1月大数据模拟卷05（山东、海南专用）（解析版）高中数学

1月大数据精选模拟卷05(山东、海南专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知集合4={》|。0.2；,0<%<乃卜集合3={xeR|x2<%}.则A|J3=()

A,[呜B.呜C.（09

D.（0,1）

【答案】B

【详解】

iJIJI

由cosxN一，可得---h2k7T<X<——\-2k7T,k6Z,

233

7t冗

因为0<x<兀，可得0<x4—,即集合A=（0,—],

33

又由/〈x，即V—x=x（x—i）<o,解得owxwi,即8=[0,l],

冗

所以AU8=0,y

2.设复数z满足|z-(l+i)|=l,则|z|的最大值为()

A.y/2-lB.血+1C.2D.3

【答案】B

【详解】

]^z=a+bi,a,bgR,|z-(l+i)|=|。一1+仅一1川=1,(«-1)2+(Z?-1)2=1,

心上,^+名相当于圆(x_+(y-1)2=]上的点到原点距离的最大值，

即圆心到原点距离加半径：V2+1.

3.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每

珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算球梁上部分叫上珠，梁下部分叫下球.例如，在十位档拨上一颗上

珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65,若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗

下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为()

I

【答案】D

【详解】

在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有

C©=24个，其中小于600的有-C；=7个，

7

，所求概率为P=—.

24

4.如果向量G,万的夹角为6,我们就称Mx行为向量方与B的“向量积"，MxB还是一个向量，它的长

度为IMX5HMI•山Sin。,如果|引=10,防1=2,ab=-12>则为xB|=()

A.-16B.8C.16D.20

【答案】C

【详解】

因为万|cos6=10x2cose=-12,

34

所以cos6=--,因为日£[。,7],所以sin8=q,

55

-4

所以|=|.1/714118=10x2x^=16.

5.在(2必一1)5的二项展开式中，X的系数为()

X

A.40B.20C.-40D,-20

【答案】C

【详解】

(2x2--)5的二项展开式的通项公式为

x

5r02rr-rr5r03r

7；+,=C；2-x'-(-l)x=(-l)2-C；x'-,

令10—3r=l,解得r=3,

故x的系数为—22C；=-40,故选：C.

2

423

6.已知1<加〈一，则---+------的最小值是（）

3m-\4-3m

A.3>/2+9B.V3+6C.60+9D.12

【答案】C

【详解】

4

0,4-3m>0,

3

+-^―)[(3/w-3)+(4-3m)]9+6(4-3，，，)+3(3//—)>9+672

m—14-3m3m-34-3mL」3m-34-3m

6(4-3m)3(3m-3)又故〃?="也时取等号.

当且仅当

3m-34-3m33

r22

7.已知椭圆C:j+v\=l（a>b>0）的右焦点为尸，短轴的一个端点为P,直线/：4x—3y=0与椭圆

ab

相交于A、3两点.若IAEI+I8用=6,点P到直线/的距离不小于9,则椭圆离心率的取值范围为（）

设椭圆的左焦点为尸'，尸为短轴的上端点，连接AE',8b',如下图所示:

由椭圆的对称性可知，A,B关于原点对称，则。4=。3

又OF'=OF

四边形AFBF'为平行四边形

：.AF=BF'

又|AF|+忸尸|=忸尸|+忸尸1=2a=6,解得:4=3

3

点尸到直线/距离：d=^i>~,

55

解得：b>2,即&一/=，9—/22

.\0<c<V5父［。告

a3

y/x—l,1<X<3

8.已知函数/(x)=<r,若函数g(x)=/(x)-必有两个不同的零点，则实数。的取值范

ln-,3<x<9

3

【答案】D

【详解】

函数g(x)=f(x)-ax有两个不同的零点等价于方程。=」里有两个不同的根,

X

q=X

XI[nX

—2-,3<X<9,

1x

—x+2

令w(x)="一\

X2x?\Jx—1

〃(x)>0=>1<xv2,〃(x)<0=>2<x<3,

・・・〃(x)在(1,2)递增，在(2,3)递减,

•••M(1)=0,M(2)=-,“(3)=—

23

6

(X)G(O,—].且

M3

4

In—In—

令仪x)=--=——,3Vx<9,

“3x-

3

令书,e/、1In/.八

则y~v(x)=，1</W3,

.11-lnr

・・・y=_・

.3

当y=O=>/=e,y>0=>l<r<e,y<0=>e<r<3,

..・，在（l,e）递增,在®3）递减,

且y⑴=0,y(e)=.y(3)=与

v(x)e

Jx-l1.

