高中数学 必修4 第二章 平面向量

高中数学必修4

第二章平面向量

平面向量的概念及线性运算・导学案

一、目标认知

学习目标：

1了解向量的实际背景.

2理解平面向量和向量相等的含义.

3理解向量的几何表示.

4掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义.

5理解两个向量共线的含义.

6了解向量的线性运算性质及其几何意义.

重占•

理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

难点：

,平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

二、知识要点梳理

知识点一：向量的概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

2.向量的表示方法：

(1)字母表示法:如…等.

(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如隔，8等.

(3)向量的有关概念

向量的模响量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

零向量:长度为零的向量叫零向量.

单位向量:长度等于1个单位的向量.

相等向量:长度相等且方向相同的向量.

相反向量：长度相等且方向相反的向量.

共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).

规定、与任一向量共线.

要点诠释：

i.数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.零向量的方向是任意的，注意。与o的含义与书写区别.

3.平行向量可以在同一直线匕要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,

要区别于在

同一直线上的线段的位置关系.

知识点二：向量的加(减)法运算

1.运算法则：三角形法则、平行四边形法则

2.运算律：①交换律：«+*=*+«；②结合律：(«+*)+«-4+(6+C)

要点诠释：

1.两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意

向量的起点与终点.

—■■■■■

2.I。卜囿可。+阳。1+1引探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题

知识点三：数乘向量

1.实数与向量的积：实数2与向量口的积是一个向量，记作：而

（N&H周同；

（2）①当a>°时-，.的方向与云的方向相同；

②当a〈°时.石的方向与不的方向相反；

③当a=Q时，ifl=o.

2.运算律

设a"为实数，结合律：

分配律：（4+须・石+西，Z0+5）・击+而

3.共线向量基本定理

非零向量三与向量*共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数3,使苫=忘.

要点诠释：

■■■■■

小#6是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的

相互转化，体现了数形结合的高度统一.

三、规律方法指导

1.向量的线性运算

（1）在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有

机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明：

（2）向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的

三角形法则应记住:连接两端（两向量的终点），指向被减（箭头指向被减数）.记清法则是灵活运

用的前提.

2.共线向量与三点共线问题

向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直

线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.

§2.1平面向量的实际背景及基本概念

星■基础题

下列物理量:①质量；②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程；

⑦密度;⑧功.其中不是向量的有（).

A.1个B.2个C.3个D.4个

基础题

下列各量中不是向量的是（).

A.浮力B.风速C.位移D.密度

■^9；、二50日—W••必.审r*—：；♦•.广*八。，.'.回：：•”也――：二•

下列四个命题:①时间、速度、加速度都是向量;②向量的模是

一个正实数;③所有的单位向量都相等;④共线向量一定在同一直

线上.其中真命题的个数为（）.

A.OB.1C.2D.3

例题4

下列说法正确的是（）.

A./〃3就是港所在的直线平行于无所在的直线

B.长度相等的向量叫相等向量

C.零向量长度等于0

D.共线向量是在同一条直线上的向量

例题5

一辆汽车从4点出发向西行驶了100千米

到达B点，然后又改变方向向西偏北50。方向

走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东

行驶了100千米到达。点.

（1）作出向量履，虎，在；

（2）求l#l.

图2-1-5

2&）9年湖彻I校联考题

例题6-■••

下列命题不正确的是（）.

A.零向量没有方向B.零向量只与零向量相等

C.零向量的模为0D.零向量与任何向量共线

例题7淮谭：茂常审泽一..、：

判断下列命题的真假：

(1)单位向量都共线；(2)单位向量都相等；(3)共线的单位向

量必相等;(4)与非零向量。共线的单位向量是居.

lai

例题8

判断下野题的真假.若为假命题,请简述理由.

(1)向量必与无是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上;..

(2)单位向量都相等；

(3)任一向量与它的相反向量不相笔上

(4)四边形ABCD是平行四边形，则谨=说；

(5)如果一个向量的方向不确定，则这个向量的模一定为0；

(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

例题9基础题

给出下列命题：

①若则a一定不与b共线；

②^存=屁，则4、B、C、。四点是平行四边形的四个顶点;

③在平行四边形ABCD中，一定有地=反；

④^向量。与任一向量占平行，则a=0；

⑤若a=b,b=c，贝Ja=c.

