第一章三角形的证明单元测试卷2023-2024学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试卷一、单选题1．如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为（）A．50° B．30° C．75° D．45°2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．73．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等4．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②5、12、13；③32、42、52；④3a、4a、5a（a＞0）；其中可以构成直角三角形的有（）A．4组 B．3组 C．2组 D．1组5．下列说法中错误的是（）A．三个角度之比为3：4：5的三角形是直角三角形B．三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形C．三个角度之比为1：2：3的三角形是直角三角形D．三边之比为1：2：的三角形是直角三角形6．定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（）A．B．C．D．7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠B=25°，则∠A的度数为（）A．45° B．50° C．60° D．80°8．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（）A． B． C． D．9．下列三条线段不能组成直角三角形的是（）A．5、4、3 B．13、12、5 C．10、8、6 D．30、24、1010．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC=6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（）A．7 B．9 C．11 D．14二、填空题11．已知等腰△ABC中，∠A=110°，则∠B=°．12．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值．13．命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是.14．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：；(只填写序号)三、解答题15．如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，过点D作DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，已知OE＝OF，求证：OC是∠AOB的平分线．16．上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile/h=1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处.从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求从海岛B到灯塔C的距离.17．图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．18．如图，中，，，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，连接MN，交AD于点E，求AE的长．19．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD＝AE，∠DAE＝100°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数.四、综合题20．如图（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC∠ADC180°，ABAD，ABAD，点E在CD的延长线上，∠1∠2．（1）求证：∠3∠E；（2）求证：CA平分∠BCD；（3）如图（2），设AF是△ABC的边BC上的高，求证：CE2AF．21．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，（1）求证：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．22．△DCE和△ABC是一大一小两块等腰三角尺，∠DCE＝∠ACB＝90°，AC＝BC，EC＝DC.（1）如图1所示，若∠DBE＝28°，试求∠AEB的大小；（2）若将△DCE绕C点顺时针旋转到图2所示，∠DBE＝n°，试求∠AEB的大小.（用含n的式子表示）23．如图，在中，点为内一点，且.（1）求证：；（2），为延长线上的一点，且.①若点在上，连接MC且DC=DM，请判断△MCD的形状，并给出证明；②若点N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】∵△ABC是等腰三角形，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD=30°，∴∠BDC＝60°，∴∠CBD＝180°－75°－60°＝45°．故选D．【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A＝∠ABD＝30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD＝45°．2．【答案】A【解析】【解答】∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于CD，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC-BD=10-6=4，∴点D到AB的距离是4．故选A．【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可．3．【答案】D【解析】【分析】两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。所以选项中符合题意的HL的只有D，故选D

【点评】解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．【答案】B【解析】【解答】解：①92+122=225=152，故9、12、15可以构成直角三角形；

②52+122=169=132，故5、12、13可以构成直角三角形；

③由③32=9、42=16、52=25，92+162≠132，故32、42、52可以不能构成直角三角形；

④（3a）2+（4a）2=25a2=（5a）2，故3a、4a、5a（a＞0）可以构成直角三角形.

故答案为：B.

【分析】由勾股定理的逆定理计算各组线段中的三个长度的平方看是否存在两个数的平方和等于第三个数的平方即可判定其中可以构成直角三角形的有几组.5．【答案】A【解析】【解答】A．因为根据三角形内角和定理求得各角的度数，其中没有直角，符合题意；B．因为其三边符合勾股定理的逆定理，不符合题意；C．根据内角和公式求得三角的度数，有直角，不符合题意；D．因为其三边符合勾股定理的逆定理，不符合题意．故答案为：A．【分析】三角形内角和为180°，根据三个角度之比可算出每个角的大小，由此判断A错误，C正确；

运用勾股定理可判断B、D均为正确。6．【答案】C【解析】【解答】解：A.如图：B.如图：C.不能D.如图：故答案为：C．

【分析】利用三角形的内角和求出三角形的内角，再根据等腰三角形的判定求解即可。7．【答案】B【解析】【解答】解：根据作图可知MN垂直平分CB

∴CD=CB

∴∠B=∠DCB=25°，

∵CD=CA

∴∠A=∠CDA

∵∠CDA=∠B+∠DCB=25°+25°=50°

∴∠A=50°

故答案为：B【分析】根据作图可知MN垂直平分CB，利用垂直平分线的性质，可证得CD=CA，再由CD=AC，利用等腰三角形的性质，可证得∠B=∠DCB=25°，∠A=∠CDA，再利用三角形的外角的性质，可证得∠CDA=∠B+∠DCB，就可求出∠CDA的度数，即可得到∠A的度数。8．【答案】D【解析】【解答】解：另一个锐角的度数为：90°-35°=55°。

故答案为：D。

【分析】根据直角三角形的性质，直接求出另一个锐角的度数即可。9．【答案】D【解析】【解答】A、52＝42+32，故能构成直角三角形，所以与题意不符；B、132＝122+52，故能构成直角三角形，所以与题意不符；C、102＝82+62，故能构成直角三角形，所以与题意不符；D、302≠242+102，故能构成不能直角三角形，所以与题意相符；故答案为：D.【分析】勾股定理的逆定理：三角形ABC中，若三边a、b、c满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形。根据勾股定理的逆定理即可判断求解。10．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接AF，交ED于点P.∵ED是线段AB的垂直平分线，

