王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第5章线性定常系统综合1.引言2.状态反馈和输出反馈3.状态反馈系统能控性和能观察性4.状态反馈极点配置6.镇静问题7.状态重构和状态观察器8.降阶观察器9.带状态观察器状态反馈系统10.渐近跟踪和干扰抑制问题11.解耦问题12.MATLAB应用本章内容为:5.输出反馈极点配置1/835.1引言线性定常系统综合：给定被控对象，经过设计控制器结构和参数，使系统满足性能指标要求。5.2状态反馈和输出反馈5.2.1状态反馈线性定常系统方程为：（1）假定有n个传感器，使全部状态变量均能够用于反馈。（2）其中，K为反馈增益矩阵；V为r维输入向量。2/83则有（3）5.2.2输出反馈采取（4）H为常数矩阵3/83（5）二者比较：状态反馈效果很好；输出反馈实现较方便。4/835.3状态反馈系统极点配置线性定常系统方程为（6）引入状态反馈（7）则有（8）5.3.1状态反馈系统能控性和能观性5/83定理5-1线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不改变系统能控性。对任意K矩阵，都有证实因为满秩，所以对任意常值矩阵K和

，都有（9）（9）式说明，引入状态反馈不改变系统能控性。不过，状态反馈能够改变系统能观察性，见例5-1。6/835.3.2极点配置定理线性定常系统能够经过状态反馈进行极点配置充分必要条件是：系统状态完全能控。状态反馈（11）线性定常系统（10）状态反馈系统方程（12）7/83因为A和b一定，确定K就能够配置系统极点。经过线性变换，能够使系统含有能控标准形。（13）系统传递函数：（14）方法一：8/83（15）引入状态反馈令（16）其中为待定常数9/83状态反馈系统特征多项式为（17）设状态反馈系统希望极点为其特征多项式为（18）比较（17）式和（18）式，选择使同次幂系数相同。有（19）而状态反馈矩阵10/83假设状态反馈矩阵为K——K各个元素为待定。方法二：首先，判断系统为能控。其特征多项式为由各幂次系数分别对应相等，而且解n元一次方程组，即可确定状态反馈矩阵。设状态反馈系统希望极点为其中，为K各分量元素线性组合。11/83注：在求解上面过程中，假如出现等乘积项，只要系统为能控，则在计算过程中一定能够消去。假如不能消去话，只有2种可能：1）系统不能控；2）计算过程中有错误。因为：1.系统变换成能控标准型后配置极点，没有等乘积项；2.能控系统方程一定能够转换成能控标准型；3.非标准型能控系统方程，与它能控标准型方程是等价。二者之间只是进行了非奇异线性变换，不影响其基本属性。所以：在非标准型方程配置极点过程中产生乘积项必将在计算过程中消去。12/83例5-3某位置控制系统（伺服系统）简化线路以下为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG，经过霍尔电流传感器测得电枢电流，即。已知折算到电动机轴上粘性摩擦系数、转动惯量；电动机电枢回路电阻；电枢回路电感；电动势系数为、电动机转矩系数为。选择、、作为状态变量。将系统极点配置到和，求K阵。13/8314/83解1.建立系统状态空间模型为恒定负载转矩将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为15/832.计算状态反馈矩阵所以系统能控计算出状态反馈矩阵状态反馈系统状态图如图（c）所表示（没有画出）。经过结构变换成（d）图所表示状态图因为位置主反馈，其它参数选择应该满足：验证：求图（d）系统传递函数，其极点确实为希望配置极点位置。16/835.4输出反馈系统极点配置5.4.1输出反馈系统能观察性和能控性定理5-2对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统能观察性。证实：设系统方程为控制输出反馈系统方程为对于任意常值反馈矩阵H，都有17/83因为不论H为何种常值矩阵，矩阵均为满秩，所以可见，输出反馈不改变系统能观性。定理5-3对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统能控性。证实：设系统方程为控制输出反馈系统方程为18/83对于任意常值矩阵H，都有因为不论H为何种常值矩阵，矩阵均为满秩，所以可见，输出反馈不改变系统能控性。5.4.2输出反馈系统极点配置不足设系统方程为其中，x——n维；