其中所有正确命题的序号为_______•

基础题；,：.,：.；*1、；;潍:注.'3*：*­.

例题10，：心向土4.总":"不：.

下列说法正确的是().

A.若㈤>SI,则a>bB.若lai=\b\，则”方

C.若。=b,则a与b共线D.若。天■，则。一定不与b共线

例题11中档题

如图2-1-7,已知四边形4BCD

是平行四边形，。是两对角线AC、BD

的交点，设点集股=｛4、3、C、0、0|，向

量集合T=｛动1尸、。GM且P、Q不重

合｝,求集合T元素的个数.

图2—1—7

例题12基础题

如图2-1-8所示，0是正六边形

4BCDE尸的中心.

(1)与a的模相等的向量有多

少个？

(2)是否存在与凉长度相等，方向

相反的向量？

(3)与温共线的向量有哪些？

,图2-1-8

例题13

一架飞机向北飞行300km,然后改变航向向西飞行300km

求(1)飞机飞行的路程;(2)两次位移的和的方向及大小.

中档现高；：礴(

例题14

一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆

时针方向转变。度,继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变

a度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.

(1)按1：100比例作图说明当a=45。时，操作几次时赛车的

位移为零；

(2)如果按此法操作使赛车能回到出发点，那么a应满足什

么条件？请写出其中两个.

例题15

判断下列各例正确与否.

(1)向量4B与不，是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上;

⑵向量a冬喳b平邑则0、券响理或相反；

(3)若向量存、也满足＞I3I,且AB与3同向，则后＞

(4)若21=历I,则a力的长度相等且方向相同或相反;

(5)由于零向量方向不确定，故。不能与任何向量平行.

-

例题16基础题

如图2-1-11（1），某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈,

他可按图2-1-11（2）中提供的向量行走,则这些向量的排列顺

序为________：..

考题1

给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;②若

lal=⑸，则。”:③若/二虎用四边形3/）是平行四

边形;④平行四边形ABC。中，一定有万=虎;⑤若m=n,

”=4,则JM=七⑥若。〃瓦，〃%则。〃C.,‘

其中不正确的命题的个数为（）.

A.2B.3C.4D.5

考题2阚—;级

设4,4，4,4是平面上给定的4个不同点，则使

宙+就+就+就=0成立的点M的个数为（）.

A.0B.1”至2D；4

-•}••••---!­•

§2.2平面向量的线性运算

例题1基础题［上­

如图2-2-10,已知向量aJ,求作向量Q+b.

图2-2-10

例题2基础题

如图2-2-12所示，已知向量a、b、c,试求作向量a+)+c.

........

例题3金，小廉也鬣窿球—

求向量/+9+而+能+或之和.

4

【推广】如图2-2-14所示，戒=氯+

祝+N+…+4”/：,特另地，当凡和人重a

合时,4/2+^2^3+^3^4+…+4-14n=®-这一ci

结论很重要，应当牢记.图2-2-14

例题4基础题

⑴若向量明。满足W=8,⑶=12,则la+51的最小值是

_______;(2)当非零向量a、b(a、b不共线)满足时，能使

a+6平分2、b间的夹角.

例题5

如图2-2-15,用。、入c表示下列

向量.

图2-2-15

..4;r，•z••-u-..

例题6基础题

已知任意四边形4BCO,E为M的中点，尸为的中点，求证:

济+济=存+说.

例题7基础题

如图2-2-18,已知正方形ABCD的边长

等于1,荏=%说=b,l^=c，试作向量:

⑴a+b+c；(2)a-b+c.

图2-2-18

例题8基础题

将=[2x(2a+防)「4x(4a-2b)]化简成最简式为().

A.2tl—bB.2b—。C.a—bD.b—a

例题9基础题

北简告[(4a-3ft)+为一十(6G-7b)]=

例题10

已知向量。,且/=o+2A,配=-5a+6b,C^-la-26,贝1］一

定共线的三点是（）.

A.4、B、DB"、B、CC.B、C、DD.A、C、。

例题11

平行四边形OACB中,BD=j~BC,OD与BA相交于E.求证:

BE=《BA.

4

例题12

在UM3C0中，/=明同=，，乔=3前,M为BC的中点，则

硫=_______.（用明，表示）

例题13

如图2-2-20,在△048中，延长3A到C,

使月C=班,在08上取点D,使OB=—B,DC

与0A交于E,设凉=a,屈=b,用a,b表示向量

0t,Dt.

