高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算6省公开课一等奖新名师获奖

空间向量及其线性运算1/35平面向量知识复习一、基本概念向量、向量模、零向量、单位向量平行(共线)向量、相等向量、相反向量1、定义2/352、平面向量加法、减法与数乘运算向量加法三角形法则ab向量加法平行四边形法则ba向量减法三角形法则aba－ba

＋ba(k>0)ka(k<0)k向量数乘aa

＋b首尾相连共起点，指向被减3/353、平面向量加法、减法与数乘运算律加法交换律：加法结合律：数乘分配律：4/35推广:（1）首尾相接若干向量之和，等于由起始向量起点指向末尾向量终点向量；（2）首尾相接若干向量若组成一个封闭图形，则它们和为零向量。5/35二、平面向量运算及其性质

运算类型几何方法坐标方法运算性质向量加法向量减法①平行四边形法则②三角形法则三角形法则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)AB＋BC＝ACa－b＝a＋(－b)AB＝－BAOB－OA＝AB6/35运算类型几何方法坐标方法运算性质向量数乘向量数量积λa是一个向量①λ＞0时，

λa与a同向；②λ＜0时，

λa与a反向；③λ＝0时,λa＝0a·b是一个数a·b

＝|a|·|b|cos<a,b>7/35三、定理及主要结论

1、向量共线定理假如有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之假如b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.8/352、平面向量基本定理假如e1、e2是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.OP＝(OA＋OB)几何意义？129/35存在λ，使b＝λa(a≠0)x1y2＝x2y1x1x2＋y1y2＝0a·b＝0bb3、两个向量平行充要条件：4、两个向量垂直充要条件：若=(x1,y1)、=(x2,y2)则//充要条件是

.(坐标表示)aa//充要条件是

；

(向量表示)

ab⊥充要条件是

；(向量表示)

ab若

=(x1,y1)、=(x2,y2)则⊥充要条件也可是

.(坐标表示)aabb10/35空间向量在空间，我们把含有大小和方向量

叫做空间向量.

空间向量表示相等向量（同一向量）空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内两条有向线段表示所以凡是包括空间任意两个向量问题，平面向量中相关结论仍适合用于它们11/35空间向量OA＋AB＝OBOB－OA＝ABOP＝λa(λ∈R)一、空间向量运算OACBP空间向量运算就是平面向量运算推广12/35a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)二、空间向量运算律加法交换律加法结合律数乘分配律AA1CC1BDD1B1abc会证吗？13/35加法结合律：abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+14/35假如表示空间向量有向线段所在直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.AA1CC1BDD1B1abc零向量与任何向量共线！向量与向量平行，记作//.aabb15/35三、共线向量定理对空间任意两个向量a、b(a≠0)，b与a共线充要条件是存在实数λ，使b＝λa.16/35例题演练例1、在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1中点，化简以下各式，并在图中标出化简得到向量：⑴CB＋BA1；⑵AC＋CB＋AA1；⑶AA1－AC－CB.12ACBA1C1B1M17/35例题演练例2、在长方体OADB－CA'D'B'中，OA=3，OB＝4，OC＝2，OI＝OJ＝OK＝1，点E、F分别是DB、D'B'中点，设OI＝i，OJ＝j，OK＝k，试用i、j、k表示OE和OF.CADBOA'B'D'EFIKJ34218/35ABCDA1B1C1D1GM例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简以下向量表示式，并标出化简结果向量。(如图)

始点相同三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱平行六面体以公共始点为始点对角线所表示向量变：《教测》21/eg219/35例4：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足以下各式x值。ABCDA1B1C1D120/35ABCDA1B1C1D1例4：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足以下各式x值。21/35ABCDA1B1C1D1例4：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足以下各式x值。22/35ABCDA1B1C1D1例4：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足以下各式x值。23/351、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如图所表示，A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，E、F、G、H、P、Q分别是AB、BC、CC1、C1D1、D1A1、A1A中点，求证：EF＋GH＋PQ=0.备用例题D1ABCA1C1B1EFDGFHPQ24/352、如图所表示在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，N是C1D1中点，Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1.⑴用a、b、c表示向量AQ；⑵若AN＝xa＋yb＋zc，求x、y、z值.ABCDNQA1B1C1D1备用例题25/35ABMCGD练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边中点,化简26/35ABMCGD(2)原式练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边中点,化简27/35ABCDDCBA练习2在立方体AC1中,点E是面A’C’中心,求以下各式中x,y.E28/35ABCDDCBA练习2E在立方体AC1中,点E是面AC’中心,求以下各式中x,y.29/35ABCDDCBA练习2E在立方体AC1中,点E是面AC’中心,求以下各式中x,y.30/35练习:P83页.1、2、3、631/35若O为⊿ABC平面外一点,假如

那么G位置在图中哪里?OBCA思索:32/35OMBGCA若G为⊿ABC重心,证实

33/35平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法