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第三节泰勒公式一泰勒公式二几个惯用函数麦克劳林公式三泰勒公式应用举例11/25一泰勒公式1问题提出则有则有22/25不足:问题:1、准确度不高；2、误差不能预计。设函数在含有开区间内含有直到阶导数,为多项式函数:误差

2确实定要使保持在点处性质，必须33/25即所以称为在处泰勒(Taylor)多项式。44/2542246420246比如取问题：用代替误差是多少？即是什么？55/25定理1

泰勒(Taylor)中值定理在内时,则当其中(在与之间).上式称为在处含有拉格朗日余项阶泰勒公式，在某个开区间内含有直到阶导数,含有假如函数3泰勒公式66/25称为在阶拉格朗日余项.处证由假设,在直到导数,阶内含有函数及在以及区间上满足柯西中值定理条件,为端点且所以77/25函数及在以及区间上满足柯西中值定理条件,为端点如此下去,经过次后,得也在与之间)

所以88/25则由上式得注意:(1)当时,泰勒公式变成拉氏中值公式(2)令则等价于所以拉格朗日余项又可写为99/25(3)当时,含有拉格朗日余项泰勒公式为其中或称为函数含有拉格朗日余项阶麦克劳林公式.(4)当时，1010/25定理2在点阶导数,假如函数处存在某个邻域内则在其中上式称为阶泰勒(Taylor)公式,

在处含有佩亚偌(Peano)余项阶佩亚偌余项.称为在处1111/25例1求三阶麦克劳林展开式解（带拉格朗日余项）.所以其中在０与之间。1212/25例2求函数在二、四阶泰勒展式(带拉格朗日余项).处解二阶泰勒展式为四阶泰勒展式为1313/25例3求函数三阶麦克劳林公式（带佩亚诺余项）。解三阶麦克劳林公式为1414/25二几个惯用函数麦克劳林公式1麦克劳林公式1515/2522n阶麦克劳林公式1616/2532n+1阶麦克劳林公式1717/254n阶麦克劳林公式1818/255n阶麦克劳林公式1919/25尤其2020/25三泰勒公式应用举例1近似计算例4求近似值（要求误差不超出）

解取2121/25２利用泰勒公式求极限例5求函数阶麦克劳林展式(带皮亚诺余项).解麦克劳林展式为2222/25例6问当时，是几阶无穷小?解所以，当时，是二阶无穷小。例7求极限解原式2323/25３利用泰勒公式求高阶导数

例８求函数４阶麦克劳林公式(带皮亚诺余项)并求解所以

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