广东省茂名市高州市四校联考2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含答案解析）

2023-2024学年度第二学期第六周素养展评八年级数学试卷（说明：范围：第一、二章，时间：120分钟，满分：120分）一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．根据不等式的基本性质，即可判断答案．【详解】将两边同时加2，得，所以A选项正确，符合题意；当时，，所以B选项错误，不符合题意；当时，，所以C选项错误，不符合题意；将两边同时加2，得，所以D选项错误，不符合题意；故选：A．2.等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（）A. B. C.或 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的底角必为锐角．由等腰三角形的两底角相等可得，内角为的角只能是顶角求解即可；【详解】解：根据等腰三角形的性质得，底角度数为：；故选：B．3.如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（

）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．【详解】解：平分，，，，，，，，，故选A．4.一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上进行表示即可．【详解】解：由，得：；由，得：，∴不等式组的解集为：；数轴上表示如图：故选C．【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键．5.如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据三角形内角和定理解得的值，再作图的过程可知是线段的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，进而可得，然后由求解即可．详解】解：∵，，∴，由题意可知，是线段的垂直平分线，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，理解并掌握垂直平分线的性质是解题关键．6.若不等式组的解集是，则的值是（）A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解．根据不等式组的解集得出故的元一次方程，进而解答即可．【详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，不等式组的解集是，，解得．故选：A．7.如图，是等边的中线，作，交的延长线于点．若，则长为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质、等角对等边，由等边三角形的性质得出，，，求出，推出，进而求出的长即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：是等边三角形，，，是等边的中线，，，，，，，，，，故选：A．8.如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（）A. B.C.关于x的方程的解是 D.关于x的不等式的解集是【答案】D【解析】【分析】本题主要考查两条直线的交点问题，运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解，掌握一次函数图象的性质即可求解．【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得，，解得，，∴，把点代入一次函数图象得，，根据一次函数的图象可得，，故A，B选项正确，不符合题意；当时，，故C选项正确，不符合题意；当时，，故D选项错误，符合题意；故选：D．9.满足不等式的所有正整数解有几个（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式，先求得不等式的解集，再求得所有正整数解，进而可求解．【详解】解：解不等式得，则，∴该不等式的所有正整数解为1，2，3，4，5，共5个，故选：B．10.如图，已知的周长是18，和的平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（）A21 B.54 C.18 D.27【答案】D【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点O作于点E，过点O作于点F，连接，根据角平分线的性质可得，进一步求的面积即可．理解角平分线的性质是解决问题的关键．【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示：∵点O为与的平分线的交点，且，∴，∵，的周长为18，∴的面积，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11.若二次根式有意义，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得：，故答案为：．12.一个直角三角形，有一个锐角是，另一个锐角是_______°．【答案】【解析】【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟记相关结论即可.【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余，∴另一个锐角是，故答案为：13.如图．根据图象问题：当______时，．【答案】【解析】【分析】本题考查的是利用函数图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键，根据图象再直线的下方可得答案．【详解】解：根据函数图象可得：当时，；故答案为：14.如图，在数轴上点、分别表示数2，，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得到不等式是解题的关键．根据数轴得到关于的不等式，然后解不等式即可．【详解】解：由题意可知，解得，故答案为：．15.如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，__________．【答案】2【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的到角的两边的距离相等，得到，根据的面积是，列式得，再进行化简计算，即可作答．【详解】解：∵中，于E，于F，为的平分线，∴，∵的面积是，∴，∴，∴，∴，故答案为：2．三、解答题（一）本大题共4小题，每小题6分，共24分．16.