--------,1<x<3,

x

所以直线y=a与1史=<有两个交点,

.x

XIn—

——,3<xK9,

x

可得。的取值范围为：0,

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.在（x-Lj的展开式中，下列说法正确的有（）

A.所有项的二项式系数和为64

B.所有项的系数和为0

C.常数项为20

D.二项式系数最大的项为第3项

【答案】AB

【详解】

解：4所有项的二项式系数和为26=64,故A正确,

5

8.令X=1得所有项的系数和为(1一1)6=0,故8正确，

C常数项为。63尤3[!)=-20.故C错误，

。展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故。错误.

10.已知实数x,y满足一3<x+2y<2,—l<2x—y<4,则()

A.x的取值范围为(一1,2)B.丫的取值范围为(一2,1)

C.》+>的取值范围为(一3,3)D.》一y的取值范围为(一1,3)

【答案】ABD

【详解】

因为一l<2x—yv4,所以一2v4x—2yv8.因为-3<x+2yv2,所以一5v5Xvl0,则一1<x<2,

故A正确；

因为一3vx+2y<2,所以—6v2x+4yv4.因为-1v2x—yv4,所以-4v—2x+y<1,所以

-10<5y<5,所以一2vyvl,故8正确；

936114

因为-3Vx+2y<2,—1v2x-y<4,所以一一<一(x+2y)〈一,一一<一(2x-y)v—,则一2vx+y<2,

555555

故C错误；

21333I?

因为一3vx+2yv2,—lv2x—yv4,所以——v——(1+2>)<二,一二<二(2*—y)<一，则

555555

-l<x-y<3,故。正确.

11.已知函数〃制=4疝(5+。)(4>0,G>0,。<。<乃)的最小正周期为4,其图象的一个最高点为

下列结论正确的是()

(3)

A.8=冗

c冗

B.co=一

3

C.将/(x)图象上各点的横坐标变为原来的;，纵坐标不变，得到〃(x)图象；再将〃(x)图象向右平移;

个单位长度，得到函数>=2sin(乃x+的图象

D.>=/(》)的图象关于》=1对称

6

【答案】BC

【详解】

由已知二=4,A错；

CD2

A=2,2sin(]xg+e)=2,(p=2kji+y,keZ,又。〈中〈兀，：.(p=%.B正确;

/(x)=2sin^yx+yj,

将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的：，纵坐标不变，得/i(x)=2sin(G+M),再将/z(x)图象向右

23

ITC7171

平移个单位长度，得图象的解析式为y=2sin7r(x--)+-=2sin(^x+-),C正确；

6L63」6

大/(X)中，令x=l,—x+—=-^k7C+—,keZ,D错.

2362

12.在正方体ABCO-A4GA中，点〃在线段BQ上运动，则()

A.直线平面ABC。

B.三棱锥用-AG。的体积为定值

71兀

C.异面直线AM与A。所成角的取值范围是

D.直线GM与平面AC。所成角的正弦值的最大值为逅

3

【答案】BD

【详解】

A错，如图，连接用，，4G，由正方体可得AG，4R,且平面A4GQ，则84,4G，

BB[cBQ=4

所以A]C]±平面BDA故AG，BD]；

同理，连接A。，易证得则8QL平面AG。，

若直线82L平面age。，则平面4月C。//平面AC。

7

这与平面4国。。与平面AGO相交矛盾，所以A错；

3正确，九-AG。-%-州纪»因为点M在线段BC上运动，所以S%/»,=g4O-A6,

面积为定值，且G到平面的距离即为G到平面448的距离，也为定值，故体积为定值;

C错，由AQ//BC，

当点M与线段BC的端点重合时，AM与4。所成角为60°；

设与C的中点为M。，当点M由的端点向中点M。运动时，乙4MM0为异面直线与A。所成角

在在AACB|中，AC=A用，所以AMoJ.BC

在AAM%中，不变，|肪丸|逐渐变小•所以tan乙4"%=攘4逐渐增大,

当点M与Mo重合时，异面直线40LJ所成角为90。

所以异面直线AM与4。―所成角的取值范围是_717_1，所以c不正确.

力正确，以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，OQ为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A闰CD|中棱长为1,则0(0,0,0),4(1,0,1),G(0,1,1)，M(a,l,a)

Z^=(l,O,l),Dq=(0,1,1),QW=(a,O,a-l)

由前面可得，BR,平面AGO,所以西=(—1,一1,1)为平面AG。的一个法向量

二直线GM与平面AG。所成角的正弦值为。：

C.MBD\I

sin6=cos(GA/.BO])1

|和H瓯「百X/2+g—1)2

当a=，时，sin。有最大值远

23

所以宜线GM与平面4G。所成角的正弦值的最大值为逅，故。正确.

3

故选：BD.