u

——标量；

y——m维。19/83引入输出反馈：得到：设A特征多项式为：若系统能控，则进行线性变换，成能控标准形：设闭环极点为：，其多项式为：（20）20/83记，其中为第i列。而，其中为H第i列（21）21/83令（20）式和（21）式s同次幂系数相等，得到n个方程联立方程组，m个未知量，当m<n时，方程组无解。（22）对于给定，（22）式有解条件是：它们相容。即：当秩为m时，m个方程唯一解应能够满足剩下（n-m）个方程，则（22）式有解，输出反馈控制能够配置极点。22/83例5-5系统方程为采取常值输出反馈，分析该常值输出反馈系统极点配置问题。解：由方程组（22）计算方程相容条件为即：（23）假如希望极点为-1、-1、-2，则特征多项式为，不满足（23）式。即不能用常值输出反馈任意配置极点。假如特征多项式为，则满足（23）式。23/835.4.3输出反馈系统极点配置基本结论比如：系统方程为定理5-4系统（1）能控、能观察，rankB=r，rankC=m。存在一个常值输出反馈矩阵H，使闭环系统有个极点可配置任意靠近个任意指定极点（复数共轭成对）位置。在情况下，几乎全部系统都能够经过输出反馈使之稳定。因为r=1，m=1，n=2，所以，即引入后，能够任意靠近地配置极点数是1。该闭环系统特征方程为。假如希望闭环极点为，则选择h=1，能够将一个极点配置在与希望极点最近位置上，不过不能配置在希望极点上。24/835.4.4动态输出反馈系统极点配置系统方程为(24)其中，x为n维，u为r维，y为m维向量。25/83采取输出反馈，同时引入赔偿器其中，z为l维，w为r维向量。控制信号（25）（26）将（26）式代入（24）式，得动态输出反馈系统系统方程为（27）26/83为了能用类似常值输出反馈系统极点配置方法，将赔偿器参数转化为等效静态输出反馈矩阵来设计。令：式中为n+l维向量，为r+l维向量，为m+l维向量。（28）则等效系统方程为设等效静态输出反馈矩阵为，且27/83控制则有（29）（30）定理5-5动态输出反馈系统（30）要进行极点配置，必须是能控且能观察。而它能控且能观察充分必要条件是系统（24）为能控且能观察。定理5-6动态输出反馈系统为能控且能观察，而且，，则存在等效静态输出反馈矩阵，使得等效静态输出反馈系统有个极点能够配置在任意靠近希望极点位置（复数共轭成对）。在条件下，几乎全部等效静态输出反馈系统均能够用等效静态输出反馈来稳定。定理5-7假如系统（24）为能控且能观察，则存在赔偿器，使动态输出反馈系统全部极点均能够近似配置到任意希望位置（复数共轭成对）。28/83例5-6系统方程为要求采取赔偿器，使动态输出反馈系统极点为-2、-3、-4.解：经检验，系统能控且能观察。但，故不能用静态输出反馈来配置系统极点。能够用动态输出反馈实现极点配置。赔偿器维数能够算出：，l=1，赔偿器方程为等效系统方程为29/83控制动态输出反馈系统系数矩阵为特征多项式为希望极点特征多项式对应幂次系数相等，得30/83赔偿器方程为赔偿器传递函数为可见，赔偿器本身是稳定。31/835.5镇静问题镇静问题——非渐近稳定系统经过引入状态反馈，实现渐近稳定（23）定理5-8SISO线性定常系统方程为显然，能控系统能够经过状态反馈实现镇静。假如系统不能控，引入状态反馈能镇静充要条件为：不能控状态分量是渐近稳定。（证实请参见教材191页）那么，假如系统不能控，还能不能镇静呢？请见定理5-2。32/83当系统满足可镇静条件时，状态反馈阵计算步骤为1）将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵2）确定，化为约当形式3）利用状态反馈配置特征值，计算4）所求镇静系统反馈阵例5-7系统状态方程为试用状态反馈来镇静系统。解矩阵A为对角阵，显然系统不能控。