高考数学精讲应用问题的题型与方法

应用问题的题型与方法

一、复习策略

应用问题是指有实际背景或问题有实际意义的数学问题，解答数学应用题，需在理

解题意的基础上，把问题转化为相应的数学问题，再根据要求求解.

1、解应用题的一般思路可表示如下：

实际问题——a数学问题

何皿卜总

8

实际同结论5a数朔题结论

2、解应用题的一般程序：

(1)读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.

(2)建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基

本数学模型，正确进行建"模''是关键的一关.

(3)解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，

更要注意巧思妙作，优化过程.

(4)答：将数学结论还原给实际问题的结果.

3、中学数学中常见应用问题与数学模型

(1)优化问题：实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性

规划'’问题解决.

(2)预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.

(3)最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”,

转化为求函数的最值.

(4)等量关系问题：建立“方程模型”解决.

(5)测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.

4、解应用问题的一般步骤为：

(1)审题：理解题意，把握问题本质；

(2)建模：分析题中的数量关系，建立相应数学模型，将应用问题转化为数学问题;

(3)解模：用数学知识与方法解决转化了的数学问题；

(4)回归：回到应用问题，检验结果的实际意义，给出答案.

复习中应加强概率、函数、不等式、线性规划以及函数与不等式、函数与数列、数

列与不等式等综合问题的训练.

二、典例剖析

（一）函数模型

⑴函数模型为正比例函数

例1、某服装个体户在进-•批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该批服装定

一新价标在价目卡上，并注明按该价降价20%销售.这样，仍可获得25%的纯利.求这

个个体户给这批服装定的新标价与原价之间的函数关系.

解：设原价为x元，新标价为y元.

d-20H）/-75%x鹏7s.

...........-----------=2554>=­

则73Hx,化简得64

（II）函数模型为反比例函数

例2、学校请了30个木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作

一把椅子的工时数之比为10：7,问30名工人应当如何分配（一组做课桌，另一组做椅

子），能使完成任务最快.

解:

设x个工人做课桌，则有（30一丁）个工人做椅子，一个工人在单位时间内可制作7a

张课桌或10a把椅子，所以

3=幽

制作100张课桌所需的时间为函数,

制作200把椅子所需的时间为函数IQI0O-X）,

完成任务所需要的时间为MW,

为求侬3的最小值，需满足既用=期）.

100200

,=,

即7ax1alic50-©,解得*=12S,考虑到人数xe4,

,100200I

|---------------卜0.079—

x=l2时，laxUWW-JOa

.100200—eI

-----------------------1-0.077-

x=l3时，痴】M30-力«.

所以用13个工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快.

（III）函数模型为一次函数

例3、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目

的.某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费.该市规定：（1）若每户每月用水量不

超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每月的定额损耗费a元；（2）若每户每月

用水量超过m立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额

费；（3）每户每月的损耗费不超过5元.

（I）求每户月水费y（元）与月用水量x（立方米）的函数关系；

（II）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如卜表所示，试分析一、

二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求*，大〃的值.

月份用水量（立方米）水费（元）

—.418

二526

三2.510

解:

（I）由题意，每月用水量为x（立方米），支付费用丫（元），则

..、其中OvaM，

Mfpr4-a.jr>IN

(U)：0vaM5,.•.9y9MM14,由表知，一、二月份的水费均大于14元，故

用水量4立方米，5立方米都大于最低限量附立方米，将工=4和、=£分别代入：.的解

析式，得

18=9+(4-*)*+。①

{26=9+(5-*)*+<1②

由②一①得・=8，从而4=&«_23③.

又三月份用水量为25立方米，若25>胸，将x=25代入9+(工_*»)”+&得

UJ-9+8Q5.崛+a,得这与③矛盾，...255,即三月份用水量“立

方米没有超过最低限量.此时有10=9+«,•.•■==：,代入③得•=$.

综上：一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且

m■3.x-&&■1

说明：

(1)分析图表是数学应用的一个重要方面；

(2)本题中对三月份的用水量是否超过最低限量的分析采用了假设检验的思想，应好

好体会.

