湘教版八年级数学上册知识点总结

湘教版八年级数学上册知识点总结

湘教版初二数学上册

（义务教育教科书）

第1章分式

1.1分式

1.2分式的乘法和除法

1.3整数指数靠

1.4分式的加法和减法

1.5可化为一元一次方程的分式方程

本章复习与测试

第2章三角形

2.1三角形

2.2命题与证明

2.3等腰三角形

2.4线段的垂直平分线

2.5全等三角形

2.6用尺规作三角形

本章复习与测试

第3章实数

3.1平方根

3.2立方根

3.3实数

本章复习与测试

第4章一元一次不等式（组）

41不等式

4.2不等式的基本性质

4.3一元一次不等式的解法

4.4-元一次不等式的应用

45-元一次不等式组

本章复习与测试

第5章二次根式

5.1二次根式

5.2二次根式的乘法和除法

5.3二次根式的加法和减法

本章复习与测试

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第一章：分式

一、课前构建：

认真阅读教材P1-40回顾相关知识：

一分式的定义，

一分式的概念一一分式无意义〃

一分式的值为零P

一分式的性质P

分式一一乘、除运算，

一分式的运算一一整数指数幕的运算。

一加、减运算

一分式方程P

二、课堂点拨：

知识点一：分式的概念

★考点1：分式的定义：

一个终式/除以一个（）,所得的商乙叫做分式。，

,,,_,x-v6x2x3-v2Jx+y一曰八13日

例rl1、下列T式子—=—-1———:-一中，是分式的是_________________。,

2x571x

★考点2:分式无意义：。

f

在分式上中，当g时，分式无意义：g时，分式有意义。，

g

例2、当》=________时，分式k一X没有意义：当x_________时，分式一1二有意义。

2x4-1x+1

★考点3:分式的值为零：，

f

在分式，中，当f且g时，分式的值为0。V

g

例3、若分式忖匚的值为零，则x的值为__________

x+1

知识点二：分式的性质

★考点4:分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘,所得分式与原分式相等。

即（其中为,。）

分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。

即（其中为,0）

分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的

任何两个，分式的值不变。即.

例4、如果把分式二?一中的x和丁都扩大2倍，则分式的值（）。

x+y

A、扩大4倍B、扩大2倍C、不变D、缩小2倍。

例5、根据分式的基本性质，分式二;~可变形为（）小

Q-b

aaaa

A、B、C\一D、------

-a-ba+bo-ba+b

★考点5:最简分式

(1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。

约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。

(2)最简分式：分子与分母没有分式，叫做最简分式。

g：分式运算的最终结果若是分式，一定要化成最简分式。

例6、化简号的结果是()A、土炉B'—C'—D、口.

