2024年广东省深圳市中考数学质检试卷（3月份）（含解析）

2024年广东省深圳市中考数学质检试卷（3月份）一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）2023年“亚运+双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（）A．1.3×106 B．1.3×107 C．0.13×108 D．13×1063．（3分）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）A． B． C． D．5．（3分）“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（）A．200（1+x）2＝728 B．200（1+x）+200（1+x）2＝728 C．200（1+x+x2）＝728 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝7286．（3分）下列计算正确的是（）A．3a2•2a3＝6a6 B．20＝0 C．（4x3）2＝16x6 D．3﹣2＝﹣7．（3分）对一组数据：4、6、﹣4、6、8，描述正确的是（）A．中位数是﹣4 B．平均数是5 C．众数是6 D．方差是78．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD＝2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（）A．10 B．15 C．20 D．259．（3分）A，B两地相距60千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x千米/时（x＜20），则可列方程为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF•PC．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）在实数范围内分解因式：3a2﹣18＝．12．（3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①△（a，b）＝（﹣a，b）；②〇（a，b）＝（﹣a，﹣b）；③Ω（a，b）＝（a，﹣b），按照以上变换例如：△（〇（1，2））＝（1，﹣2），则〇（Ω（3，4））等于．13．（3分）如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为．14．（3分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MNB＝50°，则∠AOM＝．15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为．三.解答题（共7小题，满分55分）16．（5分）计算：．17．（6分）化简求值：，其中x为数据4，5，6，5，3，2的众数．18．（8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：成绩/分频数/人频率60≤x＜70100.170≤x＜8015b80≤x＜90a0.3590≤x≤10040c请根据图表信息解答下列问题：（1）求a，b，c的值；（2）补全频数分布直方图；（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，点F在BC的延长线上，连接DF，∠F＝∠BAC．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使DF∥AC成立，并说明理由；①AB＝AC；②；③∠CAD＝∠ABD；你选的条件是：．20．（8分）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．如图，在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/kg时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？21．（9分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；（3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．22．（11分）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关系是；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．

2024年广东省深圳市中考数学质检试卷（3月份）参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．【解答】解：2024的倒数是；故选：C．2．（3分）2023年“亚运+双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（）A．1.3×106 B．1.3×107 C．0.13×108 D．13×106【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：13000000＝1.3×107，故选：B．3．（3分）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；B、图形是轴对称图形，符合题意；C、图形不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．4．（3分）如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：．故选：C．5．（3分）“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（）A．200（1+x）2＝728 B．200（1+x）+200（1+x）2＝728 C．200（1+x+x2）＝728 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝728【分析】由第一个月进馆人次及进馆人次的月增长率，可得出第二个月进馆200（1+x）人次，第三个月进馆200（1+x）2人次，结合前三个月累计进馆728人次，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵第一个月进馆200人次，且进馆人次的月增长率为x，∴第二个月进馆200（1+x）人次，第三个月进馆200（1+x）2人次．根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝728．故选：D．6．（3分）下列计算正确的是（）A．3a2•2a3＝6a6 B．20＝0 C．（4x3）2＝16x6 D．3﹣2＝﹣【分析】A．根据单项式乘单项式和同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；B．根据零指数幂的性质进行计算，然后判断即可；C．