图2-2-20

例题14中档题

若G是AABC的重心,D、E、尸分别是M、BC、G4的中点，则

乐+无+浸等于（）.

A.6GDB.-6GD

C.-6GED.0

例题15中档题w

(1)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求(■!■«-5)-(a-年6)+

(2ft-a)..3

(2)已知。与，，且5x+2y=a,3x-j=b,求xj.

例题16中档题

如图2-2-22所示，四边形OADB是以

向量褊=，,加=》为边的平行四边形.又

=试用a,b表示加,

O^,MN.

图2-2-22

例题17基础题一2010年长春高一检测

已知非零向量4,e?不共线.

(1)如果检=ex+e?,或=2e]+8e2,CD=3(«]-e2),求证：4、

8、。三点共线.

(2)欲使〜+e2和%+ke2共线，试确定实数k的值.

例题18基础题

用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.

例题19基础题

如图2-2-24,在重300N的物体上拴

两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅

垂线的夹角分别为30。、60。,求当整个系统

处于平衡状态时,两根绳子拉力的大小.

例题20中难题一2011年济南调研题

如图2-2-26,正△715c的边长为15,

#=/区+多正,前=/•荏+'充.

(1)求证:四边形APQB为梯形；

(2)求梯形4PQ5的面积.

图2-2-26

考题1/箪懿澹哪

若三涔向量a、b满足1。+川=仍1,则().

A.\2a\>\2a+b\B.12al<\2a+b\

C.\2b\>la+2blD.12bI<la+2bl

考题2rLXZ

在AWC中/^=%斤=氏若点D满足好=2云,则

4=().

A.

52.

B.于F

2.1

Cr.-b~7T~C

33

„1.2

D.—b+-c

考题3

已知。，、8是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足

2就+还=0,贝欣=().

A.2OA-O1^B.-di+2oi-

c..~dX~~dhD.--^-04+—0^

考题4

如图2-2-38,在平行四边

形ABCD中,AC与BD交于点。，

E是线段。。的中点，他的延长A

线与交于点尸.若公=%

CD图2-2-38

粉=九则/=().

••»i

A.%+»B.-1-a+--b

C.~a+D.--a+-b

考题5

已知0是△回i:所在平面内一点,0为BC边中点，且

2而+温+元=0,那么().

K.A6=O6B.我=2就：

C.茄=3初D.2A6=O6

考题6；笳向军献

如图2-2-39,。,心尸分别是AABC的边AB,5C,G4

刖\

7

次+

走

舞

一

面

•

一

图2-2-39

则

:支丁匚,

=n°

D.就+闻+动=0

平面向量的基本定理及坐标表示-导学案

一、目标认知

学习目标：

1.了解平面向量的基本定理及其意义；

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

重点：平面向量基本定理与平面向量的坐标运算.

难点：平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

二、知识要点梳理

知识点一：平面向量基本定理

—•>-9^..

如果吸，.是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任i向量二，有且只有

_对实数4,4,使a=4.+4O,称4八为小。的线性组合.

①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种

分解是唯一的.

这说明如果a=A，+书且。=,那么A==4'.

③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量

基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.

平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与

坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.

知识点二：向量坐标与点坐标的关系

当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x,y),则QA=(x,y).

要点诠释：当向量起点不在原点时，向量静坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x“

>

yi),B(X2,y2),则4S=(X2-Xi,ya-yi).

而识点三：平面向量的坐标运算

运算坐标语言

MM*

记CM二(X1,yi),Off=(y)

加法与减法X2f2

+

^^^=(xi+x2,yf),^®"^=(x2-xi,y2-yi)

—»一

实数与向量的乘积记3=(x,y),贝lj?U=(!x,ay)

知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示

..卜=4

设非零向量a=k川/=缶川，则♦〃公=(xi,y尸-(x2,y2),即1*=枳，或

xiy2-X2yi=0.

••_T区.左，

要点诠释：若.=(0乂)^=(吗.方)，则；〃上不能表示成以‘2’因为分母可能为0.

三、规律方法指导

1.用向量证明几何问题的一般思路：

先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向

量的运算来证明.

2.三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知

水嬴=侬凶，5），充2\-

若5-25-x）-5f5-尤=3则人，B,c三点共线.