X2xxx+VX

知识点三：分式的运算

★考点6:分式的加减法

①同分母分式相加减，分母,把分子。

即O

②异分母分式相加减，要先—,即把各个分式的分子与分母都乘适

当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。

即O

g:最简公分母：

①最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。

③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。

4a1+a1—a

-2--+...-----

例7、计算。Tla的结果

是O

411

例8、已知两个分式：4=5=-!-+-^-,其中XH±2,则A与8的关系是(〉

x-4x+22-x

A、相等B、互为倒数C、互为相反数口、人大于出

★考点7：分式的乘除法

乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分

母，然后约去分子与分母的公因式。即。

除：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

即（其中）。

分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母各自乘方。

即（其中是正整数）。

例9、化简_____________o,

Ix-1；fT

例10、先化简:厂『+1+、,卜工,再取一个你认为合理的x值，代入求原式的值。

!x1-1XJx+1

知识点四：分式方程

★考点8:分式方程的解法：

⑴去分母法①去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化

成整式方程；

②解方程：解上面所得的整式方程；

③检验：把整式方程的根代入,看结果是不是零，

使的根是原方程的根，使的根是增根。

⑵换元法也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出

原来的未知数。

例11、解下列方程：

3v42+v

（I）--=g_（-）⑵I_尸担=

2+x3-xx+13-x2

★考点9:分式方程的应用：

分析清楚题目中各个量，找出它们的等量关系。

除了解分式方程必须检验外，还需要检查原方程的根是否符合实际问题

的要求。

例12、曙光中学计划组织学生观看爱国主义教育影片，包场费1500元；

后来实验中学的200名师生也一同观看了影片，商定包场费1500元由两

校按人数均摊，这样曙光中学人均比原来少支付2元，问曙光中学有多少

人观看了影片？

三、随堂巩固：

1、当》=____时，分式二没有意义；当x___时，分式口二无意义。

■Dbd-5

F+4x+3

2、当分式,的值为零时,x=_________。。

忖-1

3、化简之+色勺］=____________…

a-b\ab）

±±123<321,曰111

4、若—IF—=5,—HF—=7,贝I」—IF—=o〃

xyzxy-xyz

三*二=2

5、方程x+1x的解是o

6、某同学解分式方程，得出原方程的解为或。你认为他的解答对吗?请

你作出判断，并说明理由.

23A-

7、当左=____时，方程，一+一；一无解…

x+1x-1-1

8、分式一一■有意义，则x应满足（）"

（x+3）（x+4）

A、x声-4B、x^-3....C.、x卉-4或D、x卉-4且x声-3.

9、化简匕包的结果是（）"

\a-2a+2Ja

As-4B、4..........C>laD、2。+4。

10、若关于X的方程上匚-二-=0有增根，则”的值是（），

x-1x-1

A>3B、2C、1D、一

11、化简与计算：

（广+1A'-1\x+1,\X—3、2x2-x

⑴、I、c---——⑵、（1+———⑶'解方程：二r「一

[X2-3Xxx+3X2-9

12'先化简代数式：+芸卜9i,然后选取一个使原式有意义的X的值代入求值。,

a~~lJ—41

13、先化简再求值:,其中4满足/-0=（）。-

〃+2-2。+1a1-1

第二章：三角形

一、知识构建

—内角、外角,高'角平分线'中线

—任意两边之和大于第三边

-----性质-----

二一内角和定理及其推论

色一——等腰（等边）三角形的性质与判定

形

——线段的垂直平分线

----性质

—全等三角形一

----判定（SAS、ASA、AAS、SSS）

-----用尺视作三角形

逆命题

互

逆I—基本事实，

证明的依据

命一真命题一

魅

定理及其推论

命题一

1—假命题

举反倒

二、知识点拨

★考点1:三角形三边的关系

三角形的任意两边之和第三边。

例1:已知一个三角形的两边长分别是1和5,则第三边C的取值范围是

()

A.1<C<5B.4<C<6C.4<C<6

D.1<C<6

★考点2:三角形的高、角平分线和中线

①从三角形的一个—向它的—所在直线作,和之间

的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高；

②在三角形中，一个角的与这个角的对边相交，这个角的顶点与交

点之间的线段叫做三角形的角平分线；

③在三角形中，连接一个顶点和它的对边—的线段叫做三角形的中

线。

例2:能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是()

A.中线B.高C.角平分线D.以上都不是

★考点3:三角形的内角和

三角形的内角和等于—.

例3、已知AABC中,zA=20°,zB-zC=40°,则NB=。

★考点4:三角形按角分类

三角形中，三个角都是—的三角形叫做锐角三角形；有一个角

是—的三角形叫做直角三角形;有一个角是—的三角形叫做钝角三角

形。

例4:满足下列条件的AABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角

形？

(1)zA=20°,zB=65°,贝SABC是;

(2)，贝SAB—

(3)NA:NB:NC=2:3:4,贝SABC是

★考点5:三角形的外角

①定义：三角形的一边与另一边的所组成的角叫做三角形的外角；

②性质：三角形的一个外角等于.

例5:在"BC中,NA的外角是80°,则NB+NC=()

A.100°B.80°C.60°D.40°

★考点6:命题与逆命题

①一般地，对某一件事情做出的语句(陈述句)叫做命题，命题常

写成"如果……，那么……"的形式，其中"如果"引出的部分是，"那么"

引出的部分是；

②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题

的,那么这两个命题称为,其中一个叫做,另一个

叫做O

例6:下列语句是命题的是()

(1)两点之间，线段最短；(2)请画出两条互相平行的直线；

(3)过直线外一点作已知直线的垂线；(4)如果两个角的和是90度，

那么这两个角互余.

