第二十七章相似单元测试卷2023-2024学年人教版九年级数学下册

人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试卷一、单选题1．下列图形中，不属于位似图形的是（）.A． B．C． D．2．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，那么下列结论错误的是（）A． B． C． D．3．某天的同一时刻，甲同学测得1m的测竿在地面上的影长为0.6m，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m。则国旗旗杆的长为(）A．10m B．12m C．14m D．16m4．下列两个图形一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个周长相等的直角三角形C．两个正方形 D．两个等腰梯形5．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两角分别相等的两个三角形相似D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似6．如图，已知正方形和正方形，点、分别为、的中点，连接和，则下列结论中：①；②为等腰三角形；③；④，正确的有多少个？（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，在中，点E为的中点，点F为边上一点，且，连接，，相交于点G，则（）A．6：7 B．7：6 C．3：4 D．4：58．我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（）A．①③ B．①② C．①④ D．②③9．如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对10．如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆、卡槽相切.水平横杆米，米，吊舱半径为10米.放开挡板后，吊舱沿着水平横杆向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米.从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的为止（），吊舱平移的时间为（）A．30秒 B．40秒 C．50秒 D．60秒二、填空题11．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是厘米．12．如图，直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相邻两条直线的距离相等.若直线l8分别与l1，l2，l5，l7相交于点A，B，C，D，则AB：BC：CD为.13．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为．14．如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，若P是⊙C上一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是．三、解答题15．已知，正方形ABCD，点P在对角线BD上，连接AP、CP(如图①)

(1)求证：AP＝CP.

(2)将一直角三角板的直角顶点置于点P处并绕点P旋转，设两直角边分别交DC、BC于E、F，

a.若旋转到图②位置，使PE与PA在一直线上，求证：PF＝PA.

b.若旋转到图③位置且PD∶PB＝2∶3，求PE∶PF的值.16．如图所示，AB是的直径.于点.求证：.17．如图，已知，和相交于点，，，是上一点，：：．（1）求的长；（2）如果的面积为，求的面积．18．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8。求：（1）的值。（2）线段GH的长。

19．如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD=2，DB=3，AE=4，求AC的长.四、综合题20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长.21．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，我们将这种变换记为[α，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[58°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC＝；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度；（直接写出结果）（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[α，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求α和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝2，对△ABC作变换[α，n]得△AB′C′，变换后点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，则n的值为．（直接写出结果）22．锐角中，，，两动点M，N分别在边，上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为x，正方形与公共部分的面积为（1）中边上高；（2）当恰好落在边上时，求x的值（如图1）；（3）当在外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？23．如图，的顶点坐标分别为，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作分别交、于点M、N，连接、.设运动时间为t（秒）.（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；（2）求四边形面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接，当时，求点N到的距离.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、属于位似图形，故此选项不符合题意；

B、属于位似图形，故此选项不符合题意；

C、属于位似图形，故此选项不符合题意；

D、不属于位似图形，故此选项符合题意.

故答案为：D.

【分析】位似的两个图形，不仅仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边平行，据此逐项判断得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】∵DE∥BC、EF∥CD，∴△ADE∽△ABC、△AFE∽△ADC，则==、==，故A正确；∴=，即=，故B正确；由=、=知=，即=，故D正确.故答案为：C.【分析】由DE∥BC、EF∥CD得△ADE∽△ABC、△AFE∽△ADC，据此知==、==，利用比例的基本性质逐一判断可得.3．【答案】D【解析】【解答】∵身高与影长成正比例设国旗旗杆的长为xm.,∴国旗旗杆的长为x=16m.故答案为：D.【分析】利用在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.4．【答案】C【解析】【解答】A.两个菱形，对应边成比例，对应角不一定成相等，故不符合题意；B.两个周长相等的直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；C.两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；D.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意.故答案为：C.

【分析】根据相似图形的判定方法逐项判断即可。5．【答案】C【解析】【解答】解：A．：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．则A选项不符合题意；B：对角线垂直且相等的平行四边形四边形是正方形，则B选项不符合题意；C：两角分别相等的两个三角形相似，则C选项符合题意；D：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．则D选项不符合题意．故答案为：C．【分析】根据相似三角形的判定定理得，两个角分别相等的三角形相似。6．【答案】C【解析】【解答】解：①∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴①不符合题意；②连接，，如图，∵四边形为正方形，∴，∵四边形是正方形，、分别是的中点，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故②符合题意；③∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∵∴∴，故③符合题意；④∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，故④符合题意；故答案为：C．