8

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在三棱锥P—ABC中，侧棱P4J_底面43。,/84。=120,48=4。=1且丛2BC,则该三棱锥

的外接球的体积为

____32乃

【答案】——

3

【详解】

在△ABC中，由余弦定理可知：

BC=yjAB2+AC2-2AB-BC-cosABAC=71+l-2xlxlxcosl20-=瓜

因为N84C=120',AB=AC=l,所以^ABC是顶角为钝角的等腰三角形，

设△A6C的外接圆的直径为AO,

由正弦定理可知：AD=———=百。=2,,

sinZBACsin120

因为侧棱QAJ_底面ABC,PA=2BC=273.

所以三棱锥P-ABC的外接球的直径为PD，

由勾股定理可知：PD=YAD?+PA?=百+(2百了=4，

9

所以三棱锥P—ABC的外接球的半径为：R=k4=2,

2

所以三棱锥P-ABC的外接球的体积为：V=-7rR3=—x23=—.

333

14.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点/且斜率大于0的直线/交抛物线于点A,8(点A于第一象限)，交其

准线于点C,若忸。=3忸耳，则直线A3的斜率为.

【答案】20

【详解】

如图,作于。(/是准线)，则忸0=忸耳，由题意忸C|=3忸q,.•.|CD|=2五忸q,

tan/C8O=阴=20,由知BD//x轴，NCBO与直线AB倾斜角相等，

\BD\

/.AB的斜率为2起.

2

15.已知〃x)是定义在R上的奇函数，并且/(x+2)=-/(幻，当一lWx<0时，/U)=log,(x+1))

2

则/(2021)=

【答案】1

【详解】

v/(%+2)=-/(%),令x=x+2,

/(%+4)=-f(x+2)=-[-/(%)]=/(x),故函数/(x)的周期为4,

.•./(2021)=/(4x505+l)=/(l),

•."(%)为奇函数，"⑴=一〃一1),

10

由已知可知/（-1）=log;（1+1）=log,2=-1故"1）=1.

因此，“2021）=1.

16.一年时间里，某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动，据统计，他们参加社区志愿

者公益活动时长X（单位：时）近似服从正态分布N（50,b2）,且尸（30<X<70）=0.7,该校高一学

生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1275，估计该校高一年级学生人数为

【答案】1500

【详解】

由P（30<X<70）=0.7得：P（X<30）=|x（l-0.7）=0.15,

P（X>30）=1-0.15=0.85.

,估计该校高一年级学生人数为：1275+0.85=1500人.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等比数列｛q｝中，4=4,%=32.

（1）求知

(2)设“=3log?an,cn=bn-an,求数列｛%｝的前〃项和T“.

【详解】

（1）设等比数列｛q｝的首项为《，公比为9,由已知4=4，%=32,可得

%q=44=2

解得《所以q=qq"T=2"

a、q*=32q=2

(2)由(1)知勿=3k>g24"=310g?2"=3〃，cn=3n-2"

23

:.Tn=3x2'+6X2+9X2+L+3n-2"①

27；=3x22+6x2’+9x2*+L+3n-2,,+l②

①-②得：-7；=3x2i+3x2?+3x2,+L+3x2H-3n-2d+,

=3X(2'+22+23+L+2")-3n-2"+l~一3n-2"+'

,"+,,+ln+l

=3x(2'-2')-3n-2=3x(l-w)-2-6

11

.♦.7；=3(〃-l>2"+i+6

18.己知a,b,。分别为△A6C的三个内角A,B,。的对边，3+c)(sin8-sinC)=(a-c)sinA.

(1)求5；

(2)若6=4,△ABC的面积为46，求a+c

兀

【答案】(1)—;(2)8.

3

【详解】

(1)由(b+c)(sinB-sinC)=(a-c)sinA,

根据正弦定理可得S+C)(b-c)=(a-c)a,

即b2=a2+c2—ac，

ac=a2+/—b2

山余弦定理b1=a2+/-2accosB，

得cosB=""+c~一万=」

2ac2

TT

由于0<3<%，所以8=—

3

(2)因为△相。的面积为4g，

所以LacsinjB=^^ac=46,即ac=16,

24

因为。2=々2+/—改=]6,所以(J+/=32，

所以a+c=yla2+c2+2ac=8

19.如图1,在平面四边形ABDC中，A8=2,AC=1,CO=J^,NA=9()。，cos/BCD、,

12

D

(2)将△BCD沿BC折起，形成如图2所示的三棱锥。-ABC,AO=2.

①三棱锥。一A5C中，证明：点。在平面A8C上的正投影为点A；

②三棱锥D-ABC中，点E,口,G分别为线段AB,BC,AC的中点,设平面DEF与平面DAC的交线为/,

Q为/上的点.求DE与平面Q尸G所成角的正弦值的取值范围.