A.(2)(3)B.(3)(4)C.(1)

(2)D.(1)(4)

★考点7:真命题与假命题

正确地命题叫做，错误的命题叫做。

例7、下列命题中，属于假命题的是（）

A.若a-b=O,则a=b=OB.若a-b>0,则a>6

C.若a-b<0,则a<6D.若a-b^O,贝（）atb

★考点8:等腰三角形的性质

定义：的三角形叫做等腰三角形；

①对称性：等腰三角形是图形，对称轴是；

②"三线合一"：等腰三角形—上的高、中线及—的角平分线重合；

③"等边对等角“：等腰三角形的两相等。

例8:等腰三角形的两边长为25cm和12cm,那么它的第三条边长

为；等腰三角形的一个外角是70°,则其底角等于°;等

腰三角形的角平分线、高线和中线的总数有一条。

★考点9:等边三角形的性质

定义：的三角形叫做等边三角形；

①等边三角形的三个内角—，且都等于；

②等边三角形是特殊的—三角形。

例9:等边三角形的对称轴有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

★考点10：等腰（等边）三角形的判定

等腰三角形的判定定理：的三角形是等腰三角形（简称"等

角对等边"）；

等边三角形的判定定理：①三个角都是—的三角形是等边三角形；

②有一个角是的三角形是等边三角形。

例10：下列叙述不正确的是（）

A、有两个内角是70°和40°的三角形是等腰三角形

B、一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

C、有两个内角不相等的三角形一定不是等腰三角形

D、三个外角都相等的三角形是等边三角形

★考点11:线段的垂直平分线

定义：且一条线段的叫做这条线段的垂直平分线；

性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离—;

性质定理的逆定理：到线段两端距离—的点在线段的垂直平分线

上。

例11:在“8U中,边的垂直平分线交ZC于点E,A/86"和

△的周长分别是24和14,则AB=。

★考点12:全等三角形的性质

定义：的两个三角形叫做全等三角形；

性质：全等三角形的对应边—；全等三角形的对应角—。

例12:已知AABSADFE,NA=25°,NC=96°,AC=10,则NBOD的度

数是—,BD的长是_o

★考点13:全等三角形的判定

两边及其分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边"或"SAS”;

两角及其分别相等的两个三角形全等，简写成"角边角"或"ASA”;

两角分别相等且其中一组等角的相等的两个三角形全等，简写成

"角角边"或"AAS”;

分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边"或"SSS"。

三、当堂测评

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）

1.下面各组线段中，能组成三角形的是（）

A.5,6,11B.8,8,16C.4,5,10D.6,9,14

2.在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm,则它的周长

为（）

A.19cmB.19cm和14cmC.11cmD.10cm

3.对于命题"如果N1+N2=90°,那么n1hn2",能说明它是假命题的反例

是（）

A.z1=50°,N2=40°B.z1=50°,z2=50°

C.z1=N2=45°D.z1=40°,N2=40°

4.有一个角是50。的等腰三角形其顶角的度数为（）

A.80°B,50°C.80°或50°D.65.5°

5.下列有关垂直平分线的说法中不正确的是（）

A、垂直平分线是一条射线；B、垂直平分线是一条直线

C、线段的垂直平分线是这条线段的对称轴；

D、到线段的两端点距离相等的点在它的垂直平分线上。

6.如图所示，若NA=32°,NB=45°/C=38°,贝！JNDFE等于（）

A.1200B.115°C.1100D.1050

7.下列条件中，不能判定AABCVA'B'C'的是（）

A、AB=AB,zA=zA',AC=A'C'B、AB=A'B',NA=NA',

NB=NB'

C、AB=AB,NA=NA',zC=zCD、NA=NA',NB=NB',

NC=NC'

8.如右图，在中，AB=AC,AD=DE,乙RID=20°,Z£DC=10°,.

则ND4E的度数为（

A.30°B.40°C.60°D.80°

二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）

9.已知线段AB=8cm，直线CD是AB的垂直平分线，且AB交CD于

E,则AE=cm,zAEC=°o

10请将"同位角相等"改写成'如果…,那么…"的形

式,_____________________

11.一个三角形三个内角度数的比是2：3：4,那么这个三角形是三

角形。

12.已知等腰三角形的一个外角为150。,则它的底角为。

13.等腰三角形的周长为36,腰比底长3,则此等腰三角形的腰长为

,底边长为.