【分析】①，得出，可判断①的正误；②连接，，证明，可判断②的正误；③先证明，得出，再证明，得出，可判断③的正误；④证明，得出，可判断④的正误。7．【答案】A【解析】【解答】解：如图，延长交于点，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，设，则，∴，∵为的中点，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：A.【分析】延长CF、DA交于点H，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，证明△FAH∽△FBC，根据已知条件结合相似三角形的性质可得，设AH=2a，则BC=AD=3a，由中点的概念可得AE=，则HE=AH+AE=a，证明△GHE∽△GCB，然后根据相似三角形的性质进行计算.8．【答案】C【解析】【分析】根据相似形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案。

【解答】①两个圆，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；

②两个菱形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；

③两个长方形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；

④两个正六边形，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确。

故选C．

【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同。9．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，∴△EAB∽△AFD.故答案为：B.【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，由平行线的性质可得∠B=∠FCE，∠DAF=∠E，由对顶角的性质可得∠AFD=∠EFC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.10．【答案】B【解析】【解答】如图，圆形吊舱初始位置与水平横杆、卡槽相切时的圆心为F，切点分别为P，O，连接FP，FO，CF，延长CF交AB于点G，则∠FPC=∠FOC=90°，∵FP=FO，FC=FC，∴△FPC≌△FOC，∴∠PCF=∠OCF，过点G作GH⊥BC，垂足为H，∵GA⊥AC，∴GA=GH，在直角三角形ABC和直角三角形BGH中，∵AB=60，AC=80，∴tanB=，设GH=4k，则BH=3k，BG==5k，GA=4k，∴AB=60=BG+GA=4k+5k=9k，∴k=，∴GA=，过点F作FM∥AC，交AB于点M，圆心F运动到点Q停止，此时与AC切于点N，与AB切于点M，连接QN，∵∠A=∠QMA=∠QNA=90°，∴四边形AMQN是矩形，∵QM=QN，∴四边形AMQN是正方形，∴MA=MQ=10，MG=GA-MA=-10=，∵FM∥AC，∴△GMF∽△GAC，∴，∴，∴QF=40，∵∠QNP=∠NPF=∠NQF=90°，∴四边形NQFP是矩形，∴NP=QF=40，∴运动时间40÷1=40（秒）故答案为：B.【分析】圆形吊舱初始位置与水平横杆AC、卡槽BC相切时的圆心为F，切点分别为P，O，连接FP，FO，CF，延长CF交AB于点G，则∠FPC=∠FOC=90°，证明△FPC≌△FOC，得到∠PCF=∠OCF，过点G作GH⊥BC，垂足为H，得到GA=GH，求出∠B的正弦函数值，设GH=4k，则BH=3k，则BG=5k，GA=4k，表示出AB，根据AB=60可得k的值，得到GA，过点F作FM∥AC，交AB于点M，圆心F运动到点Q停止，此时与AC切于点N，与AB切于点M，连接QN，则四边形AMQN是正方形，证明△GMF∽△GAC，由相似三角形的性质求出QF，然后根据矩形的性质可得NP=QF=40，据此解答.11．【答案】6-2【解析】【解答】∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP=×4=2-2（厘米），∴较短线段AP=4-（2-2）=6-2（厘米），故答案为：6-2．

【分析】黄金分割比：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。黄金分割比是一个定值，即。

12．【答案】1：3：2【解析】【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相邻两条直线的距离相等，设AB=1，

∴BC=3，CD=2

∴AB：BC：CD=1：3：2.

故答案为：1：3：2.

【分析】利用已知每相邻两条直线的距离相等，设AB=1，可得到BC，CD的长，由此可求出AB：BC：CD的比值.13．【答案】4：1【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：1，故答案为：4：1．【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．14．【答案】【解析】【解答】解：当直线BP与圆相切时，切点在轴的右边，此时最长，则△ABD的面积最大．A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，连接PC，则∠CPB=90°，在直角△BCP中，．∵为的切线，则∠CPB=90°．∴∠DOB=∠CPB=90°又∵∠DBO=∠CBP，∴△OBD∽△PBC，∴，∴．∴，∴S△ABD=AD•OB=．故答案为：【分析】先根据题意得到当直线BP与圆相切时，切点在轴的右边，此时最长，则△ABD的面积最大，进而根据点的坐标得到，连接PC，则∠CPB=90°，根据勾股定理即可求出BP，再结合切线的性质得到∠DOB=∠CPB=90°，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可得到．从而得到AD，再根据三角形的面积即可求解。15．【答案】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线∴ADB=CDB=45∵在正方形ABCD中，AD=DC，且DP是公共边∴ADPCDP∴AP=CP（2）a证明：连接PC由题1知AP=CP又∵AB=CB，BP=BP∴ABPCBP∴BAP=BCP①由题意知FPE=FPA=90∴BPA=FPA-FPB=90-FPB又ABD=CBD=45∴BAP=180-ABD-BPA=180-45-(90-FPB)=45+FPB②又∵CFP是BPF的外角∴CFP=CBD+FBP=45+FBPCFP=BAP②由①②知BCP=CFP∴PF=PC∴PF=PAb解：在图③中过P点分别作BC和CD的垂线，垂足分别为G、H在RTDBC中，BCDC，PGDC则PEBC∴又PG=HC∴又∵HPF=GPE=90-FPG∴HPFGPE∴【解析】【分析】本题难度属于较易，主要考查了全等三角形和相似三角形的相关问题16．【答案】证明：如图所示，连结是的直径，.又，