不能控子系统特征值为-5，所以，系统能够镇静。33/83能控子系统方程为引入状态反馈其中为了确保系统是渐近稳定，设希望极点为同次幂系数相等，得34/835.6状态重构和状态观察器问题提出：状态反馈能够改进系统性能，但有时不便于检测。怎样处理这个问题？答案是：重构一个系统，用这个系统状态来实现实状况态反馈。（31）系统方程为（32）重构一个系统，该系统各参数与原系统相同（31）式减去（32）式（33）35/83当两个系统初始状态完全一致，参数也完全一致，则。不过实际系统总会有一些差异，所以实际上。（34）当时，也不为零，能够引入信号来校正系统（33），它就成为了状态观察器。其中，为矩阵（31）式减去（34）式（35）由（35）式可知，假如适当选择G矩阵，使(A-GC)全部特征值含有负实部，则式（34）系统就是式（31）系统状态观察器，就是重构状态。36/8337/83定理5-9系统状态观察器存在充分必要条件是：系统能观察。（证实请参见教材167页）定理5-10线性定常系统观察器（37）可任意配置极点充分必要条件是系统能观察而且能控。(补充：系统即使不能观察，不过其不能观察子系统特征值含有负实部，也存在状态观察器。)38/83例5-8系统方程为要求设计系统状态观察器，其特征值为－3、－4、－5。解首先判断系统能观察性系统能观察，可设计观察器。设：其中，待定希望特征值对应特征多项式而状态观察器特征多项式39/83同次幂系数分别相等，能够得出几点说明：1）希望特征值一定要含有负实部，且要比原系统特征值更负。这么重构状态才能够尽快地趋近原系统状态。2）状态观察器特征值与原系统特征值相比，又不能太负，不然，抗干扰能力降低。3）选择观察器特征值时，应该考虑到不至于因为参数改变而会有较大改变，从而可能使系统不稳定。40/835.7降阶观察器1.降阶观察器维数定理5-11若系统能观察，且rankC=m，则系统状态观察器最小维数是(n-m)。（证实略）因为有m维能够经过观察y得到，所以有(n-m)维需要观察。对系统方程采取变换矩阵进行线性变换，41/83（38）得到以下形式系统方程可见能够经过观察到，需要对维进行预计。所以，降阶观察器维数为(n-m)2.降阶观察器存在条件及其组成将（38）式改写成（39）（40）（41）令42/83于是有(n-m)阶子系统：（42）以下结构这个子系统状态观察器（43）因为子系统能观察，所以，经过选择参数，能够配置特征值。43/83为了在观察器中不出现微分项，引入以下变换，（44）即（44）式代入（43），得因为故（45）所以，是预计。（46）状态图中44/8345/835.8带有状态观察器状态反馈系统SISO线性定常系统（47）全阶状态观察器（48）状态反馈（49）还有46/83写成矩阵形式（50）作线性变换（51）其中为误差预计47/83对（43）式进行线性变换，得到以下方程（52）（53）由上式可见，特征值与特征值能够分别配置，互不影响。这种特征值和特征值能够分别配置，互不影响方法，称为分离定理。需要注意：特征值应该比特征值更负，普通为四倍左右，才能够确保尽快跟上，正常地实现实状况态反馈。48/83这时传递函数为49/835.9渐近跟踪与干扰抑制问题5.9.1渐近跟踪问题右图所表示反馈控制系统普通极难做到在全部时间上都有，但，就有可能做到，即：稳态时，实现了跟踪，称为渐近跟踪。50/83在经典控制理论中，已经讨论过经典输入信号时情况。不过，对于不是经典输入信号，则跟踪条件是什么？输入和误差信号拉氏变换式分别为显然，输入信号分母中那些实部为负根，当时对稳态误差无影响；只有那些位于右半闭平面（包含虚轴右半平面）根，对稳态误差有影响。51/83当全部极点位于左半开平面时，要使必须有1）全部根实部均为负。2）在右半闭平面零点也是零点。上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即有。其中，第2个条件就是著名内模原理。52/835.9.2内模原理假定一些根含有零实部或正实部，令是中不稳定极点组成多项式。和互质。则因为中不稳定零点均被准确地消去，所以，只要选择、使根含有负实部。即：用镇静系统，则时，有，实现了渐近跟踪。