例4、某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫

升血液中的含药量；.与时间£之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出服药后•丁与工之间的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中

第一次服药时间为早晨7:00,问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？

解：

&,OS/SI

220

(1)依题得，133

220

--=4"=4

(2)设第二次服药是在第一次服药后“小时，则33，因而第二

次服药应在11：00；

设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和,

2202^20

—4+------&—唠+—=4

即有3“33^3解得t2=9小时,故第三次服药应在16：00；

设第四次服药在第一次后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时

--(*,-^+—--^-5)+—=4,

血液中含药量应为第二、三次的和，3333解得t3=13.5

小时，故第四次服药应在20:30.

(IV)函数模型为二次函数

例5、已知某商品的价格上涨X*,销售的数量就减少其中可为正的常数.

(1)当一万时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

(2)如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求比的取值范围.

解：

(1)设商品现在定价”元，卖出的数量为上•个.

由题设：当价格上涨x%时，销售总额为y=仪1+*>4<1-*|小)，

y-4-100(1-+10000]O^x<-

即10000,(ffi),

Idb.9

a

取m=-2得：y,=200001^-50)+22500]当”-50时，％-=-8ab,

即：该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.

y=-^-[-wxa+100(1-喻x+10000]

(2)二次函数1000。

5o(i-^

在‘’«1上递增，在.w)

上递减,

适当地涨价能使销售总金额增加，即在内存在一个区间，使函数厂在此区

»q-w)

间上是增函数，所以~M—,解得。<F<1,即所求速的取值范围是(0I).

例6、某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每

辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费

150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(I)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(H)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多

少？

解：

3600-3000

----------=12

(I)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为»，所以

这时租出了88辆车.

(H)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

Ajd-OOOx—-=)00-0^X*-l5l)-x^--3=00-0x5l

/TJO---+l«2x-21000--—(x-4050)3t30M50

整理得八'»5Q、

所以，当x=4050时，JQ）最大，最大值为加收0・30期0,

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050

元.

例7、距离船只A的正北方向100海里处有一船只B,以每小时20海里的速度沿北偏

西60。角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，

问儿小时后两船相距最近？

解:

设J小时后工行驶到点厂，三行驶到点二，则BD=20t,JC=l00-l&,

过二作。&J_&C于三,

..J»=ADfln«T=lO^E,BS=BDt^60T=\Ql,

;.BC=BCi-B8={Cfi-5t,

.CD-J*+a-枷后tj+(100.犷

=62.-10(0+10000,

，=列明区色

.,.1?时cz)最小，最小值为Y13,即两船行驶13小时相距最近.

(V)函数模型为指数函数

例8、有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r

立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用8©表示第

工天每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在第t天的湖水污染质量分数，已知

«(0--

目前污染源以每天P克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式，+

[g(0)——*

rG>之0),其中，狼8是湖水污染的初始质量分数.

(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；

g(0)<—

(2)求证：当，时，湖泊的污染程度将越来越严重；

(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使

湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?

解:

⑴•.•gQ)为常数，有名"r=0,.•产⑦.二

(2)设0<ti<t2，则

g(tl)-g(t2)=Eg(o)-f]-Lg(o)—r]*

=[g(0)—'][•

=[g(0)-r]

<o,tl<t2..缸刀，..m”

故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.

上

(3)污染停止即P=O,g(t尸g(o>e"，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平

5%即g(t)=5%g(0).

J_-It;

二20=0",.•.t=rin20,

故需要，ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.

（VI）函数模型为其它函数

例9、一批零兼营的文具商店规定：凡购买铅笔51支以上（含51支），按批发价结算，

而少于51支则按零售价结算，批发价每购60支比零售60支少付一元.现有班长来购

铅笔，若给全班每人购一支，需支付中元（幡©〃），但若多买10支，则可按批发价结

算，恰好也支付汇元，问该班有多少学生？

解：

设全班有丫人，根据题意设则铅笔零售价为；元，批发价为x+10,

60（汇-一—）=1

则根据题意，有xX4-10,整理得

由函数的定义域，值域得

40<-5+725+600^550

25+600即》€为完全平缄

解得*=5,代入①得工=%,.•.该班有50个学生.

例10、某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产1台需要增加投入25元,

销售后，为了对今后的销售提供参考的数据，对销售市场进行调查后得知，市场对此产

品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：

W(x)-5OOx-lj?»

2其中x是产品售出的数量，且04x4500.

