复变函数1省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

《复变函数与积分变换》(第二版)华中科技大学数学系教师黄志祥(博士)1/74参考教材1.数学物理方法(第三版)，汪德新编，科学出版社，4月.2.

数学物理方法与计算机仿真，杨华军编，电子工业出版社，7月.3.

MATLAB及在电子信息课程中应用(第3版)，陈怀琛等编著,电子工业出版社,.4.复变函数与积分变换经典题分析解集(第二版)，李建林编，西北工业大学出版社,1月.017－44/1－22/74教学方式与要求方式

板书结合PPT源于书本稍高于书本要求

适当做笔记按质完成作业3/74复变函数积分变换解析函数(导数)复变积分二者关系:级数留数Fourier变换Laplace变换《复变函数与积分变换》主要内容第六－七章不讲共9周36课时4/74复球面5/744.4罗朗级数6/74§2.3初等函数指数函数对数函数三角函数与反三角函数双曲函数与反双曲函数幂函数小结7/742.3.1指数函数1.定义

对于复数z=x+iy,定义指数函数为注:2.性质3.举例函数图像8/742.3.2对数函数1.定义2.性质(1)多值性

主值支(2)运算性(3)解析性3.举例函数图像作业！9/742.3.3三角函数1.定义注:正、余弦函数能够大于1.2.性质(1)单值性(2)周期性(3)奇偶性(4)三角公式(5)解析性函数图像10/74反三角函数定义

假如sinw=z,则称w为z反正弦函数，记为一样，有函数图像均为多值函数.11/742.3.4双曲与反双曲函数双曲函数与反双曲函数注：双曲函数与三角函数关系为函数图像Q:双曲正(余)弦单值性、周期性、奇偶性怎样？12/742.3.5幂函数1.定义2.3.举例13/74小结

初等函数是复变函数主要研究对像.

介绍了常见基本初等函数，注意与实变初等函数类比学习，着重掌握它们之间区分.

要求:会计算基本初等函数值.

展望第三章复变函数积分.14/74结论:普通情形下幂函数为多值函数函数图像函数图像互为反函数15/74指数函数w=exp(z)图像虚部MATLAB及在电子信息课程中应用(第3版)陈怀琛等编著,电子工业出版社,.电路信号与系统数字信号处理控制系统16/74对数函数w=Ln(z)图像虚部实部17/74三角函数w=sin(z)图像虚部18/74反三角函数w=Arctan(z)图像虚部19/74双曲正弦函数w=sh(z)或w=sinh(z)图像虚部20/74幂整函数图像虚部21/74虚部根式函数

图像22/74Fourier&LaplaceTransform

Define

Conditions

Properties线性性质对称性质延迟、位移性质相同性质

Define

Conditions

Properties线性性质对称性质(无)延迟、位移性质相同性质

23/74Con’t卷积定理乘积定理及Parseval定理微分性质积分性质

卷积定理周期函数像函数

微分性质积分性质

Def:Def:24/74常见函数Fourier变换

(4).常见广义Fourier变换抽样函数25/74常见函数Laplace变换Attention:t-域函数f(t)了解应该为t为非负！26/74t-域symst,w;figure(1);ezplot((sin(t))./t,[-50,50]);Fw=fourier((sin(t))./(t),w);figure(2);ezplot(Fw,[-5,5])Matlabcode27/74W-域28/74《数学物理方程与特殊函数》

东南大学数学系(第三版)29/74主要内容“三类经典方程”

＋

“边界条件”分离变量法(有界)行波法与积分变换法(无界)Green函数法(有界或无界)BesselLegendre第七－九章不讲共9周36课时求解Sin&Cos

30/74预备知识

1基本概念偏微分方程(PDE):

含有未知多元函数及其偏导方程，如其中:为多元函数.方程阶:

未知函数导数最高阶数；方程次数:

最高阶偏导幂次；线性方程:

未知函数及未知函数偏导数幂次都是一次称为线性方程，不然就是非线性；自由项:

不含未知函数及其导数项；齐次方程:没有自由项偏微分方程称为齐次方程，不然称为非齐次；31/74Con’t方程解:若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程解；通解:包含任意独立函数方程解，且独立函数个数等于方程阶数；特解:不含任意独立函数方程解.比如：

二阶线性非齐次偏微分方程通解为

其中，F与G为两个任意独立函数.注意：通解所含独立函数个数＝偏微分方程阶数.

一阶非线性非齐次PDE二阶线性齐次PDE32/74弦微小横振动33/74传输线方程34/74补充1:正交函数系函数正交正交函数系常见正交函数系Chap2SeparateVariations35/74函数正交展开完备正交系函数广义Fourier级数展开36/74三角函数正交关系37/74分离变量法解物理意义级数解中前四个驻波分量运动38/74分离变量法小结第一步：分离变量.u(x,t)=X(x)T(t)第二步：求解本征值(固有值)问题.X(x)+BCODE第三步：求解T(t)满足常微分方程.第四步：作特解线性叠加.第五步：由初始条件确定系数.(三角函数正交性)

为方便记忆:“定解条件写完整，边界条件齐次化；五个步骤循序解，特征问题是关键”.39/74常见边值问题X´´+

X=0本征函数小结40/74常见边值问题对应本征函数41/74分离变量法抛物型方程＋第三类齐次边界条件(1-D)42/74椭圆型方程＋第一类齐次边界条件(2-D)43/7444/7445/7446/7447/7448/7449/7450/7451/7452/74第二章总结齐次方程＋齐次边界：分离变量法或本征函数法非齐次方程＋齐次边界：本征函数法非齐次边界：先将边界齐次化后，再用本征函数展开法53/74数理方程分类标准化方法第三章行波法与积分变换法总结54/74实系数型PDE方程行波解标准型普通型55/74普通强迫振动定解问题(1)

56/74普通强迫振动定解问题(2)57/74初始条件齐次非齐次达朗贝尔公式非齐次方程齐次方程冲量原理齐次方程非齐次方程达朗贝尔公式分解齐次方程+非齐初值非齐方程+齐次初值Chap3.Review(无界)58/74边界条件齐次非齐次分离变量法非齐次方程齐次方程特征函数法分解齐次边界+非齐方程非齐边界+已知函数Chap2.Review(有界)59/74总结PDE＋边界条件＋初始条件＝定解问题先看边界，再看初始条件，综合考虑PDE60/74第四章Green函数法(以求解Poisson方程为例)

61/74Green第二公式

62/74圆域Green函数Chap4.Review(GreenFunction)63/74球域Green函数64/74球内源点与球外像点共同作用(Green函数)

65/74仅球内