14.已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点

F,贝!UAFE=。

15.如左图，两平面镜ap的夹角6,入射光线AO平行于0,入射到

a上,经两次反射后的出射光线CB平行于a,则角9等于。

16.如右图，在&ABC中，点D是BC上一点，

Z.BAD=80°,.4B=.ID=DC,贝ijNC=

三、解答题（本题共3小题，共36分）

17.在AABC中，zC=90°,DE垂直平分斜边AB,分别交AB、BC于

D、E.若NCAB=NB+30°,求NAEB.

18、如图，&18C中，Z.ACB=9Q°,CZ>_LRd于D,4E平分乙BdC交CD于尸，交BC于

E,求证：ACEF是等腰三角形.，

19、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是

由它抽象出的几何图形，B,C,E在同一条直线上，连结DC.

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有

未标识的字母）；（2）证明：DCJ_BE.

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第三章：实数

一、课前构建:

认真阅读教材P104-126回顾相关知识：

二、课堂点拨：

知识点一：平方根

★考点1：平方根的定义

例1、判断下列说法是否正确；

⑴、一5是25的平方根；()

(2)、25的平方根是一5;()

(3)、0的平方根是0;()

(4)、-1的平方根是±1；()

(5)、(一3)2的平方根是一3;()

(6)、并的值是±4。()

【归纳小结】正数有个平方根，且它们互为；0有且只

有个平方根；负数平方根。只有数才有平方根。

知识点二：平方根和算术平方根的区别与联系

★考点2:利用平方根、算术平方根的概念求值

例2、(1)、0.09的平方根是，算术平方根是_____;1］的平方根是，算术平方根是

(2)、闻的算术平方根为,师=_________。，

(3)、若&工=2,则2x+5的平方根是。"

例3、(-2)z的算术平方根是()A.2B.±2C.-2D.也“

知识点三：立方根

★考点3:求一个数的立方根

例4、求下列各式的值；

⑴、我⑵、V0.064⑶、—德⑷、(肺上

例5、若府"=*-4,则卜的值是。

【归纳小结】一个正数有一个立方根，是—数；负数有一个立方

根，是数；0的立方根是；任何数的立方根有个。

知识点四：无理数

★考点4:无理数的概念

例5、无理数是（)

A、无限循环小数B、无限小数

C、带根号的数D、无限不循环小数

例6、四个数-5,-0.1,,中为无理数的是（）.

1

A.-5B.-0.1C.K

例7、的整数部分是小数部分是

知识点五：实数

★考点5:实数的概念及分类

「兀4.03»

例8、下列各数填入相应的集合内：-5,3.7,

0.2121121112,,、填入相应的集合里。

有理数集合______________________________

无理数集合____________________________________

正实数集合______________________________

负实数集合____________________________________

例9、和数轴上的点一一对应的是（）

A、整数B、有理数C、无理数D、实数

★考点6:实数的相反数、绝对值、倒数的意义

例10：⑴君-2的相反数是,绝对值是.

⑶|3-力+#4_乃了=_______j

★考点7:实数的大小比较

2

例11、如在实数0,-祗-0-2|中最小的是()・

A.一一B.-73C.0D.|-2|•

3

★考点8:实数的加、减、乘、除、乘方运算

例12、计算下列各式的值；

(3)-1-(-2011)°+4^(-2)3(4)'+-^=-|一"炯+SX(-0.125)3.

例13、解方程；

(1)9(3-y)2=4(2)27(x+3)3+125=0

三、随堂巩固：

1、a的算术平方根是5,则a=，它的另一个平方根是

2、若Jx-1-也-x=（x+y）’,则才-y的值_________________。。

3、某数的立方根等于它本身，则这个数是_____________。。

4、若/的算术平方根是2,则。=

5、若JJ-4〃+4=2-a,则。的取值范围是________

6、一相的相反数是,绝对值是。。

7、比较大小：-7-4出。，

8、当xa寸，—当x______时，坐=一:”

10、而在两个连续整数。和b之间，即。<痴<6,那么。、6的值是_____

11、按下面程序计算:输入x=3,则输出的答案是

输入x-A|立方—>|-x__>14-2-答案

-------------------------------O

12、4的算术平方根是（）〃

A.±2B..2C.±72D.及。

13、若使式子J口在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）。

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

14、四个数一5,-0.1,%,有中为无理数的是（那

A.-5B.-0.1C.iD.