§2.3平面向量的基本定理及坐标表示

例题1

已知与此是平面a内两个不共线的向量，下列说法不正确的个数

为（）.

①Ae1+ue2（QueR）可以表示平面a内的所有向量;②对于平面

a内任一向量％使+ue2的实数对（入,u）有无穷多个;③若向量

儿%+口此与%%+«2«2共线，则有且只有一个实数人，使得用4+

ute2=A（A2«I+%02）;④若实数A,u使得A«[+u«2=°,则入=u=Q.

A.1B.2C.3D.4

例题2•4

如图2-3-7所示,已知口ABCO的边BC,CDD

日中点分别为K,"且斌

-ej,AL=。2，试用e1，©2表

示虎，而.

图2-3-7

例题3基础题

如图2-3-9,在已知四边形ABC。中,E、F

为肛CO边的中点且祟=上设成=

DC

«i,B^=e2，试用61g及k表示屈、说.

图2-3-9

例题4基础题

若0X0,b#0,且lol=Ibl=la-bl.求。与的夹角.

例题5基础题

在直角坐标系My中，向量Q、b、c的模分别为

2、3、4,方向如图2-3-11所示,分别求它们的坐标.

图2-3-11

・'部♦工治二―厂丝丁.

例题6

已知04=(3,2)凝=(4,5),求点C的坐标.

例题7基础题

已知平面上三个点4(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求满、记、就+北、港.

记、2万+十元.

例题8

已知点知2,3),8(5,4),，(7,10).若#=存+入北(人:11),试求人

为何值时,(1)点P在第一、三象限角平分线上;(2)点P在第三象限内.

例题9

已知0=(1,2)@=(-3,2),当实数人取何值时,〃+2b与2窗-4,

平行？

例题10中档题一2009年黄冈中学训练题

证明三角形的三条中线交于一点.

例题11中档题一2009年湖北八校联考题

如图2-3-13,已知△4EC的面积为14皿2,。1分别为边48、367上

的点，且4。：DB=BE:EC=2：1,求△”＜：的面积.

例题12中档题一2011年武汉调研题

如图2-3-14,设P为△ABC内的一点，且还=/油+!•北,

(1)求△PBC亘△4BC的面积之比；

(2)设方=*两+丁河,求实数x、y.

例题13基础题

若向量。=(町1)=(4,%)，则当％=时，。与b方向相

同.

例题14基础题

已知△40B中,0(0,0),4(0,5),8(4,3),说=[•而，加=；冠,

AD与5c交于M点，求点M的坐标

例题15

如图2-3-16,正方形ABCD中,P为对角线BD

上的一点，四边形PECF是矩形，用向量方法证明

EF=PA.

例题16

已知向量。=(-3,2),5=(2,l),c=(3,

⑴求la+而I的最小值及相应的，值；

(2)若。-为与c共线,求实数e.

练习：

一1.已知△ABC中，点4、8、C的坐标依次是4(2,-1),8(3,2),C(-3,边上的

高为40,则成的坐标是.

-2.已知向量u=(x,y)与向量v=(夕,2y-x)的对应关系可用〃=/(“)表示.

(D证明:对于任意向量及常数m、n,恒有/(皿+而)=硕°)+叭5)成立;

(2)设a=(1,1),A=(1,0),求向量/(a)及/的坐标；

(3)求使/(c)=(3,5)成立的向量c.

—3.(1)已知0=(1,»0/=(3叫2刖+1),若0〃b,求|11的值.(2)若点「(环1)在4(2,

-4),5(5,11)两点的连线上，求二值.

—4.如图2-3-17,已知平面上三点坐标分别为4(-2,1),8(-1,3),

C(3,4)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点.

—5.平面内给定三个向量a=(3,2),6=(-l,2),c=(4,l),回答下列

问题：

⑴求3a+b-2c；

(2)求满足a=mA+nc的实数m,n；

(3)若(a+附〃(2b-a),求实数心

(4)设d=(«,y),满足(d-c)〃(a+b),且ld-cl=1,求d.

■IIBM邮神

设平面向量0=(3,5),b=(-2,1),贝jia-乃=

A.(7,3).B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)

考题2

若祐=(2,4),北=(1,3),则说=().

