江苏省镇江市蒋乔中学高三数学理期末试卷含解析

江苏省镇江市蒋乔中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）A． B． C．3 D．8参考答案：A∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.则，即又∵，代入上式可得又∵，则∴，故选A.

2.（5分）（2015?嘉兴一模）三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（）A．若a∥α，a∥β，则α∥βB．若α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γC．若a?α，b?α，c?β，c⊥α，c⊥b，则α⊥βD．若α∩β=a，c?γ，c∥α，c∥β，则a∥γ参考答案：B【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：运用正方体，墙角线面，同一法，直线平面的垂直的定理的关键条件，判断即可．解：①在正方体中可以判断，A命题不正确；②设作a′⊥γ，a′是过a直线上一点O的直线，∵α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a，∴a′?α，a′?β，∴a′=α∩β，∵α∩β=a，而2个平面的交线只有一条，∴a与a′重合，故a⊥γ，故答案B是正确的命题．③当a∥b时，C命题不正确；④当α，β，γ两两相交于同一条直线a时，也存在α∩β=a，c?γ，c∥α，c∥β，这种情况，故D命题不正确，故选：B【点评】：本题综合考查了空间直线，平面的常见的位置关系，难度不大，可以借助正方体，墙角，几何模型判断，属于中档题．3.若，则是成立的

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A4.已知i是虚数单位，则计算的结果为A．1－i

B．1－2i

C．2+i

D．2－i参考答案：C5.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A． B． C．10 D．12参考答案：B【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴8a1+×1=4×（4a1+），解得a1=．则a10=+9×1=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.函数y=x+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，e﹣2） B．（e﹣2，+∞） C．（﹣∞，e﹣2） D．（e﹣2，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求导函数，令导数大于0，即可得到函数f（x）的单调增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，可得x＞e﹣2，∴函数f（x）的单调增区间是（e﹣2，+∞）故选B．7.已知实数x，y满足，则x＋y的取值范围为A．[2,5]

B．

C．

D．参考答案：A【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点A或B点时，的取值即可.【详解】由约束条件，画出可行域如图：由图象可知，当直线过点A时，z有最小值2，当直线过点时，z的最大值为5，所以z的取值范围为，故选A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划及利用几何意义求最值，属于中档题.

8.已知等差数列{an}的前10项和为165，a4=12，则a7=（）A．14 B．18 C．21 D．24参考答案：C【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{an}性质可得：a1+a10=a4+a7，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{an}性质可得：a1+a10=a4+a7，∴S10=10?=5（a4+a7）=5（12+a7）=165，解得a7=21，故选：C．9.若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50参考答案：A【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==．区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．10.已知函数，其中，则下列结论中正确的是（

）A．的最大值为2

B．是最小正周期为π的偶函数C．将函数的图像向左平移得到函数的图像D．的一条对称轴为参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数为上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为．参考答案：x<-201912.已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g（x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是．参考答案：b≤【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合．【分析】作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象，从而可得A=[2，4]；再化简g（x）=﹣（sinx﹣）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可．【解答】解：作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象如下，，∵f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]，∴2≤a≤4，故A=[2，4]；g（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+1+，∵≤≤1，∴g（a）=1+，∵A=[2，4]，∴gmin（a）=1+=，∵g（a）≥b对任意实数a∈A恒成立，∴b≤，故答案为：b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题．13.函数（）的反函数是

.参考答案：14.若为不等式组

表示的平面区域，则从-2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为

参考答案：略15.已知，［x］表示不大于x的最大整数，如，，，则使成立的x的取值范围是_____________参考答案：略16.设的最大值是____________.参考答案：略17.已知幂函数f（x）=（t3﹣t+1）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，则t的值为

．参考答案：1或﹣1【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义先求出t的值，然后结合幂函数的单调性和奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）是幂函数，∴t3﹣t+1=1，即t3﹣t=0，则t（t2﹣1）=0，则t=0或t=1或t=﹣1，当t=0时，f（x）=x7为奇函数，不满足条件．当t=1时，f（x）=x2是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足条件．当t=﹣1时，f（x）=x8是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足条件．故t=1或t=﹣1故答案为：1或﹣1【点评】本题主要考查幂函数的性质，利用幂函数的定义求出t的值是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．19.（本大题12分）