⑴若x为年产量，y为利润，求,=的解析式；

(II)当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？

解：

⑴知4*450对，产品全部售出；当x>500时，产品只能售出500台，

.、50043-(5000+25084*4500)

/W-2,

故(125000-(5000+25^(x>500)

(⑴当04*4500时

=-475)a+107812上当x>50对./GO=120000-25x

<120000-12500=107皿故当年产果为47对最大.景大利嗣沏07812土

(二)数列模型

例11、一艘太空飞船飞往地球.第一次观测时发现一个正三角形的岛屿(我们记其边长

为1)；第二次观测时，发现它并非正三角形，而是每边中央3处向外有一正三角形海峡,

I

形成正六边形；第三次观测时，发现原先每一小边的中央3处都有一向外突出的海峡(正

三角形、如图)，……，把这个过程无限继续下去，就得到著名的教学模型——柯克岛.

(1)把第k次观测到的岛的面积记为ak，｛ak｝有无极限？如果我们把这个极限叫岛

的面积，柯克岛的面积是多少？

(2)把第k次观测到的岛的海岸线长记为bk，求出6的通项公式，｛bk｝有无极限？

如果把此极限当作柯克岛的海岸线长，它是多少？

(3)以上结果能说明什么问题？

解:

(1)记Ck为第k次观测时的边数，Cl=3,由于每一边中央突起一个三角形，即每

V—1

一边变为4条边，故ck+l=4ck，从而第k次观测时，柯克岛的边数是ck=3-4,(k

GN),

11

又以边长为dk，贝Udk+i=3dk，•••{dk}成等比数列，公比为工仃=1,

I

Tk-1

•**dk=(，)>

$16Jx

——2i—

；・ak+l=ak+4,(3dk)34=ak+129,

an=(an—an—l)+(an—1—an—2)+...+(a2—al)-)-al

所以，an的极限存在，且渔an=M抬.

1;

k—]-k—1-k—1

⑵由⑴可知bk=ck-dk=3x4x(3)=3-(3),

4

所以，｛bn｝是等比数列，且公比q=?>l.故｛bQ的极限不存在.

(3)以上结果说明了一个面积有限的平面区域的周界长度可以是无限的.

三、解析几何模型

例12、有三个新兴城镇，分别位于A,B,C三点处，且AB=AC=13km,BC=10km.今

计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，(建

立坐标系如图)

(I)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？

(II)若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

(I)解：设P的坐标为(0,3)，则P至三镇距离的平方和为

/O0-20+*(12.力I.X/Tj1+］伍

所以，当，时，函数取得最小值.

答：点p的坐标是(0<x

1^5+7,3^5+7>112

4)=八藐5+y小川.

(H)解法一：P至三镇的最远距离为

__U9,119#）=[♦+九野”

由后歹邛2-川解得港市,记八百,于是[]12-八卦.

因为麻亍在[y・，*°）上是增函数，而在（sy'l上是减函数,所以尸=■/时,

函数取得最小值.

他当

答：点P的坐标是24

出+丁印5+旷2112m

g3J12-川.当向¥<|12-川

解法二:P至三镇的最远距离为

,______>119.119

由J25+J412—川解得了五■，记尸一不",于是

卜25+，加”.

«(*)=

函数*=«oo的图象如图®,因此,

图(a)

当丫=/时，函数取得最小值.

答：点P的坐标是«

解法三：因为在AABC中，AB=AC=13,

qg_QC*=12>5=OC.，AC8=

且4

图⑹

m119、

(0,----1)

所以aABC的外心M在线段AO上，其坐标为3<,

且AM=BM=CM.当P在射线MA上，记P为P］；当P在射线MA的反向延长线

上，记P为P2,这时P到A、B、C三点的最远距离为PjC和P2A,且PIC>MC,P2A>MA,

所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.

3吗

答：点P的坐标是‘‘印

高考中的最值问题的解题策略

一、复习策略

1、函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特

别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、

导数法、判别式法、有界性、图象法等.

2、求几类重要函数的最值方法；

(1)二次函数：配方法和函数图像相结合；

/(x)=x+—(a*0,ae

(2)X：均值不等式法和单调性加以选择；

(3)多元函数：数形结合或转化为一元函数.

3、三角函数、数列、解析儿何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函

数最值的方法或基本不等式法求解.

4、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，

二次函数的最值).

5、不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题.f(x)>m恒成立，即/W=>m；f(x)

<m恒成立，即<m.

6、参数范围问题内容涉及代数和儿何的多个方面，解题的关键是不等关系的建立，其

途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合

法等等.解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等.