【详解】

解：(1)在中：BC=yjAB2+AC2=75

在△BCD中由余弦定理：

BC=CD=J5rcos/BCD5

IBCCD

___________2

所以6。=2&，sinZBCD=71-cos2ZBCD=--

BCBDV15

在△38中，由正弦定理:所以sinD

sinDsinZBCD丁’

13

(2)①在A/MB中，因为AB=2,AO=2,5O=2^,

所以BO?=432+a。?,A。，AB,

在△ZMC1中，因为AC=1,AO=2,CO=J^,

所以CO2=AC2+AO2,AO_LAC,又因为ABCAC=A,所以4)J_平面ABC,

所以点D在平面ABC上的正投影为点A；

②因为七///4?,£^^平面。4。，ACu平面D4C，

所以防//平面DAC，平面£＞律与平面ZMC的交线为/,所以〃/EF，1//AC.

以A为坐标原点，以ARAC、分别为x，V，z轴，建立空间直角坐标系A一孙z,

所以A(0,0,0),0(0,0,2),E(l,0,0),Fh,1,0j,G(0,1,0

设Q(0j,2),F2=(O,r,2)-fl,1,oW-lj-p2LG2=(O,^2)-fo,1,oMo,r-1,2L设平

面。FG的法向量刀=(x,y,z)，

因为“/。=(乐乃2>(-11一；,2)=0,/i-G2=(-«,y,z)-fo,r-^,2j=0,

2

所以，平面。尸G的一个法向量为E=(0,2,；—r

因为历=(1,0,-2),设DE与平面QFG所成角为0,

14

b,sinO

所以

若，=,，则sin6=0,

2

.口275I12石

若遇,则5h5，

所以OE与平面QFG所成角的正弦值的取值范围为,半］

20.复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于

新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力.而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强.复

学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试,

测试成绩（百分制）如下：65,78,90,86,52,87,72,86,87,98,88,86.根据此年龄段学生体质

健康标准，成绩不低于80的为优良.

（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行体质健康测试,

求至少有1人成绩是“优良”的概率；

（2）从抽取的12人中随机选取3人，记X表示成绩“优良”的人数，求X的分布列和期望.

【详解】

解：（1）抽取的12人中成绩是优良的频率为2,

3

2

故从该校全体高二学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是1，

设”在该校全体高二学生中任选3人，至少有1人成绩优良”为事件A，

则。（A）=IYX（V）=心=*

（2）由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,

.3

P(X=0)=备.啧

_48_12

P(x=i)

-220-55

15

P（X=2）=与=壑=竺

17《22055

P（X=1）=§=至1,

\）a22055

所以X的分布列为

X0123

1122814

P

55555555

E“X=0cx-1-F1x112F2cx--28F3xr—l4=2c.

55555555

22

21.已知6,工分别是椭圆C:J+方=l(a>8>0)的左，右焦点，过点耳的直线/与椭圆C交于A,B

两点，点在椭圆。上，且当直线/垂直于x轴时，|A8|=2.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在实数r,使得|A£|+忸4|="M|忸制恒成立.若存在，求出，的值；若不存在，说明理由

故椭圆C的标准方程为土+匕=1.

42

16

(2)由(1)可知1卜0,0),五,0).

当直线/的斜率不存在时，|A川=忸川=5=1,则/=2.

1"'1a[粗|A短:怛呷埒

当直线/的斜率存在时，设其斜率为七则直线/的方程为y=A(x+0),A(x，y),8(马,巴).

丁=攵卜+逝)

联立-22整理得(2左2+1)f+4瓜、+4公一4=0,

二+21=1

142

47^+1

40k24k2-4从而卜|一々I='(玉+々y-你々

则X]+A：2=-—-----,x,x—

2公+11222k2+12k2+1

故|A£|+怛凰=|A3|=JFW归一引=冬二

乙K十1

由题意可得|4用="2+1,+怛制="2+1"+码-

则|4耳||阳=①+1)"+0&+々)+2卜当空•

止+4

因为|*+|防HMIM，所以\"AF谛}\+\裾BF.\=今可4-1

2k2+\

综上,存在实数r=2,使得1Ml+|%|=*耳||班|恒成立.

22.已知/(x)=xlnx+£x2+1

(1)若/(x)在其定义域上为单调递减函数，求实数。的取值范围；

(2)若函数g(x)=/(x)+xcosx-sinx-xlnx-l在(0片上有1个零点.

(i)求实数”的取值范围；

(ii)证明：若%>1,则不等式(x-l)"(x)-怖*2]>axlnx成立.

【详解】

解：(1)/'(%)=111%+1+依40在(0,+00)上恒成立，