设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。参考答案：20.（本小题满分12分）已知是抛物线上的点，是的焦点，以为直径的圆与轴的另一个交点为.（Ⅰ）求与的方程；（Ⅱ）过点且斜率大于零的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的面积为，证明：直线与圆相切.参考答案：(Ⅰ)为圆的直径，则，即，把代入抛物线的方程求得，即，；………………3分又圆的圆心是的中点，半径，则：.………………5分(Ⅱ)设直线的方程为，,，由得，则

…7分设的面积为,则……………9分解得：，又，则∴直线的方程为，即又圆心到的距离，故直线与圆相切.……12分21.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．（1）求椭圆C的标准方程．（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足以AB为直径的圆过原点，求直线在y轴上截距的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c，由题意可知：e==，即a=2c，a+c=3，b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由△＞0求得3+4k2＞m2，由韦达定理求得x1+x2=﹣，x1?x2=，由以AB为直径的圆过原点，?=0，由向量数量积的坐标表示x1?x2+y1?y2=0，求得7m2=12+12k2，代入即可求得m2＞，7m2=12+12k2≥12，即可求得截距y轴上截距的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．由椭圆的离心率e==，即a=2c，由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3，∴a+c=3，解得：a=2，c=1，由b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程：；（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，整理得：3+4k2＞m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1?x2=，y1?y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1?x2+km（x1+x2）+m2，以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，则?=0，∴x1?x2+y1?y2=0，即x1?x2+k2x1?x2+km（x1+x2）+m2=0，则（1+k2）x1?x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）?﹣km?+m2=0，化简得：7m2=12+12k2，将k2=m2﹣1，代入3+4k2＞m2，3+4（m2﹣1）＞m2，解得：m2＞，又由7m2=12+12k2≥12，从而m2≥，m≥或m≤﹣．∴实m的取值范围（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．22.已知常数p＞0，数列{an}满足an+1=|p﹣an|+2an+p，n∈N*．（1）若a1=﹣1，p=1，①求a4的值；②求数列{an}的前n项和Sn；（2）若数列{an}中存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）①an+1=|p﹣an|+2an+p，可得a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1，同理可得a3=3，a4=9．②a2=1，an+1=|1﹣an|+2an+1，当n≥2时，an≥1，当n≥2时，an+1=﹣1+an+2an+1=3an，即从第二项起，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式即可得出Sn．（2）an+1﹣an=|p﹣an|+an+p≥p﹣an+an+p=2p＞0，可得an+1＞an，即{an}单调递增．（i）当≥1时，有a1≥p，于是an≥a1≥p，可得an+1=|p﹣an|+2an+p=an﹣p+2an+p=3an，．利用反证法即可得出不存在．（ii）当时，有﹣p＜a1＜p．此时a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p＞p．于是当n≥2时，an≥a2＞p．从而an+1=|p﹣an|+2an+p=an﹣p+2an+p=3an．an=3n﹣2a2=3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．假设存在2as=ar+at，同（i）可知：r=1．得出矛盾，因此不存在．（iii）当≤﹣1时，有a1≤﹣p＜p．a1+p≤0．于是a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p．a3=a1+4p．即可得出结论．【解答】解：（1）①∵an+1=|p﹣an|+2an+p，∴a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1，a3=|1﹣a2|+2a2+1=0+2+1=3，a4=|1﹣a3|+2a3+1=2+6+1=9，②∵a2=1，an+1=|1﹣an|+2an+1，∴当n≥2时，an≥1，当n≥2时，an+1=﹣1+an+2an+1=3an，即从第二项起，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+a4+…+an=﹣1+=﹣，（n≥2），显然当n=1时，上式也成立，∴Sn=﹣；（2）∵an+1﹣an=|p﹣an|+an+p≥p﹣an+an+p=2p＞0，∴an+1＞an，即{an}单调递增．（i）当≥1时，有a1≥p，于是an≥a1≥p，∴an+1=|p﹣an|+2an+p=an﹣p+2an+p=3an，∴．若数列{an}中存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2as=ar+at，即2×3s﹣1=3r﹣1+3t﹣1．（*）∵