二、典例剖析

问题1：函数的最值问题

例1、（07江苏卷）已知二次函数/（力=&/+加的导数为/YQ,对于任

意实数T,都有/a"。，则八0）的最小值为（）

A.3B.二C.2D.-

解：

6>0

,a>0

/Xd^2ax+b,依题意，有：可得c>0,

1/(Dd+d+c区(ac

7(m=~b~Vk+l>214a:

=b6+i>2+1=2,故选(C).

例2、如下图（I）所示，定义在D上的函数JR）,如果满足：对任意*C。，存在常数

A,都有成立，则称函数7a）在D上有下界，其中A称为函数的下界.（提示:

图（1）、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）

(1)(2)

⑴试判断函数^中在（。,

+3）上是否有下界？并说明理由;

（n）又如具有上右图（2）特征的函数称为在D上有上界.请你类比函数有下界的定

义，给出函数在D上有上界的定义，并判断（I）中的函数在（一2,0）上是否有上

界？并说明理由；

（山）已知某质点的运动方程为宓9=M-儒百，要使在上的每一时

1

刻该质点的瞬时速度是以A=3为下界的函数，求实数a的取值范围.

分析：

利用导数判断函数,（x）的单调性，求出函数的最值，从而可以确定函数的下

界或上界；或用重要不等式求最值.

解：

（1）解法1：；Jr,由。W=°得?,

/■电;.x=2

♦.•当。＜彳＜2时，/1幻＜0,.•.函数/（Q在（O,2）上是减函数;

当工＞2时，/X才＞°,.•.函数700在Q,+父）上是增函数;

.」（必=1/⑵=8+粤=32

二工=2是函数在区间（0,+8）上的最小值点，2

.•.对任意*,都有/Q）N32,

即在区间（0,+於）上存在常数A=32,使得对任意"^也"0）都有成立,

.3J8

/(x)*x4一

...函数X在(0,+3)上有下界.

、161616/…,161616„

=K+—4"—+—•—

解法2：彳X

丁=更

当且仅当X即x=2时“=”成立.

二对任意XW8•*»）,都有/（幻之32,

即在区间（0,+*）上存在常数A=32,使得对任意X€（P.*O）都有/W）之/成立,

...函数X在（0,+E）上有下界.

（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义:

定义在D上的函数/缶），如果满足：对任意存在常数B,都有了（3WB

成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界.

设X。则-x>0,由（I）知，对任意“©0*10）,都有/㈤2乂，

48

.,JD232,...函数”）x为奇函数，dA-JS）.

../（X）S-32

即存在常数B=—32,对任意都有

/（X）=XJ4—

••・函数X在（一H,0）上有上界.

v=dS*（t）=a—

（in）质点在,w〔o,一上的每一时刻的瞬时速度61.

a-12』

依题意得对任意”0K°）有4+12

•.」一J

♦+15对任意‘七10•+0°）恒成立.

g(£)=4--

令S+12,•.•函数在［0,+oo)上为减函数.

I3

/.2.

问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题

将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解.

士匕1

例3、(05年上海)点A、B分别是椭圆362ft长轴的左、右端点，点F是椭圆的右

焦点，点P在椭圆上，且位于工轴上方，PA1PF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点

到点M的距离d的最小值.

分析：

将d用点M的坐标表示出来，

/=(x-2)a+/=x2-4*-M+20--«a=-(x-^a4-l5

992,然后求其最小值.

解:

(1)由已知可得点A(—6,0),F(4,0).

设点P(x,y),则AP={x+6,y},WP={x—4,y},由已知可得

,奈奈13

(x+6)(x-4)+>a=0则2X2+9XT8=0,解得X=2或X—6.

3硬三晅

由于｝>0,只能，=三，于是尸=丁..•.点P的坐标是(三，—).

(2)直线AP的方程是x—万y+6=0.

设点M(m,0),则M到直线AP的距离是2.

ii

于是2=*6[,X_6<m<6；解得m=2.

椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

rf,=(x-2)1+>1=xJ-4x+4+20-1xa=^(x-1)IM5

9

由于-6sxs6,.•.当歪=5时，d取得最小值旧.

例4、(05年辽宁)如图，在直径为1的圆-中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十

字形，其中尸>福>0.

(I)将十字形的面积表示为『的函数;

(H)三为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

分析:

将十字型面积S用变量E表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知

识求出S的最大值.

则S=绮-*2

(I)解:设S为十字形的面积

(II)解法一:

其中岑当做m同.旧外•■涉s最大

4,1275.