-I/)

^C(3,7)D.(-3t-7)

考题3

*设A是平面直角坐标系中两两不同的四点,

•■,.

.痴14；=A4/(入6R),4潭：=必4；(从wR)，且+£=

2，则称A3,4调和分割A已知点C(c,O),D(d,O)(c,

dcR)调和分割点4(0,0),8(1,0)；则下面就法正确的是

'A.C可能是线段AB的中点

B.0可能是线段做的中点

C.CQ可能同时在线段的上

D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上

△ABC中，点。在边AB上,CD平分乙ACB.若k=%

4.=瓦/1=1,1"=2,则而=()...

考题5

设向量满足。=2酒＞=(2,1)，且。与办的方向

相反，则a的坐标为_______:

考题6国的二年北京

已知向量。=(6,1),b=(0,-1),c=(K向.若。-

2b与c共线，则A=、

考题7

如图2-3-19，在△ABC中，点

。是3C的中点，过点。的直线分别

交直线丝、AC于不同的两点M、M若

荏=m说/公=n彳亦，贝（jm+几的值D

为

M

图2-3-19

专题82007年安徽

在四面体0M5C中,而=”,笳=b,^=c,D为8。的

卜点］为AD的中点，贝|」凌=（用*b,c表示）.

考题9

已知平面向量。=(1,2),b=(-2,m),且0〃瓦则2a+

A=().

A.(-2,-4)B.(-3,-6)

C.(-4,-8)D.(-5,-10)

考题10

I在△ABC中，已知。是AB边上一点，若方=2示0=

i~CA+A，则人=（）.

A。B.《C.D.---

3333

年北京^

考题112009

已知向量a、b不共线,。=碗+5«£10"=。-瓦如果

c〃d,那么（）.

Ad=l且c与d同向8/=1且。易/麴啜

C.4=-1且c与d同向D.4=-1且c与&反向

如图2-3-20,在平行四边形ABCD中,E和尸分别是

边。和8c的中点，设记=入荏/，其中入weR,则

图2-3-20

平面向量的数量积及平面向量的应用・导学案

一、目标认知

学习目标：

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算：

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.

难点：用向量的方法解决几何、物理等问题.

二、知识要点梳理

知识点一：平面向量的数量积

1.平面向量数量积(内积)的定义：

已知两个非零向量逞它们的夹角是三，则数量印阵❷叫；与E的数量积，记作

«乱即有"'丽㈤‘(°"为,并规定6与任何向量的数量积为o.

2.一向量在另一向量方向上的投影：图叫做向量自在工方向上的投影.

要点诠释：

1.满个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是•个实数，不是向量，符号由8S®的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成；E；今后要学到两个向量的外积而G,是

两个向量的

数量的积，书写时要严格区分.符号在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能

用，，X”

代替.

(3)在实数中，若。*0,且。》=°,则占=0：但是在数量积中，若GwO,且：j=o,

不能推出

'★0.因为其中C8&有可能为0.

2.投影也是一个数量，不是向量；当？为锐角时投影为正值；当『为钝角时投影为负值;

当F为直角时投影为0；当3=0。时投影为网当三=180。时投影为一'I.

知识点二：向量数量积的性质

设2与％为两个非零向量，？是与工同向的单位向量.

2«=0

3.当；与乡同向时,一佣；当；与彳反向时,'TW

.特别的rl或

F卜&・。

4.

5F和丽

知识点三：向量数量积的运算律

1.交换律：ab=b-a

2数乘结合律：（问“平%；（码

a+b\-c=a-c^-b-c

（J

要点诠释：1.已知实数a、b、c（b#））,则ab=bc=a=c.但是a4=AYRa=c；2.

在实数中,有（axb）c=a（bxc）,但是

显然，这是因为左端是与。共线的向量，而右端是与：共线的向量，而一般上与。不共线.

知识点四：向量数量积的坐标表示

1.已知两个非零向量3=（勺，圮，；•]=玉巧+JV4

2设「-（XJ）则日『■7+/或I；卜巧衣

3.如果表示向量；的有向线段的起点和终点的坐标分别为《为6）、（巧必），那么

I。卜如-、+5-乃）2（平面内两点间的距离公式）.

