=2已经做出概率，只要求出ξ=4或ξ=6时的概率即可，最后求出期望(解解:(1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，答:第二局比赛结束时比赛停止，故，解得(2)依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有，则随机变量ξ的分布列为:ξ246P故(点求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运评:算量也不大，只要注意解题格式就问题不大(6(甲、乙两人参加某种选拔测试(在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，得分低于o分时记为0分(即最低为0分)，至少得15分才能入选((1)求乙得分的分布列和数学期望;(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率(考点:互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差(专题:概率与统计(分析:(1)确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望;(2)由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论(解答:解:(1)乙答题所得分数为X，则X的可能取值为0，15，30(P(X=0)=+=第17页(共57页)P(X=15)==P(X=30)==乙得分的分布列如下X01530PEX=0×+15×+30×=(2)由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B，则P(A)=+=+=，P()=1,=由(1)知:P(B)=P(X=15)+P(X=30)=，P()=1,=，所求概率为P=1,P()=点评:本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键(7(惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)(每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回((1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望;(2)已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率(参考公式:互斥事件加法公式:P(A?B)=P(A)+P(B)(事件A与事件B互斥)(独立事件乘法公式:P(A?B)=P(A)•P(B)(事件A与事件B相互独立)(条件概率公式:(考点:条件概率与独立事件;相互独立事件的概率乘法公式(专题:应用题;概率与统计(分析:(1)ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球(即ξ=i)”为事件Ai(i=0，1，2)，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望;(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件AB+AB+AB(而事件AB、AB、AB互斥，由此可得结论(012012解答:解:(1)ξ的所有可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球(即ξ=i)”为事件A(i=0，1，2)(i因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P(A)=P(ξ=0)==;P(A)=P(ξ=1)==;P(A)=P(ξ=2)==，012所以ξ的分布列为第18页(共57页)ξ012Pξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1((2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件AB+AB+AB，而事件AB、AB、AB012012互斥，所以P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)012012=++=(所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为(点评:本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键(三、古典概率8(有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A(B(C(D(考点:古典概型及其概率计算公式(专题:概率与统计(分析:本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果(解答:解:由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A(点评:本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目(9(甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()A(B(C(D(考点:古典概型及其概率计算公式(专题:计算题;压轴题(第19页(共57页)分析:利用分步计数原理求出甲、乙最后一小时他们所在的景点结果个数;利用古典概型概率公式求出值(解答:解:甲、乙最后一小时他们所在的景点共有6×6=36中情况甲、乙最后一小时他们同在一个景点共有6种情况由古典概型概率公式后一小时他们同在一个景点的概率是P==故选D点评:本题考查利用分步计数原理求完成事件的方法数、考查古典概型概率公式(10(如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)=()A(B(C(D(考点:离散型随机变量的期望与方差(专题:压轴题;概率与统计(分析:由题意可知:X所有可能取值为0，1，2，3(?8个顶点处的8个小正方体涂有3面，?每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，?每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，?由以上可知:还剩下125,(8+36+54)=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出(解答:解:由题意可知:X所有可能取值为0，1，2，3(?8个顶点处的8个小正方体涂有3面，?P(X=3)=;?每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，?P(X=2)=;?每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，?P(X=1)=(?由以上可知:还剩下125,(8+36+54)=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，?P(X=0)=(第20页(共57页)X0123P故X的分布列为因此E(X)==(故选B(点评:正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键(11(甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙在不同岗位服务的概率为()A(B(C(D(考点:古典概型及其概率计算公式(专题:概率与统计(244分析:所有的结果共有CA种，不满足条件的事件数A，可得不满足条件的概率，用1减544去此概率即得所求(24解答:解:5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有CA=240种结果，544甲和乙在同一岗位服务的事件数A=244则甲和乙不在同一岗位服务的概率为1,=故选:A点评:本题主要考查古典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，属于中档题(12(从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A(B(C(D(考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率(专题:应用题;概率与统计;排列组合(分析:设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论(解答:解:设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，?