解不等式：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，其基本步骤为去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1．按解一元一次不等式的步骤求解即可．【详解】移项，合并同类项得，系数化为1得，．17.解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，解集表示见详解【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键．【详解】，解：由①得，由②得，不等式组解集是：；此不等式组的解集在数轴上表示为：18.已知：是中点，是的垂直平分线，（1）求证：；（2）在上找一点到、的距离相等．（尺规作图，保留痕迹）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，主要考查学生的推理能力和动手操作能力．（1）根据线段垂直平分线得出，即可得出答案；（2）作线段的垂直平分线，即可得出答案．【小问1详解】证明：是中点，，是的垂直平分线，，；【小问2详解】解：作的垂直平分线，交于，则为所求，如图：．19.已知关于的方程组的解，则m的取值范围是多少？【答案】【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式等知识点，先解方程组求出的值，根据列出关于m的不等式，求解即可，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【详解】，，得，把代入②得，∴，∴，∵，∴，∴．四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．20.如图，与相交于点O，．（1）求证：；（2）求证：垂直平分．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．（1）证明，可得结论；（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【小问1详解】证明：在与中，，∴，∴．【小问2详解】证明：由（1）得，∴，∴点O在线段的垂直平分线上，∵，∴点E在线段的垂直平分线上，∴垂直平分．21.为了实现县域教育均衡发展，某县计划对，两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元，改造两所类学校和一所类学校共需资金万元．（1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？（2）该县计划今年对、两类学校共所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的改造资金不少于万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所万元和万元，请你通过计算求出改造方案？【答案】（1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元；（2）改造类学校所，改造类学校所．【解析】【分析】（）根据等量关系列出方程组，再解即可；（）列出不等式组，再解即可；此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．【小问1详解】解：设改造一所类学校和一所类学校所需资金分别是，万元，由题意得：，解得，答：改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元；【小问2详解】设改造类学校所，则改造类学校所，由题意得：，解得，∵为正整数，∴，∴，故改造类学校所，改造类学校所．22.如图，在中，．过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接．（1）求证：为等腰三角形．（2）若，求度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理；（1）根据角平分线定义和平行线的性质证明，得到，然后等量代换求出即可；（2）求出，可得的度数，然后证明，再根据平行线的性质计算即可．【小问1详解】证明：∵平分，∴．∵，∴，∴．∴，∵，∴，∴为等腰三角形；【小问2详解】解：由（1）知，，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）知，，∴，∵，∴，∴，∴．五、解答题（三）本大题共2小题，每小题12分，共24分．23.虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）．如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块：未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为30cm，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积=底面积×高）（1）①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升______；②当h=28时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？（2）当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度h的值；（3）如图3，若乙容器内放入高度为的圆柱体铁块丙，其中乙容器底面积是铁块丙底面积的2倍．若发生虹吸现象的过程中无水溢出，请求写出长方体木块高度h的最大值．【答案】（1）①20；②虹吸现象过程中乙容器内的水不会溢出（2）长方体木块高度为（3）长方体木块高度h的最大值为【解析】【分析】本题考查一元一次方程和不等式的应用，找准数量关系列方程或不等式计算是解题的关键．（1）①设乙容器的底面积为，则甲容器的底面积为，然后用下降的水的体积除以乙容器的底面积计算即可解题；②计算出甲、乙容器虹吸结束后的水面高度即可解题；（）设虹吸结束后甲容器内水位高度为，列方程解题求出x的值，然后根据求出h即可；（3）虹吸结束后甲容器内水位高度为，根据水无溢出列不等式计算出的值，然后根据求出h的取值范围即可解题．【小问1详解】解：①设乙容器的底面积为，则甲容器的底面积为，∴乙容器内水位上升高度为，故答案为：；②乙容器内的水不会溢出，理由为：当乙容器水满时，甲容器水位下降，这时甲容器中水位离桌面的距离为，即乙容器内的水不会溢出；【小问2详解】解：设虹吸结束后甲容器内水位高度为，则乙容器内水位高度为，∴，解得：，∴长方体木块高度；【小问3详解】解：虹吸结束后甲容器内水位高度为，则乙容器内水位高度为，放入铁块后水位增加，∵发生虹吸现象的过程中无水溢出，∴，解得：，∴，即，解得：，∴长方体木块高度h的最大值为．24.如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且．（1）求点E的坐标；（2）