又【解析】【分析】连接AD，利用直径所对圆周角是直角可证得∠ADB=90°，可推出∠ADB=∠CEB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CBE∽△ABD，利用相似三角形的对应边成比例可证得结论.17．【答案】（1）解：，，和同高，且：：（2）解：，∽，【解析】【分析】（1）先根据求得再利用：：，得出的值，最后利用平行线分线段成比例定理即可求解；

（2）先根据，EF//BD，得出EF//AC，进一步得出利用相似三角形的性质即可得出结论.18．【答案】解：（1）∵EF∥BD，

∴CF：CD=EF：BD，

∵BD=12，EF=8，

∴CF：CD=2：3，

∴DF：CD=1：3，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，

∴DF：AB=1：3；

（2）∵DF∥AB，

∴FH：AH=DF：AB=1：3，

∴AH：AF=3：4，

∵EF∥BD，

∴GH：EF=AH：AF=3：4，

∴GH：8=3：4，

∴GH=6．【解析】【分析】（1）根据EF∥BD，则CF：CD=EF：BD，再利用平行四边形的性质即可得出DF：AB的值；

（2）利用DF∥AB，则FH：AH=DF：AB=1：3，进而得出GH：EF=AH：AF=3：4，求出GH即可．19．【答案】解：∵DE∥BC，∴即．∴EC＝6．∴AC＝AE+EC＝10【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，得出比例式，再将线段的长代入建立关于EC的方程，求出EC的长，然后根据AC＝AE+EC，求出AC即可。20．【答案】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC.∴∠DAC=∠OCA.∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）解：连接BC，则∠ACB=90°.∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB.∴.∴AC2=AD•AB.∵⊙O的半径为3，AD=4，∴AB=6.∴.【解析】【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA，由角平分线的概念可得∠DAC=∠OAC，推出∠DAC=∠OCA，则OC∥AD，据此证明；

（2）连接BC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，证明△ADC∽△ACB，由相似三角形的性质求解即可.21．【答案】（1）5：1；58（2）解：如图2中，∵四边形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′＝90°．∴α＝∠CAC′＝∠BAC′﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°．在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°，∠BAB′＝60°，∴∠AB′B＝30°．∴AB′＝2AB．∴n＝AB（3）【解析】【解答】解：（1）如图1中，延长BC交AC于点O交B′C′的延长线于K．∵A'C'AC＝A'∴△A′B′C′∽△ABC，∴S△A'B'C'∵∠ACB＝∠A′C′B′，∴∠ACO＝∠OC′K，∵∠AOC＝∠KOC′，∴∠K＝∠CAO＝58°故答案为：5：1，58°

（3）如图3中，∵∠BAC＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°，∵四边形AB′C′是平行四边形，∴AB∥B′C′，∴∠B+∠BB′C′＝108°，∵∠AB′C′＝72°，∴∠AB′B＝36°，∴∠BAB′＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠CAB＝∠CB′A＝36°，∴AB＝AC＝CB′，设AB＝AC＝CB′＝m，∴B′B＝B′A＝m+2，∵△ABC∽△B′BA，∴BA：B′B＝BC：BA，∴m2＝2（2+m），∴m＝1+或1﹣（舍弃）∴n＝AB'AB＝＝故答案为【分析】（1）如图1中，延长BC交AC于点O交B′C′的延长线于K，结合已知条件可证A'C'AC＝A'B'AB＝22．【答案】（1）3（2）解：当恰好落在边上时，交于G（如图1）设，∵，∴，∴，即，解得；（3）解：设分别交于E，F，则四边形为矩形．设