人教版初二上册压轴题数学质量检测试卷(一)001

人教版初二上册压轴题数学质量检测试卷（一）1．如图①，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD=AE，BE与CD交于点O．（1）填空：∠BOC＝度；（2）如图②，以CO为边作等边△OCF，AF与BO相等吗？并说明理由；（3）如图③，若点G是BC的中点，连接AO、GO，判断AO与GO有什么数量关系？并说明理由．2．在平面直角坐标系中，，点在第一象限，，（1）如图，求点的坐标．（2）如图，作的角平分线，交于点，过点作于点，求证：（3）若点在第二象限，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，为轴上点右侧的动点，以为腰作等腰，使，，直线交轴于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）当点运动时，点在轴上的位置是否发生变化，为什么？4．在中，，点在边上，且是射线上一动点(不与点重合，且)，在射线上截取，连接．当点在线段上时，①若点与点重合时，请说明线段；②如图2，若点不与点重合，请说明；当点在线段的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．5．以点为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接、．（1）试判断、的数量关系，并说明理由；（2）延长交于点试求的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．6．阅读材料1：对于两个正实数，由于，所以，即，所以得到，并且当时，阅读材料2：若，则，因为，，所以由阅读材料1可得：，即的最小值是2，只有时，即=1时取得最小值.根据以上阅读材料，请回答以下问题：(1)比较大小(其中≥1)；

-2(其中<-1)(2)已知代数式变形为，求常数的值(3)当=时，有最小值，最小值为(直接写出答案).7．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，在BD的延长线上取一点E满足：AE＝AB；AF平分∠CAE交BE于点F．(1)如图1，连CF，求证：△ACF≌△AEF．(2)如图2，当∠ABC＝60°时，线段AF，EF，BF之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．(3)如图3，当∠ACB＝45°时，且AE∥BC，若EF＝3，请直接写出线段BD的长是（只填写结果）．8．已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．(1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰，若，，求C点的坐标；(2)如图2，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理出；(3)如图3，若，于点F，以OB为边作等边，连接AM交OF于点N，若，，请直接写出线段AM的长．【参考答案】2．（1）120；（2）相等，理由见解析；（3）AO=2OG．理由见解析【分析】（1）证明△EAB≌△DBC（SAS），可得结论．（2）结论：AF=BO，证明△FCA≌△OCB（SAS），可得结解析：（1）120；（2）相等，理由见解析；（3）AO=2OG．理由见解析【分析】（1）证明△EAB≌△DBC（SAS），可得结论．（2）结论：AF=BO，证明△FCA≌△OCB（SAS），可得结论．（3）证明△AFO≌△OBR（SAS），推出OA=OR，可得结论．【详解】解：（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠A=∠CBD=60°，在△EAB和△DBC中，，∴△EAB≌△DBC（SAS），∴∠ABE=∠BCD，∴∠BOD=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=60°，∴∠BOC=180°-60°=120°．故答案为：120．（2）相等．理由：如图②中，∵△FCO，△ACB都是等边三角形，∴CF=CO，CA=CB，∠FCO=∠ACB=60°，∴∠FCA=∠OCB，在△FCA和△OCB中，，∴△FCA≌△OCB（SAS），∴AF=BO．（3）如图③中，结论：AO=2OG．理由：延长OG到R，使得GR=GO，连接CR，BR．在△CGO和△BGR中，，∴△CGO≌△BGR（SAS），∴CO=BR=OF，∠GCO=∠GBR，AF=BO，∴CO∥BR，∵△FCA≌△OCB，∴∠AFC=∠BOC=120°，∵∠CFO=∠COF=60°，∴∠AFO=∠COF=60°，∴AF∥CO，∴AF∥BR，∴∠AFO=∠RBO，在△AFO和△OBR中，，∴△AFO≌△OBR（SAS），∴OA=OR，∵OR=2OG，∴OA=2OG．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（1）C；（2）见解析；（3）或或【分析】（1）作垂足为，证明，求出CM和OM的长，即可得到点C坐标；（2）延长相交于点，先证明，得BD=CF，再证明，得CE=EF，即可证明结论；（3）解析：（1）C；（2）见解析；（3）或或【分析】（1）作垂足为，证明，求出CM和OM的长，即可得到点C坐标；（2）延长相交于点，先证明，得BD=CF，再证明，得CE=EF，即可证明结论；（3）分情况讨论，画出对应的等腰直角三角形的图象，做辅助线构造全等三角形，求出点P坐标．【详解】解：如图中，作垂足为，，，，在和中，，点坐标；如图，延长相交于点，，在和中，，，，在和中，，，；（3）①如图，，，过点P作轴于点D，在和中，，∴，∴，，∴，∴；②如图，，，过点P作轴于点D，在和中，，∴，∴，，∴，∴；③如图，，，过点P作轴于点E，过点A作于点D，∵，，∴，在和中，，∴，设，，∵，，∴，解得，∴，，∴；综上：点P的坐标是或或．【点睛】本题考查坐标和几何综合题，解题的关键是掌握作辅助线构造全等三角形的方法，利用全等三角形的性质求解点坐标，掌握数形结合的思想．4．