根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；D．根据负指数幂的性质进行计算，然后判断即可．【解答】解：A．∵3a2•2a3＝6a5，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；B．∵20＝1，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；C．∵（4x3）2＝16x6，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；D．∵，∴此选项计算错误，故不符合题意；故选：C．7．（3分）对一组数据：4、6、﹣4、6、8，描述正确的是（）A．中位数是﹣4 B．平均数是5 C．众数是6 D．方差是7【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐项分析判断即可．【解答】解：对一组数据4、6、﹣4、6、8，将这组数据从小到大排列为﹣4，4，6，6，8，最中间的数为6，所以中位数为6，选项A描述错误，不符合题意；其平均数为＝4，选项B描述错误，不符合题意；这组数据中，6出现了2次，出现的次数最多，所以众数为6，选项C描述正确，符合题意；这组数据的方差为[（﹣4﹣4）2+（4﹣4）2+2×（6﹣4）2+（8﹣4）2]＝17.6，故选项D描述错误，不符合题意．故选：C．8．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD＝2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（）A．10 B．15 C．20 D．25【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△ABO∽△DEO，∴＝＝，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，∵△ABC的周长是5，∴△DEF的周长是15，故选：B．9．（3分）A，B两地相距60千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x千米/时（x＜20），则可列方程为（）A． B． C． D．【分析】直接根据题意得出顺水速以及逆水速，进而表示出所用时间即可得出答案．【解答】解：根据题意，得：﹣＝．故选：A．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF•PC．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由正方形和等边三角形的性质得AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC，则∠PEF＝∠PFE＝60°，∠ABE＝∠PCD＝30°，所以PE＝PF，则EB＝FC，所以AE＝EB＝FC，可判断①正确；可求得∠PDC＝∠DPC＝75°，则∠PDE＝15°，可判断②正确；设PB＝PC＝BC＝CD＝2m，作PG⊥BC于点G，PL⊥CD于点L，则PL＝CG＝BG＝m，求得PG＝m，则＝，可判断③正确；再证明△DFH∽△BCH，则＝＝，求得＝＝≠，可判断④错误；再证明△PED∽△DEB，得＝，则DE2＝PE•BE＝PF•CF≠PF•PC，可判断⑤错误，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BPC是等边三角形，∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC，∴∠PEF＝∠PBC＝60°，∠PFE＝∠PCB＝60°，∠ABE＝∠PCD＝90°﹣60°＝30°，∴∠PEF＝∠PFE，AE＝EB，∴PE＝PF，∴PB+PE＝PC+PF，∴EB＝FC，∴AE＝FC，故①正确；∵PC＝DC＝BC，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝∠DPC＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，故②正确；设PB＝PC＝BC＝CD＝2m，作PG⊥BC于点G，PL⊥CD于点L，∵∠PGC＝∠GCL＝∠PLC＝90°，∴四边形PGCL是矩形，∴PL＝CG＝BG＝BC＝m，∴PG＝＝＝m，∴＝＝＝，故③正确；∵＝tan30°＝，∴＝，∵DF∥BC，∴△DFH∽△BCH，∴＝＝，∴＝＝≠，故④错误；∵∠PBC＝60°，∠DBC＝∠BDC＝45°，∴∠DBE＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，∴∠PDE＝∠DBE，∵∠PED＝∠DEB，∴△PED∽△DEB，∴＝，∴DE2＝PE•BE＝PF•CF≠PF•PC，故⑤错误，故选：C．二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）在实数范围内分解因式：3a2﹣18＝3（a+）（a﹣）．【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：3a2﹣18＝3（a2﹣6）＝3（a+）（a﹣）．故答案为：3（a+）（a﹣）．12．（3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①△（a，b）＝（﹣a，b）；②〇（a，b）＝（﹣a，﹣b）；③Ω（a，b）＝（a，﹣b），按照以上变换例如：△（〇（1，2））＝（1，﹣2），则〇（Ω（3，4））等于（﹣3，4）．【分析】根据三种变换规律的特点解答即可．【解答】解：〇（Ω（3，4））＝〇（3，﹣4）＝（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．13．（3分）如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为﹣4．【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可．【解答】解：设点A的坐标为（x，y），∵点A在第二象限，∴x＜0，y＞0，∴S△ABC＝AB•OB＝|x|•|y|＝﹣xy＝2，∴xy＝﹣4，∵A是反比例函数y＝的图象上一点，∴k＝xy＝﹣4，故答案为：﹣4．14．（3分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MNB＝50°，则∠AOM＝25°．【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【解答】解：∵MN∥OA，∴∠AOB＝∠MNB＝50°，由题意可知：OM平分∠AOB，∴．故答案为：25°．15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为2．【分析】以OA为对称轴作等边△AMN，由“SAS”可证△ANC≌△AMB，可得∠AMB＝∠ANC＝60°，由直角三角形的性质可求∠AEN＝30°，EO＝ON＝6，则点C在EN上移动，当OC'⊥EN时，OC'有最小值，即可求解．