—+-acco$----味ftlS

所以，当425最大.S的最大值为

解法二：因为S・2a6ge-Bs乜

所以贷・ZcVe-Z向'6+2sin@cof6=2co«2i9+向2ft令s，=o,

即2co«笛+疝1第=0.可解得，一彳+鼻"皿“动

0="+—arctar^-S)—■—-

所以，当22时，s最大，S的最大值为2

例5、已知点A(—l,0),B(l,-1)和抛物线O为坐标原点，过点A的动

直线1交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.

(I)若aPOM的面积为2,求向量且与犷的夹角;

(H)试探求点O到直线PQ的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若

不存在，说明理由.

分析:

可先设出M与P点的坐标，再利用斜率相等求出—的值，利用向量的数量积求

出夹角.第二问中可用重要不等式求出最值.

解：

⑴设点44、M、A三点共线,

史~・勺M，即-—_3一与.即--------，必・4.

444

二瓯丽城区+31=5.

44

设NPOM=a,贝卜c«a・5.

•，卬ar•■函H存Hnar

2由此可得tana=l.

又aw(Og二a=45°做向量并与丽快角为45。.

（II）设点Q（手,丁3），「M、B、Q三点共线，:kBB=kgi^,

即誓二字3,即字L_L_,

度7或一区£-4为+为

444

•■■&3+1）（玖+方）=必-4,艮叫心+吊+”+4=0.

444

"•'丁必=4,即1yl=—,乃>"丹+4=0,

72y3为

即4（为+丁3）+小3+4=0.（或

,.,kPB=与一号=―--直线产Q的方程是y_乃=---（X--）

红_巴丁2+乃丁2+y34

1___4*

即。一y2）。2+为）=4x-1^,即1y。2+为）一必必=4尢

由（*）式，-色y3=4仇+力）+4,代入上式，得0+4）5+%）=4。-。

令71+力T,贝『x-V-4G+D-O.

八”吗

二O到PQ的距离：扁+产,

.a1解+卯°呢+⑹+知号，却-9

一^3西^"八如马+空

224

-16+——~---------<16+—-17.

狂争+』“5】5+2x]

2-y）2

即当且仅当t=16时取最大值，且最大值为后.

故存在最大值，且最大值为

问题3：最值的实际应用

在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑

建立目标函数，转化为求函数的最值.

例6、（06年江苏卷）请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的

形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）.试问当帐篷的顶点O到底面中心01的

距离为多少时，帐篷的体积最大？

分析：将帐蓬的体积用x表示（即建立口标函数），然后求其最大值.

解：

设001为，u,则1<*<4.

由题设可得正六棱锥底面边长为：--SR-二+2x*（单位：«）

6立（一+2工-？）,—（8+2x-x»）z

故底面正六边形的面积为：4=2,（单位：*）

帐篷的体积为:

“力・华津5-超3川・兵6+1"力单位*

小）=4（12-3，）

求导得2

令V*（x）=Q,解得*=-2（不合题意，舍去），x=2,

当1。<2时，/㈤〉。，？3为增函数；

当2<x<4时，,‘3为减函数.

.•.当x=2时，夕（才最大.

答：当001为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为】6后

点评：

本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问

题的能力.

例7、（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清

洁度定义为：1-物也质篁‘含污期）为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99,有两种方

案可供选择.方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等

因素影响，其质量变为设用冷单位质量的水初次清洗后的清洁度是

------(x><»-D

x+l.用：.单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，，其中

c(0*"<0,99)是该物体初次清洗后的清洁度.

(1)分别求出方案甲以及e=.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较

小.

(2)若采用方案乙，当一为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用

水量最少？并讨论土取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

点拨与提示：

(1)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与兀

1而有，y-d(W-l00e)

Sr-4I

wy"—lOtkifl・小・I

于是即-。)+城力-103)绻-公，利用均值不等式求

最值.

x4-0.8

---------■0.99

方案甲与方案乙的用水量分别为X与z,由题设有*+1,解得x=19,由

*+0.95<1c

■=0.99

c=0.95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程：，+♦，解得

y=4a,故z=4a+3,即两种方案的用水量分别为19与4a+3,因为当10aS3时，x-z

=4(4-a)>0,即x>z.故方案乙的用水量较少.

xSc-4

(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为T与兀类似⑴得.SO,

5c-4I

」♦产■';方13,_s-E-♦1OOa0"<:)"<y"।

于是即-«)+<1(乃TOOu)即Y)

左+y2i2J---xl00a(l-c)-e-l=

当a为定值时，屈与

——=100ta(l-e)c=l+—1=

当且仅当即一冷时等号成立，此时(不合题意，舍去)

c=l------^=€(0.8,0.99)

或跖

e=1__1_

将[(X历代入(*)得K=2^^_]><j_1,y=24^a—a

c=]__1_

故时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为M=2板-1

与八2疡一«,最少总用水量为…+4后T.