三、规律方法指导

1.向量在几何中的应用：

（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件

Mb="S*办=（4.力）=秋马㈤

（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件

a_1_刃=0・5=0=A.+AXz=0

（3）求夹角问题，利用FIFI肝针标7

⑷求线段的长度，可以利用Fl=#或阿卜扃二铲石牙

2.向量在物理中的应用：

⑴向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用;

(2)向量在速度分解与合成中的作用.

§2.4平面向量的数量积

例题

1--

如图2-4~6,Rt44BC中，乙4=90。,43=1,贝！J同•

8C的值是().

A.1B.-1C.2D.-2

图2-4-6

例题2

△45C中,/=%讹=b,若a•5>0,则的形状为（）.

A.直角三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.不能判断

例题3基础题

已知⑷=4,16=5,当（l）a〃A,（2）a",（3/与2的夹角为30。时,

分别求。与5的数量积.

例题4

已知都是非零向量，且G+3。与7a-5b垂直,a-4办与7a-2b垂

直，求。与b的夹角.

卷二一•，，&;••二：二,"一二...<"；.<..!…

例题5中档题

若向量。与白夹角为30。,且SI=4"，⑶=1,则向量P=a+5与”

a-b的夹角的余弦值为•

例题6三澧淳1185.•?-.：；；•;"'小；—工—〜

(1)已知"I=5,〈。力〉=60。,求。在b方向上的投影.

(2)已知a-b=3.\a\=5,求b在。方向上的投影.

例题7基础题

已知(a+b)_L(a+3，)，求证：la+2bI=lbI.

例题8基础理一

若向量a、b、c满足a+b+c=0,且Hl=3,lbl=l,lcl=4,则a•b+

•c+<?•a=・

例题9

△48C中，。为中线AM上一动点，若阈/=2,则以•（屈+说）的最小

值是________•、..

例题10

设a=(m+l,-3),b=(l,m-l)，若(a+b)J_(a-b),求m的值.

例题11

已知直角三角形的两直角边长分别为4和6,试用向量法求两直角边

中线所成钝角的余弦值.

例题19

已知向量aS不共线，且12a+Z»I=la+2bl，求证：（a+

b）上（a—b）.

例题20

在aMC中,已知同=(2,3),无=(1,A),且△48C的一

个内角为直角，求实数人的值.

例题21

向量eiM是夹角为60°的两个单位向量，求向量。=

2et+©2与方=-3«j+2e2的夹角.

例题22“一

已知a=(一上,亨)，工1=6-瓦笳=。+瓦若△405是

以。为直角顶点的等腰直角三角形,求向量b.

例题23中档题....-•.・瀛

平面内有向量加=(1,7),就=(5,1),湿=(2,1),点Q为直线

0P上的一个动点.

(1)当谈•仍取最小值时，求丽的坐标；

(2)当点。满足(1)的条件和结论时，求cos44Q5的值.

、例题24中档题

已知：a=(cosa,sina),b=(cos^,sinjB)(0<a<j8<IT).

(1)求证:(a+b)_L(a-，)；

(2)若Z+b与。-协长度相等(其中k为非零实数)，求万的值

练习题：

—设M是AABC内任一点，冠•就=2"，乙创C=30。,△MBCgM4CgM4B的面积分别为

X,）/，若z=4,则在平面直角坐标系中,以工,y为坐标的点（x,y）的轨迹图形是（）.

一若等边三角形4BC的边长为2百，平面内一点M满足或=[■益+等成,则而•

oJ

届=.

=若（o+方）_1（2«-5）,（"2办）_1（20+〃），试求。力的夹角的余弦值.

一在等腰直角三角形ABC中，4C是直角，。=C8,0是C8的中点淖是48上的一点,

且4E=2EB求证:AD1.CE.

一已知"S是非零向量/为实数，设U=a+ib.

(1)当I“I取最小值时,求实数t的值；

(2)当I“I取最小值时，向量，与“是否垂直.

一设两个向量满足lej=2,切=1,4与e2的夹角为岸，若向量肛+7%与

e.+血的夹角为钝角，求实数t的范围.

设4=(1,-2)*=(-3,4),c=(3,2)，则(a+2A)•c

等于(等

A.(-15,12)B.4C.-3D.-11

在△4BC中,4B=3,4C=2,8C="■，贝|力•记等于

平面向量吟（1,-3）,，=（4,-2）/a+b与您垂直,

则人等于（'）.I：—..