∴A与B关于ED对称，AP=PB，∴△PBF的周长=PB+PF+BF=AP+PF+FB≥AF+BF.∴当A、P、F三点共线时，△PBF的周长最小，为AF+FB.∵点F为BC边的中点，AB=AC，∴AF⊥BC，BF=BC=3.∵S△ABC=BC×AF=24，BC=6，∴AF=8.∴AF+FB=8+3=11.∴△PBF周长的最小值为11.故答案为：C．【分析】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，然后计算即可求解．11．【答案】35【解析】【解答】∠A是顶角，则∠B=（180°-110°）=35°；

【分析】因为∠A=110°，只能作顶角，因此∠B=（180°-110°）=35°．12．【答案】15【解析】【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×6×AD=36，解得AD=12，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=12+×6=12+3=15．故答案为：15．

【分析】连接AD，点C关于直线EF的对称点为点A，AD的长为CM+MD的最小值，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可。13．【答案】三个内角相等的三角形是等边三角形【解析】【解答】解:命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”.

故答案为：三个内角相等的三角形是等边三角形.【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换,找到原命题的题设为等边三角形,结论为三个内角相等,互换即可.14．【答案】①②④【解析】【解答】解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，∴∠1=∠2，AC'=AC，DC=DC∴AD垂直平分C′C；∴①，②都符合题意；∵BC'＝DC'，DC=D∴BC'＝DC∴∠3=∠B，∠4=∠5，∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BCC'∴③不符合题意；根据折叠的性质，得∠ACD=∠AC'∵∠ACB的角平分线交AD于点E，∴2（∠6+∠5）=2∠B，∴∴DC'∴④符合题意；故答案为：①②④.【分析】根据角平分线的性质和三角形的外角对每个结论一一判断求解即可。15．【答案】证明：∵DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，∴∠DEO＝∠DFO＝90°，在Rt△EOD与Rt△FOD中，，∴Rt△EOD≌Rt△FOD（HL），∴∠EOD＝∠FOD，即OC是∠AOB的平分线．【解析】【分析】根据已知条件利用HL证明Rt△EOD≌Rt△FOD，进一步得到∠EOD＝∠FOD，从而证明OC是∠AOB的平分线．16．【答案】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB＝30海里.答：从海岛B到灯塔C的距离是30海里【解析】【分析】先求出AB的距离，根据三角形外角的性质求出∠C的度数，进而根据等角对等边可得BC=AB，即可得出答案.17．【答案】（1）证明：∵是正三角形，∴．∵，，，∴，∴，∴，∴是等边三角形；（2）解：∵是等边三角形，是正三角形，∴，，在和中，，∴，在和中，∴，同理可得∴，∴，，∴cm，∵△ABC是正三角形，∴，∴，∴cm，∴cm，∴cm．【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，进而结合题意得到，再结合等边三角形的判定即可求解；

（2）根据等边三角形的性质得到，，再根据三角形全等判定与性质证明，进而同理可得，，再根据等边三角形的性质结合题意即可求解。18．【答案】解：如图所示：连接EC，由作图方法可得：MN垂直平分AC，则，∵，，AD平分∠BAC交BC于点D，∴，，在中，，设，则，在中，，即，解得：，故DE的长为，∴．故答案为：．【解析】【分析】设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，再利用线段的和差求出即可。19．【答案】解：∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠BAC=∠C=60°又∵AD=AE，∠DAE=100°，∴∠ADE=∠E=40°∵DE⊥AC∴∠DAC=∠EAC=50°∴∠BAD=60°-50°=10°又∵∠ADC=∠B+∠BAD=70°∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=30°【解析】【分析】首先利用等边三角形的性质得出∠B=∠BAC=∠C=60°，再利用等腰三角形的性质得出∠ADE＝∠E＝40°，进而得出∠BAD=10°，进而利用三角形外角性质得出答案．20．【答案】（1）解：∵∠ABC∠ADC180°，∴在△ABC在△ADE中∠1=∠2∴△ABC≌△ADE∴（2）解：由（1）△ABC≌△ADE

可得

AC=AE

∴又∴∴AC平分∠BCD（3）解：过点A作交CE于点M∵AC平分且∴AF=AM，又∵∴即又AC=AE∴∴△ACM和△ACE都是等腰直角三角形∴AM=MC=ME=AF，∴CE=2CM=2AF【解析】【分析】（1）由同角的补角相等可得∠ABC=∠ADE，再根据已知条件利用角角边可判断△ABC≌△ADE，由全等三角形的对应角相等可得出结论。（2）由（1）△ABC≌△ADE可得AC=AE进而可得，由等量代换可得，即AC平分∠BCD。（3）过点A作交CE于点M，由角平分线的性质定理得AF=AM，又=90°，进而可得∠CAE=90°，△ACM和△ACE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出CE=2CM=2AF。21．【答案】（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可证：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD=60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．22．【答案】（1）解：如图1，∵∠DCE＝∠ACB＝90°，AC＝BC，EC＝DC，∴△BCD≌△ACE，∴∠DBC＝∠EAC＝28°，∵∠AEB是△ACE的外角，∴∠AEB＝∠ACE+∠EAC＝90°+28°＝118°；（2）解：如图2，∵∠DCE＝∠ACB＝90