（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，理由见解析【分析】（1）先根据非负数的性质求出、的值，作于点，由定理得出，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据，得出，再由定理即可得出；解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，理由见解析【分析】（1）先根据非负数的性质求出、的值，作于点，由定理得出，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据，得出，再由定理即可得出；（3）设，由全等三角形的性质可得出，故为定值，再由，可知的长度不变，故可得出结论．【详解】解：（1）证明：，，解得，，，作于点，，，，，在与中，，，；（2）证明：，，即，在与中，，；（3）点在轴上的位置不发生改变．理由：设，由（2）知，，，，为定值，，长度不变，点在轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．5．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD【分析】（1）①根据等边对等角，求到，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得解析：（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD【分析】（1）①根据等边对等角，求到，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】（1）①证明：，且E与A重合，是等边三角形在和中②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，故．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（1）BD=CE，理由见解析；（2）90°；（3）成立，理由见解析.【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△解析：（1）BD=CE，理由见解析；（2）90°；（3）成立，理由见解析.【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE；（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；（3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°．【详解】（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，而在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，又∵∠CDF=∠BDA，∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；（3）BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，∴∠BFC=∠DAB=90°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质.判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，熟知判定方法并根据题目条件选择合适的方法进行解答．7．（1）；（2）；（3）0，3．【分析】（1）根据求差法比较大小，由材料1可知将结果用配方法变形即可得出结论.（2）根据材料（2）的方法，把代数式变形为，解答即可；（3）先将变形为,由材料解析：（1）；（2）；（3）0，3．【分析】（1）根据求差法比较大小，由材料1可知将结果用配方法变形即可得出结论.（2）根据材料（2）的方法，把代数式变形为，解答即可；（3）先将变形为,由材料（2）可知时（即x=0，）有最小值．【详解】解：（1），所以；当时，由阅读材料1可得，，所以；（2），所以；（3）∵x≥0，∴即：当时，有最小值，∴当x=0时，有最小值为3.【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和配方法的应用．读懂材料并加以运用是解题的关键．8．(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)6【分析】（1）由角平分线的定义可知，再根据等量代换得出AC=AE，由此可直接利用“SAS”证明；（2）在BE上截取BM=CF，连接AM．由解析：(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)6【分析】（1）由角平分线的定义可知，再根据等量代换得出AC=AE，由此可直接利用“SAS”证明；（2）在BE上截取BM=CF，连接AM．由所作辅助线易证，得出，．由题意易判断为等边三角形，即可求出，即说明为等边三角形，得出，由此即得出；（3）延长BA，CF交于点N．由题意可知为等腰直角三角形，即，．根据平行线的性质和等边对等角即得出BE为的角平分线，从而可求出，进而可求出．由角平分线的性质可得出，从而可求出．又易证，即得出．(1)∵AF平分∠CAE，∴．∵AB=AC，AB=AE，∴AC=AE．又∵AF=AF，∴．(2)证明：∵，∴，．如图，在BE上截取BM=CF，连接AM．在和中，，∴，∴，．∵，，∴为等边三角形，∴．∵，∴，即，∴为等边三角形，∴，∴．即AF，EF，BF之间存在的关系为：；(3)如图，延长BA，CF交于点N．∵，，∴为等腰直角三角形，∴，．∵AE∥BC，∴．∵，∴，∴．由（1）可知，∴，∴，即．∵为的角平分线，∴．∵，∴，即．在和中，，∴，∴．故答案为：6．【点睛】本题为三角形综合题，考查等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义和性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，综合性强，较难．解题关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题．9．(1)(2)整式的值不发生变化．其值为(3)【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；解析：(1)(2)整式的值不发生变化．其值为(3)【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结