所求概率为=(故选:C(第21页(共57页)点评:本题考查概率的计算，列举基本事件是关键(13(从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A(B(C(D(考点:古典概型及其概率计算公式(专题:计算题;压轴题(分析:先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求解答:解:个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45记:“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A，则A包含的结果:10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，P(A)=故选D点评:本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是灵活利用简单的排列、组合的知识求解基本事件的个数14(从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=8(考点:古典概型及其概率计算公式(专题:概率与统计(分析:列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值(解答:解:从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有:(1，4)，(2，3)共2种情况;从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得:从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=(所以，即，解得n=8(故答案为8(点评:本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的(此题是基础题(第22页(共57页)15(为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分数表示)(考点:古典概型及其概率计算公式(专题:概率与统计(分析:要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案(解答:解:在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，(4，5，6)，(5，6，7)，(6，7，8)，(7，8，9)，(8，9，10)，?选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为:(点评:本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题(16(盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)(考点:古典概型及其概率计算公式(专题:概率与统计(分析:利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率(解答:解:从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种(取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种(则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为(所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是(故答案为点评:本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题(第23页(共57页)17(三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示)(考点:古典概型及其概率计算公式(专题:概率与统计(分析:先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可(解答:解:每个同学都有三种选择:跳高与跳远;跳高与铅球;跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为:点评:本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题(18(随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)考点:古典概型及其概率计算公式(专题:概率与统计(9分析:本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数12，至少有2位同学在同一个月出生的对9立事件是没有人生日在同一个月，共有A种结果，根据对立事件和古典概型的概率公12式得到结果(解答:解:由题意知本题是一个古典概型，9试验发生包含的事件数12，9至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A种结果，12?要求的事件的概率是1,=1,=0.985，故答案为:0.985点评:本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错(19(在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期(从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为((结果用最简分数表示)第24页(共57页)考点:古典概型及其概率计算公式(专题:概率与统计(2分析:本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有C种结果，302满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有C27种结果，计算可得其概率;根据对立事件的概率得到结果(解答:解:由题意知本题是一个古典概型，2试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有C=435种结果，30满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，2它的对立事件是没有过期的，共有C=351种结果，27根据对立事件和古典概型的概率公式得到P=1,==，故答案为:点评:本题考查古典概型的概率公式，考查对立事件的概率，在解题时若从正面考虑比较麻烦，可以从事件的对立事件来考虑(本题是一个基础题(20(从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为(考点:古典概型及其概率计算公式(专题:概率与统计(分析:由题意知，七个数的中位数是5，说明5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，根据概率公式计算即可(解答:解:5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，P==(故答案为:(点评:本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题(21(某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)((?)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(?)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望(考点:古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列(专题:概率与统计(分析:(?)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值;(?)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，(k=0，1，2，3)第25页(共57页)列出随机变量X的分布列求出期望值(解答:(?)解:设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为((?)解:随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，(k=0，1，2，3)所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望(点评:本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力(22(如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染(某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天((?)求此人到达当日空气重度污染的概率;(?)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;(?)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大,(结论不要求证明)考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差(专题:概率与统计(分析:(?)由题意此人随机选择某一天到达该城市且停留2天，因此他必须在3月1日至13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2天属于重度污染，据此即可得到所求概率;(?)由题意可知X所有可能取值为0，1，2(由图可以看出在3月1日至14日属于优良天气的共有7天(?当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气;?