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福建省三明市大田县太华中学2022年高二数学文摸底试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知α,β是两个不重合的平面,直线m⊥α,直线n⊥β,则“α,β相交”是“直线m,n异面”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据空间直线与直线,平面与平面位置关系的几何特征,结合充要条件的定义,可得答案.【解答】解:α,β是两个不重合的平面,直线m⊥α,直线n⊥β,当α,β相交时直线m,n可以异面和相交,当直线m,n异面直线时,α,β必相交,故“α,β相交”是“直线m,n异面”的必要不充分条件,故选:B2.如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值为()A. B. C.4 D.参考答案:B【考点】简单线性规划.【分析】化目标函数为直线方程的斜截式,结合使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合,由斜率相等求得a值.【解答】解:如图,化目标函数z=ax+y(a>0)为y=﹣ax+z,要使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合,即﹣a=,∴a=.故选:B.3.椭圆的两顶点为,且左焦点为F,是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率为
(
)
A、
B、
C、
D、参考答案:B4.若的展开式中各项系数和为64,则其展开式中的常数项为()A.540 B.﹣540 C.135 D.﹣135参考答案:C【考点】DB:二项式系数的性质.【分析】由题意令x=1,则2n=64,解得n,再利用通项公式即可得出.【解答】解:由题意令x=1,则2n=64,解得n=6.∴的通项公式为:Tr+1=(3x6﹣r)=(﹣1)r36﹣r,令6﹣=0,解得r=4.∴常数项=×32=135.故选:C.5.已知函数,若函数有两个零点,则实数a的取值范围是(
)A.(0,1)
B.(1,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,-1)参考答案:B【分析】分别计算和时,函数的零点情况:函数有一个零点,所以也必须是一个零点,计算得到答案.【详解】时,,时,,令,,当时,在上是减函数,在上是增函数,,,当时,,∴在上有1个零点,即时,函数有2个零点,当时,同样可知函数至多有1个零点,所以有2个零点时,.故答案选B【点睛】本题考查了函数的零点问题,判断函数有一个零点是解题的关键.6.复数在复平面内对应的点位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案:A分析:先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.详解:由题得,所以复数z在复平面内对应的点为(2,4),故答案为:A.点睛:(1)本题主要考查复数的运算和复数的几何意义,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数对应的点是(a,b),点(a,b)所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点(a,b)是一一对应的关系.7.已知,且∥,则
(
)A.-3
B.0
C.
D.参考答案:C8.现在,很多人都喜欢骑“共享单车”,但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度,某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民,得到了一个市民是否认可的样本,具体数据如下2×2列联表:
AB总计认可13518不认可71522总计202040
附:,.
0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879
根据表中的数据,下列说法中,正确的是(
)A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”参考答案:D由题意,根据中列联表的数据,利用公式求得,又由,所以可以在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”,故选D.
9.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)等于()A.p
B.1-p
C.1-2p
D.-p参考答案:D10.定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞)参考答案:A【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算.【分析】构造函数g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解【解答】解:设g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),则g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1],∵f(x)+f′(x)>1,∴f(x)+f′(x)﹣1>0,∴g′(x)>0,∴y=g(x)在定义域上单调递增,∵exf(x)>ex+3,∴g(x)>3,又∵g(0)═e0f(0)﹣e0=4﹣1=3,∴g(x)>g(0),∴x>0故选:A.【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数(a>0且a≠1)的图象恒过一定点是_______.参考答案:(3,4)12.某高中共有4500人,其中高一年级1200人,高二年级1500人,高三年级1800人,现采取分层抽样的方法抽取容量为600的样本,则高二年级抽取的人数为
.参考答案:20013.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为____________
参考答案:略14.若,则
___________.参考答案:略15.观察下列各式:,,,,……,则
.参考答案:
123
16.函数的定义域是
.参考答案:17.已知不等式的解集为,则
。
参考答案:.略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=,AD=1.(I)求证:CD⊥平面PAC(II)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置,并证明,若不存在,请说明理由.参考答案:【考点】直线与平面平行的判定;空间图形的公理.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】(I)由面面垂直的性质证出PA⊥底面ABCD,可得PA⊥CD.在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理,利用题中数据算出CD2+AC2=1=AD2,从而AC⊥CD.最后利用线面垂直的判定定理,即可证出CD⊥平面PAC;(II)取PD的中点F,连结BE、EF、FC.利用三角形的中位线定理和已知条件BC∥AD且BC=AD,证出四边形BEFC为平行四边形,可得BE∥CF.最后利用线面平行判定定理,即可证出BE∥平面PCD.【解答】解:(I)∵∠PAD=90°,∴PA⊥AD.又∵侧面PAD⊥底面ABCD,PA?侧面PAD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,∴PA⊥底面ABCD.∵CD?底面ABCD,∴PA⊥CD.∵在底面ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,PA=AB=BC=,AD=1.∴AC==,∠CAB=∠CAD=45°△CAD中由余弦定理,得CD==可得CD2+AC2=1=AD2,得AC⊥CD.又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线,∴CD⊥平面PAC.(II)在PA上存在中点E,使得BE∥平面PCD,证明如下:设PD的中点为F,连结BE、EF、FC,则∵EF是△PAD的中位线,∴EF∥AD,且EF=AD.∵BC∥AD,BC=AD,∴BC∥EF,且BC=EF,∴四边形BEFC为平行四边形,∴BE∥CF.∵BE?平面PCD,CF?平面PCD,∴BE∥平面PCD.【点评】本题在四棱锥中证明线面垂直,并探索线面平行的存在性.着重考查了空间垂直、平行的位置关系的判断与证明等知识,属于中档题.19.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,并与双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点位分别求(1)抛物线的方程(2)双曲线的方程(本题满分12分)参考答案:(1),(2)20.(12分)已知圆A:和圆B:,求与圆A外切而内切于圆B的动圆圆心P的轨迹方程。参考答案:21.(本小题满分12分)已知函数,函数的导函数,且,其中为
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