这就是内模原理.53/835.9.3干扰抑制问题假如系统存在确定性干扰，如右图所表示。当时，，使，称为干扰抑制问题。假如为正则有理函数，假定一些根含有零实部或负实部。令是不稳定极点组成s多项式。于是全部根均含有零实部或正实部。将内模放入系统中，选择使反馈系统成为渐近稳定系统。54/83由作用引发系统输出因为中不稳定零点均被准确地消去，故全部极点都含有负实部。所以，当时，。从而实现了干扰抑制。55/835.9.4渐近跟踪与干扰抑制假如，，经过在系统中引入内模，若是和不稳定极点之最小公分母。设计赔偿器，就能够实现渐近跟踪和干扰抑制。2）内模系数不允许改变，不然无法实现准确对消。即使现实中，极难极其准确地对消，因为和大多数是有界，输出依然能够跟踪输入，只是有有限稳态误差。两点说明：1）内模位置要求并不高，只要不位于从到和从到前向通道中即可。56/835.9.5状态空间设计法系统方程为（54）为能控，为能观察。（55）为干扰信号，认为它是在未知初始条件下，由以下系统产生。（56）认为是在未知初始条件下，由以下系统产生。和为能观察，要求设计系统实现渐近跟踪与干扰抑制。57/83设和在s右半闭平面零点最小公倍式为全部零点都含有非负实部，内模可实现为（57）其中58/83组合系统状态方程为59/83当时，状态反馈组合系统特征多项式为对状态反馈组合系统，假如给出(n+m)个希望极点，求出比较和，即能够求得K和KC，如此设计系统，即能够实现渐近跟踪和干扰抑制。60/835.10解耦问题线性定常系统方程为（58）引入状态反馈其中K为反馈阵，F为输入变换矩阵。（59）状态反馈系统传递函数矩阵为所谓解耦问题，就是寻求适当K和F矩阵使得状态反馈传递函数矩阵为对角阵。61/835.10.1关于两个不变量假如为严格正则有理传递函数矩阵，能够表示为以下形式（60）其中，为第行向量。定义1（61）其中，为第k个元素分母多项式和分子多项式次数之差，62/83例5-12传递函数矩阵以下，求不变量解对于来说，，所以对于来说，，所以约定：对于为零向量时，63/83定义2（62）这是一个m维非零向量。它是这么结构：对于1×m行向量，各元素分子多项式中最高次幂系数。例5-9中约定：对于为零向量时，64/835.10.2能解耦性判据（63）（证实请参见教材184页。这是结构性证实方法。即：定理证毕，K,F矩阵即可求出）定理5-12一个含有传递函数矩阵系统，能用状态反馈实现解耦充分必要条件是以下矩阵非奇异。65/83例5-13系统方程以下，要求用状态反馈实现系统解耦。1）系统传递函数矩阵为解2）判断系统能解耦性因为，系统能解耦。66/833）所以67/834）状态反馈方程为上面介绍是积分解耦系统。而对于实际工程系统来说，要求系统为李亚普诺夫意义下渐近稳定。实现方法见教材187页。68/835.11MATLAB应用5.11.1极点配置线性系统是状态能控时，能够经过状态反馈来任意配置系统极点。把极点配置到S左半平面所希望位置上，则能够取得满意控制特征。状态反馈系统方程为69/83在MATLAB中，用函数命令place()能够方便地求出状态反馈矩阵K；该命令调用格式为：K=place(A,b,P)。P为一个行向量，其各分量为所希望配置各极点。即：该命令计算出状态反馈阵K，使得（A-bK）特征值为向量P各个分量。使用函数命令acker()也能够计算出状态矩阵K，其作用和调用格式与place()相同，只是算法有些差异。例5-15线性控制系统状态方程为其中要求确定状态反馈矩阵，使状态反馈系统极点配置为70/83解首先判断系统能控性，输入以下语句语句执行结果为这说明系统能控性矩阵满秩，系统能控，能够应用状态反馈，任意配置极点。输入以下语句语句执行结果为71/83计算结果表明，状态反馈阵为注：假如将输入语句中K=place(A,B,P)改为K=acker(A,B,P)，能够得到一样结果。5.11.2状态观察器设计在MATLAB中，能够使用函数命令acker()计算出状态观察器矩阵。调用格式，其中AT和CT分别是A和B矩阵转置。P为一个行向量，其各分量为所希望状态观察器各极点。GT为所求状态观察器矩阵G转置。例5-16线