【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E，∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形，∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM，∴∠BAM＝∠CAN，∴△ANC≌△AMB（SAS），∴∠AMB＝∠ANC＝60°，∴∠ENO＝60°，∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO，∴MO＝NO＝，∵∠ENO＝60°，∠EON＝90°，∴∠AEN＝30°，EO＝ON＝4，∴点C在EN上移动，∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值，此时，O'C＝EO＝2．故答案为：2．三.解答题（共7小题，满分55分）16．（5分）计算：．【分析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝2﹣﹣4+1﹣6×＝2﹣﹣4+1﹣3＝﹣1﹣4．17．（6分）化简求值：，其中x为数据4，5，6，5，3，2的众数．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：＝÷＝÷＝•＝＝，∵x为数据4，5，6，5，3，2的众数，∴x＝5，∴当x＝5时，原式＝＝＝．18．（8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：成绩/分频数/人频率60≤x＜70100.170≤x＜8015b80≤x＜90a0.3590≤x≤10040c请根据图表信息解答下列问题：（1）求a，b，c的值；（2）补全频数分布直方图；（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．【分析】（1）成绩在60≤x＜70的有10人，占调查人数的10%，由频率＝可求出调查人数，进而求出a、b、c的值；（2）根据频数分布表中的频数补全频数分布直方图；（3）从2男1女三人中随机选取2人，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【解答】解：（1）调查人数为：10÷0.1＝100（人），b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；（2）由各组频数补全频数分布直方图如下：（3）用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是＝．19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，点F在BC的延长线上，连接DF，∠F＝∠BAC．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使DF∥AC成立，并说明理由；①AB＝AC；②；③∠CAD＝∠ABD；你选的条件是：②或③．【分析】（1）根据圆周角定理以及切线的判定方法进行解答即可；（2）根据平行线的判定和性质，垂径定理以及切线的性质进行判断即可．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAD＝90°，∵∠BAC＝∠F，∠CAD＝∠DBF，∴∠DBF+∠F＝90°，∴BD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：选②或③，若选②，理由：∵＝，BD是⊙O的直径，∴AC⊥BD，由（1）可知DF⊥BD，∴AC∥DF；若选③，理由：∵∠CAD＝∠ABD，∴∵＝，又∵BD是⊙O的直径，∴AC⊥BD，∵DF⊥BD，∴AC∥DF．20．（8分）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．如图，在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/kg时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据一次函数过（12，36），（14，32）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式，（2）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求．【解答】解：（1）设关系式为y＝kx+b，把（12，36），（17，26）代入得：，解得：k＝﹣2，b＝60，∴y与x的之间的函数关系式为y＝﹣2x+60，自变量的取值范围为：10≤x≤18．（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200，∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x＝20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x＝18时，（元），答：W与x之间的函数关系式为W＝﹣2（x﹣20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．21．（9分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；（3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水不能（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题；（2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；（3）根据OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米，可求得点F的坐标为（5.2，0.7），当x＝5.2时，y＝﹣（5.2﹣2）2+1.6＝＝0.576＜0.7，从而得出答案．【解答】解：（1）如图2，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+1.6，又∵抛物线过点（0，1.2），∴1.2＝4a+1.6，∴a＝﹣，∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1.6，当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+1.6，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴喷出水的最大射程OC为6m；（2）∵对称轴为直线x＝2，∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴点B的坐标为（2，0）；（3）∵OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米，∴点F的坐标为（5.2，