A.-1B.lC.-2D.2

考题4

已知两个单位向量。与方的夹角为135。,则H+入川＞

1的充要条件为（）.

A.Ae（0,晚）

B.46（-笈,0）

然4成（一8,0）口（互+8）「

eJu*.•Hr：■''.•...'.'：c'1:-*•

D.Aw（—；0U（a+8）

考题5

“号b为平面内互相垂直的单位向量,若向量。满足

（I）•（°一c）=0,则旧的展大值是（）.

一在：

ACB.2C.J2D.4.

「二:淮考德演学；二；「；,2「：

若向量。与b不共线，小万关0,且c=a-则

向量。与c的夹角为（）.

■••■■:--'

A.0B.-；C.--:D.不

632

考题7

设。=（4,3）在5上的投影为尚第,b在4轴上的投

影为2,且IMW14,则5为（）.

A.（2,14）」工？；B.（2,±3）

C•（一2,旬小一”"[

若平面向量明万满足lai=1，网W1,且以向量a,p为

邻边的平行四边形的面积为;，则理与口的夹角的取值范

围是_______•

考题9

设4(Q,1),8(2,6),C(4,5)为坐标平面上三点,0为原

点，若滔与谈在说方向上的投影相同，则。与b满足的关

系式为（）.

A.4a-56=3B.5a-46=3

C.4。+53=14D.5a+46=12

考题「10睡好版就；」「；，

已知0,N,P在△48C所在平面内，且I苏I=I笳I=

I屈I,法+讼4•就=0,且/-Pi-PB-pt=P^•司，则

点。,MP依次是△成。的().

A.重心，外心，垂心B,重心,外心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，内心

考题11

已知向量a=(1,2),6=(2,-3).若向量c满足(c+

a)〃九CJ.(Q+方)，则c=().

考题12

对于向量。、入。和实数人，下列命题中为真命题的是

).

--•,r'••'■",-fqv.-

A・若a•"0,则"0或，=。小,,fc

B.若人…则入=。或…:」;

C.若『=此则〃"或。=_2c—确

D.若。［b=a•%则b=%—­.；'

一…“一一

考题13

…二H*涧:廿/y.；,

设向量9=(1向力=(-2,0),则la+R=

已知a与b

(2a+b)的值为.

M晨直角蠹坐标平黑面内黑三辰衣次1团禁；营依二靠望”

§2.5平面向量应用举例

例题1基础题

如图2-5-9所示，平行四边形丝而中，已知

AD=\fAB=2,对角线BD=2求对角线AC的长.

图2—5—9

例题2

求证:ZiABC的三条高交于一点.

例题32011年湖北八校联考题

如图2-5-11,在△由中武忖格P是

BN上的一点，若#=mAB+需斤,则实数m的值

为().

X—B_5_QL3-£)A.

■11,11,11,11图2-5-11

例题41则;—

已知△048是以08为斜边的等腰直角三角形,08=怎/=就+

(1-入)篇，若A2>1,则说•建的取值范围是().

A.(-8,0)(J(2,+8)B.(-oo,-2)U(0,+oo)

C.(-<»,0)U(⑸+8)D.(-8,-75)U(0,+oo)

例题5

如图2-5-13所示,若物体重量为G,被两根

不等长的绳子吊起，绳子两端点4和B保持同一高

度，且绳子与竖直方向的夹角分别为a和仇试研

究拉力居、尸2的大小.

例题6中杷鹿」,「沙了密m泞v

某船以6km/h的速度向东航行,船上有人测得风自北方来.若船速

加倍,则测得风自东北来,求风速大小.

例题82011年湖北重点中学联考

.•,..■'•r><

已知4、5、*平面上不共线的三点,0为2ABC的外心，动点尸满

足"=。二入）°1+（）工谣+2入国AeR），则点p的轨迹_

定过△48（7的（）.

A.内心B.垂心C.重心D.4C边的中点

例题9基础题

求直线1：3x-2y+1=0按向量a=（1,2）平移后的直线方程

例题10中档题：

如图2-5-16所示,重力为G的均匀小球放

在倾角为a的斜面上，球被与斜面夹角为e的木板

挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，

则木板与斜面间的夹角。应为多大？

图2—5-16

例题11中档题

质量m=2.0kg的木块,在平行于斜面向

上的拉力F=10N的作用下,沿斜面角。=