当此人在3月3号，6号，7号，11号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天1不是优良天气1天是优良天气;?当此人在3第26页(共57页)月1号，2号，12号，13号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气根据以上分析即可得出P(X=0)，P(X=1)，p(x=2)及分布列与数学期望((?)由图判断从3月5天开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大(解答:解:(?)设“此人到达当日空气重度污染”为事件A(因为此人随机选择某一天到达该城市且停留2天，因此他必须在3月1日至13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2天属于重度污染，故P(A)=((?)由题意可知X所有可能取值为0，1，2(由图可以看出在3月1日至14日属于优良天气的共有7天(?当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气，故P(X=0)=;?当此人在3月3号，6号，7号，11号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天中的1天不是优良天气1天是优良天气，故P(X=1)=;?当此人在3月1号，2号，12号，13号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气，故P(X=2)=(故X的分布列为X012P?E(X)==((?)由图判断从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大(点评:本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力(23(近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位:吨);“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其2中a,0，a+b+c=600(当数据a，b，c的方差s最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，2并求此时s的值(2(求:S=[++…+]，其中为数据x，x，…，12x的平均数)n第27页(共57页)考模拟方法估计概率;极差、方差与标准差(点:专应用题;概率与统计(题:分(1)厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率;析:(2)生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率;(3)计算方差可得=2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s=80000(解解:(1)由题意可知:厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正答:确的概率为;(2)由题意可知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为;(3)由题意可知:?a+b+c=600，?a，b，c的平均数为200?=，22222222?(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac?a+b+c，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s=80000(点本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题(评:*24(随机将1，2，…，2n(n?N，n?2)这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a，最大数为a;B组最小数为b，最大数为b;记ξ=a,a，η=b,b(12122121(1)当n=3时，求ξ的分布列和数学期望;(2)C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C);(3)对(2)中的事件C，表示C的对立事件，判断P(C)和P()的大小关系，并说明理由(考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列(专题:概率与统计(分析:(1)当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ((2)根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P(C)的表达式;(3)判断P(C)和P()的大小关系，即判断P(C)和的大小关系，根据(2)的公式，可得答案(解答:解:(1)当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5第28页(共57页)其中P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，P(ξ=5)==，故随机变量ξ的分布列为:ξ2345Pξ的数学期望E(ξ)=2×+3×+4×+5×=;(2)?C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，?P(C)=2×(3)当n=2时，P(C)=2×=，此时P(),;即P(),P(C);当n?3时，P(C)=2×,，此时P(),;即P(),P(C);点评:本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大(25(已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=()A(B(2C(D(3考点:离散型随机变量的期望与方差(专题:概率与统计(分析:利用数学期望的计算公式即可得出(第29页(共57页)解答:解:由数学期望的计算公式即可得出:E(X)==(故选A(点评:熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键(26(将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l:ax+by=2，l:x+2y=2平行的概率为P，相交的概率为P，若点(P，1212122P)在圆(x,m)+y=的内部，则实数m的取值范围是()2A(B(C(D((,，+?)(,?，)(,，)(,，)考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;直线的一般式方程与直线的平行关系(专题:概率与统计(分析:先分别求出与直线平行的概率与直线相交的概率，得到点P的坐标，根据点再圆的内部，得到代入计算即可解答:解:对于a与b各有6中情形，故总数为36种设两条直线l:ax+by=2，l:x+2y=2平行的情形有a=2，b=4，或a=3，b=6，故概率为12P==设两条直线l:ax+by=2，l:x+2y=2相交的情形除平行与重合即可，12?当直线l、l相交时b?2a，图中满足b=2a的有(1，2)、(2，4)、(3，6)共三种，12?满足b?2a的有36,3=33种，?直线l、l相交的概率P==，1222?点(P，P)在圆(x,m)+y=的内部，1222?(,m)+(),，解得,,m,故选:D点评:本题考查列举法求基本事件数和求概率，涉及直线的平行关系，点和圆的位置关系，属基础题(27(随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，则D(ξ)=(考点:离散型随机变量的期望与方差(专题:概率与统计(分析:结合方差的计算公式可知，应先求出P(ξ=1)，P(ξ=2)，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得(解答:解析:设P(ξ=1)=p，P(ξ=2)=q，则由已知得p+q=，，第30页(共57页)解得，，所以(故答案为:点评:本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式(28(某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E(ξ)=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2(考点:离散型随机变量的期望与方差(专题:概率与统计(分析:设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1,x，由此能求出结果(解答:解:设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1,x，?某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E(ξ)=4.2，?4(1,x)+5x=4.2，解得x=0.2(故答案为:0.2(点评:本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用(29(甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者(设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则ξ的数学期望为(考点:离散型随机变量的期望与方差(专题:概率与统计(分析:随机变量ξ可能取的值为1，2，事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，由此可得ξ的分布列，进而得到ξ的数学期望(解答:解:随机变量ξ可能取的值为1，2，事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(ξ=2)==，所以P(ξ=1)=1,P(ξ=2)=，即ξ的分布列如下表所示ξ12P…(10分)第31页(共57页)?