"5)=半―1>0

当lWa03时，曲，故T(a)是增函数(也可用二次函数的单调性来判

断)，这说明随着a的值的增加，最少总用水量增加.

问题4：恒成立问题

不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题.f(x)>m恒成立，即

f(x)Vm恒成立，即/《成・<m.

tf-x8.(A篇

♦In*I,2]I

例8、已知函数f(x)=*'2

(1)当“*叩时，求做的最大值；

(II)设公》是gG)图象上不同两点的连线的斜率，是否存在

实数#,使得*<1恒成立?若存在，求二的取值范围;若不存在，请说明理由.

分析：

利用导数求出函数门用的单调性，再比较其极大值与端点值的大小求出力③的最

大值.

解：

11-力--I+

(I)当一2三二<二时，由穴*)=0得x]=2'0.2

--:当

显然—1金1〈二，-<X2<2,1ZJ」

（彳-祈）卜-引

又力«=—_7一.

工

当EgxWx2H寸，人外加，门力单调递增；

当x2<xW2时，八力<0,单调递减，

2a_1+6Ta+加”/Ta

•・"吊1^=%2）="y2+2

，7、

（II）答：存在4符合条件.

解：因为6用-3苗七斗好二门-/.

不妨设任意不同两点八（均㈤•内（.6）,其中4<x>.

上电=”1乜%+0

则4一马4一马

由上〈I知::工I+（X；+A吗+W）<]+3*

«<-

又*/，故*

,7、

故存在<符合条件.

解法二：据题意在，图象上总可以找一点既、使以P为切点的切线平

£=型史型9=式砧="3片<1

行于图象上任意两点的连线，即存在

77

二dVl+HS—tf€（-cct-）

4故存在«符合条件.

问题五：参数的取值范围问题

参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解

决问题的能力.在历年高考中占有较稳定的比重.解决这一类问题，常用的思想方法有:

函数思想、数形结合等.

<+/_1即

例9、设直线，过点P（0,3）且和椭圆94-顺次交于A、B两点，求而I的取值

范围.

分析：

四悍|史日|

|尸B|=l勺I.要求|阿|的取值范围，一是构造所求变量关于某个参数（自然的

想到“直线AB的斜率k"）的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到口的.二是

构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定上的取值范围，于是问题

转化为如何将所求量与七联系起来.韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直

四=固

接应用韦达定理，原因在于巧用1**1不是关于的对称式.问题找到后，解决的

生十生

方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式：片可.由此出发，可得到

下面的两种解法.

解法1:

理」

当直线;垂直于x轴时，可求得用5;

当1与x轴不垂直时，设色），直线『的方程为：，=*»+3,代入

椭圆方程，消去；得（址'+4*+5to+*5=Q.

解之得4a期+4

由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑上＞°的情形.

_-27-+6松1-5__27__6启必-5

当*>0时，%=婕+4,.=婕+4

45

由A.J5UyT80（姆+4）20,解得k之K

,即*排

所以

解法2：

设直线’的方程为：h=H*3,代入椭圆方程，消去？•得

-54k

45

^=9F77-

则

令尸则，喝d耳

炉之24M=4至

在(*)中，由判别式•可得从而有4*+205,

1"

4£A+l+2<—

所以5,解得5

一“41

结合OvJlMl得5

综上,.俳I.

点评:

范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性

法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美

解法.

例10、在直角坐标平面中，过点406作函数/。）=/（不＞0）的切线4,其切点为

皿。比.过点4a,6作函数式乃＞丹的切线，其切点为软和冷；过点

作函数的切线£,其切点为反（/不）；如此下去，即过点

/作函数1/（＞）=/Q＞0）的切线其切点为；过点

4*（"*6作函数g（x）=*r（x＞6的切线L,其切点为玛式外川....

（1）探索为々与a,■•与1M的关系，说明你的理由，并求