专题02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题） 解析版-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题02利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：求已知函数（不含参）的单调区间 2题型二：已知函数在区间上单调求参数 3题型三：已知函数在区间上存在单调区间求参数 5题型四：已知函数在区间上不单调求参数 7题型五：已知函数在单调区间的个数 9三、专项训练 9一、必备秘籍1、求已知函数（不含参）的单调区间①求的定义域②求③令，解不等式，求单调增区间④令，解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令（或）不跟等号.2、已知函数的递增（递减）区间为，是的两个根3、已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.4、已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调递增区间，有解.②已知在区间上单调递区间减，有解.5、已知函数在区间上不单调，使得（且是变号零点）二、典型题型题型一：求已知函数（不含参）的单调区间1．（2023上·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，，，，，则在上单调递减，在上单调递增.故选：A2．（2023下·陕西汉中·高二校考期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数的定义域为，，因为，可得，解得，可得，因此，函数的单调递减区间为.故选：D.3．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）函数的单调递增区间是（

）A．和 B． C． D．和【答案】D【详解】的定义域为，，令，解得或，故的单调递增区间为和.故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的单调性.【答案】函数在上单调递减，在上单调递增.【详解】由，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.题型二：已知函数在区间上单调求参数1．（2023上·广东汕头·高三统考期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（

）A．B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在递增，所以在上恒成立，则，即在上恒成立，由函数单调递增得，又，所以，所以，所以即，解得，所以的取值范围是.故选：B2．（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】若函数在区间单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立；又函数在上递减，所以恒成立，则故的取值范围是.故选：D.3．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为．【答案】【详解】因为，所以．由的图象在区间上单调递增，可知不等式即在区间上恒成立．令，则，当时，，所以在上单调递减，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故实数a的取值范围为，则a的最小值为．故答案为：4．（2023上·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是：.【答案】【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为.故a的取值范围是.故答案为：5．（2023下·高二课时练习）已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是．【答案】【详解】，令，则或，因为是区间上的单调函数，所以或，解得或，所以的取值范围是.故答案为：.题型三：已知函数在区间上存在单调区间求参数1．（2019下·安徽六安·高二校联考期末）若函数存在增区间，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】C【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.2．（2023下·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是.【答案】【详解】函数，∴，∵函数在上存在单调递增区间，，即有解，令,,∴当时，，即可．故答案为:3．（2020上·北京·高三北师大二附中校考阶段练习）已知函数在上有增区间，则a的取值范围是.【答案】【详解】由题得，因为函数在上有增区间，所以存在使得成立，即成立，因为时，，所以.故答案为：4．（2019下·辽宁沈阳·高二校联考期中）设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；【答案】（1）；【详解】解：（1），当时，，则当时，令，得，所以，当时，在上存在单调递增区间；题型四：已知函数在区间上不单调求参数1．（2021上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在区间上不是单调函数，所以在区间上有解，即在区间上有解．令，则．当时，；当时，．故在上单调递减，在上单调递增．又因为，且当时，所以在区间上单调递增，所以，解得.故选：A2．（2023上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是．【答案】或【详解】因为，所以，又不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有变号零点，则成立，当时，可化为，显然不成立；当时，，因为，，所以或，所以实数m的取值范围为或（因为要有变号零点，故不能取等号），经检验，或满足要求.故答案为：或.3．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】，若存在，在区间上为单调函数，则①在上恒成立，或②在上恒成立．由①得在上恒成立，由于，所以，即在上恒成立，由于函数均为上的单调递减函数，所以单调递减，当时，取最大值，则，又存在，所以，当时，取到最小值-5，所以，即；由②得在上恒成立，则，即，所以存在，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为或，因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为.故答案为：4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由，得，当在内为减函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，当在内为增函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，令，因为在内单调递增，在内单调递减，所以在内的值域为，所以或，所以函数在内单调时，a的取值范围是，故在上不单调时，实数a的取值范围是．故答案为：．题型五：已知函数在单调区间的个数1．（2023·全国·高三专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得函数的定义域为，，要使函数恰有三个单调区间，则有两个不相等的实数根，∴，解得且，故实数a的取值范围为，故选：C.三、专项训练一、单选题1．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】在区间上单调递增等价于在区间上大于等于恒成立，即在上恒成立，即，故是的充分不必要条件，故D正确.故选：D.2．（2023上·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）若函数在具有单调性，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，当函数在单调递增时，恒成立，得，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因此有，当函数在单调递减时，恒成立，得，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，显然无论取何实数，不等式不能恒成立，综上所述，a的取值范围是，故选：C3．（2023上·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）下列函数中，在区间内不单调的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】A选项，在上恒成立，故在上单调递增，A错误；B选项，在上恒成立，故在上单调递减，B错误；C选项，当时，，由于在上单调递增，在上不单调，故在上不单调，C正确；D选项，由于和在上单调递增，故在上单调递增，D错误.故选：C4．（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，可得，记，则，所以在单调递增，所以.故选：C5．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，由题意可知：存在，使得，整理得，且在上单调递减，则，可得，所以实数的取值范围是.故选：A.6．（2023下·广东江门·高二校考期中）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，令，即的单调递增区间为.故选：B7．（2023下·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【详解】，函数在区间单调递增，在区间上恒成立．在上恒成立，而在区间上单调递减，．故选：C二、多选题8．（2023下·高二单元测试）函数的单调减区间可以为（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】由题意得，令，解得或，结合选项可知函数的单调减区间可以为,,故选:AC.9．（2023下·江苏南通·高二统考阶段练习）若函数的单调递增区间为，则可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】A选项，的定义域为，故单调递增区间不可能为，A错误；B选项，定义域为，，令，解得，所以单调递增区间为，B正确；C选项，定义域为，，令，解得或，所以单调递增区间为，，C错误；D选项，定义域为，，令，解得，故单独递增区间为，D正确.故选：BD三、填空题10．（2023上·江苏南通·高三统考期中）已知函数的减区间为，则.【答案】3【详解】由题意可得，，解集为，则.故答案为：311．（2023上·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是.【答案】【详解】函数的定义域为，求导得，依题意，不等式在上有解，等价于在上有解，而，当且仅当时取等号，则，所以实数a的取值范围是.故答案为：．12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】∵函数在区间上不单调，∴在区间内有解，则在内有解，易知函数在上是减函数，∴的值域为，因此实数a的取值范围为.故答案为：13．（2023·安徽·高二校联考竞赛）如