ξ的数学期望E(ξ)=×2+×1=，故答案为:点评:本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的概率与分布列和数学期望，属于中档题(30(某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为(用数字作答)(考点:等可能事件的概率(专题:计算题;压轴题(分析:三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率(解答:解:语文、数学、外语三门文化课排列，这三门课中间存在两个空，在两个空中，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为=72，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为=216，若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，故答案为(点评:本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题(四、几何概率31(在长为12cm的线段AB上任取一点C(现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，2则该矩形面积小于32cm的概率为()A(B(C(D(考点:几何概型(专题:计算题(分析:设AC=x，则0,x,12，若矩形面积为小于32，则x,8或x,4，从而利用几何概型概率第32页(共57页)计算公式，所求概率为长度之比解答:解:设AC=x，则BC=12,x，0,x,12若矩形面积S=x(12,x),32，则x,8或x,4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，2故该矩形面积小于32cm的概率为P==故选C点评:本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题32(由不等式组确定的平面区域记为Ω，不等式组确定的平面区域1记为Ω，在Ω中随机取一点，则该点恰好在Ω内的概率为()212A(B(C(D(考点:几何概型;简单线性规划(专题:概率与统计(分析:作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论(解答:解:平面区域Ω，为三角形AOB，面积为，1平面区域Ω，为?AOB内的四边形BDCO，2其中C(0，1)，由，解得，即D(，)，则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω中随机取一点，则该点恰好在Ω内的概率为，12故选:D(第33页(共57页)点评:本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键(33(节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是()A(B(C(D(考点:几何概型(专题:压轴题;概率与统计(分析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0?x?4，0?y?4，要满足条件须|x,y|?2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案(解答:解:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0?x?4，0?y?4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x,y|?2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为:=故选C第34页(共57页)点评:本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题(34(如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆(在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A(B(C(D(1,,考点:几何概型(专题:计算题(分析:求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积,直角三角形AOB的面积(解答:解:设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为:,，?此点取自阴影部分的概率是(故选A(点评:本题主要考查了几何概型，解题的关键是求阴影部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题(35(正方形的四个顶点A(,1，,1)，B(1，,1)，C(1，1)，D(,1，1)分别在抛物线22y=,x和y=x上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是(第35页(共57页)考点:几何概型(专题:概率与统计(分析:利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论(解答:解:?A(,1，,1)，B(1，,1)，C(1，1)，D(,1，1)，?正方体的ABCD的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[(1,),(,1+)]=2×=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是(故答案为:(点评:本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键(36(在区间[,3，3]上随机取一个数x使得|x+1|,|x,2|?1的概率为(考点:几何概型;绝对值不等式的解法(专题:不等式的解法及应用;概率与统计(分析:本题利用几何概型求概率(先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[,3，3]的长度求比值即得(解答:解:利用几何概型，其测度为线段的长度(由不等式|x+1|,|x,2|?1可得?，或?，?(解?可得x??，解?可得1?x,2，解?可得x?2(故原不等式的解集为{x|x?1}，第36页(共57页)?|在区间[,3，3]上随机取一个数x使得|x+1|,|x,2|?1的概率为P==(故答案为:点评:本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型(37(如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)(若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A(B(C(D(考点:几何概型(专题:计算题;概率与统计(分析:根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2,，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率(解答:解:?扇形ADE的半径为1，圆心角等于90?2?扇形ADE的面积为S=×π×1=1同理可得，扇形CBF的在，面积S=2又?长方形ABCD的面积S=2×1=2?在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P===1,故答案为:1,点评:本题给出矩形ABCD内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题(2238(在区间[,π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x+2ax,b+π有零点的概率为()第37页(共57页)A(B(C(D(考点:等可能事件的概率(专题:压轴题(22分析:先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f(x)=x+2ax,b+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果(解答:解:由题意知本题是一个几何概型，22?a，b使得函数f(x)=x+2ax,b+π有零点，???022?a+b?π试验发生时包含的所有事件是Ω={(a，b)|,π?a?π，,π?b?π}22?S=(2π)=4π，22而满足条件的事件是{(a，b)|a+b?π}，222?s=4π,π=3π，由几何概型公式得到P=，故选B(点评:高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数(再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积