15、下列运篁正确的是（）0

A.-（-x+D=x+lB.亚-忑=币“

C.2-2卜2-&D.（a-b-:

16、对于实数。、工给出以下三个判断：，

①若同=|“，则标=近.②若同<|“，则。<6.。

③若。=-6,贝"（一句’=/.其中正确的判断的个数是“

A.3B.2C.1D.（k'

____/声

17、若x,j，x，J'为实数，且卜+2|+后工=0,贝R的值为《），

A.1B.-lC.2D.-23

18、设。=2°力=（-3）'e=舛,3=；二；，则。，卜。6按由小到大的顺序排列正确的是（）.

A.c<a<d<bB.b<d<a<cp

C.a<c<d<bD.b<c<a<d

19、计算：

（1）|-31+（-ip011x（n-3）°-A/27+（^）-2^>

（2）（-严十小岳便-1）°呜『

⑶曰+（加—1）"—o—C）

20、已知：行工+（%+中2_七_4产+4=0,求x_y的立方根。

第四章：一元一次不等式（组）

不等

式

1、不等式的其本性质

①（对称性）a>bob>a

②（传递性）a>b、b>cna>c

③（可加性）a>boa+c>b+c

（同向可加性）a>b,c>d=a+c>b+d

（异向可她性）a>b,c<d^>a-c>b-d

④（可积性）^>b,c>O=>ac>bc

a>btc<O=>ac<bc

⑤（同向正数可乘性）a>h>O.c>tl>O^ac>hd

a>b>OO<c<d=>

（异向正数可除性）t

⑥（平方法则）a>b>Q=>a">b"（neN,fln>\）

⑦（开方法则）">">°=疝>折

1ILc11

。>6L>0n=-<一；“<6<00—>一

⑧（倒数法则）abab

2、几个重要不等式

①2ab（a,'四，（当且仅当a=b时取"="号）.变形公式：2

丝外而（abwR\

②（基本不等式）2「人（当且仅当。=6时取到等号）.

拒

变形公式:4+2y/~aI

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”.

空工疯,h人

③（三个正数的算术一几何平均不等式）3（。、仄c&R）（当且仅当

a=〃=c时取到等号）.

j224-c2

a^-b^ab-hbc^-ca(a9bwR)

（当且仅当a=8=c时取到等号）.

§/++c3>3abe(a>0,b>0,c>0)

（当且仅当〃=b=c时取到等号）.

若时>0,则2+曙2

⑥ab（当仅当a=b时取等号）

若ab<0,则。+々-2

ab（当仅当a=b时取等号）

b<b+m

⑦a〃+机b+〃b,(其中力>。，/n>0,n>0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧节°>00j,凶>aox2>/ox<-asSbc>a\

\x\<a<^>x2<a2<^>-a<x<a.

⑨绝对值三角不等式同一同引"土"设同+瓦

3、几个著名不等式

①平均不等式：a+62\2,,当且仅当a=b时取"="

号）.

（即调和平均4几何平均4算术平均4平方平均）.

变形公式：

2

加4吗4322(a+h)

I2J2a+h>

2

②某平均不等式：

+a,~+…N—（q+…

n-

③二维形式的三角不等式：

Jxj+yj+&2+W2弧―力2）2+（y区„，/e/?）.

④二维形式的柯西不等式：

（。--^d'）＞（ac+bdy（a,b,c,deR）.当且仅当ad=Z»c时,等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

（a：+aj+b；+号）2（%4+4由+^.A）2-

⑥一般形式的柯西不等式：

（aj+a:+.・・+6「）他“+”+.・・+”「）N（q&+。也+…+0也了.

⑦向量形式的柯西不等式：

设。，区是两个向量，则k同'同网,当且仅当为是净向量，或存在实数A,使a="时,

等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设44的4--%，”-^2---为两组实数.c"。?，…，C"是〃1，4,…力”的任一排列，则

。也+地-|+…+岫＜afy+a2c24咕+a2h2+•••+4也•（反序和4乱序和4

顺序和），当且仅当《=%="・=凡或4=4=♦“="时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式：（特例:凸函数、四函数）

若定义在某区间上的函数/（X）,对于定义域中任意两点4*式8*三卜有

〃VJ（』）+/（*2）或/.卢+*心/（』）+/（&）

22八22,则称以）为凸（或凹）函数.

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法：

其它方法有：换无法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

/I、23,1、2

（a+-）*+-＞（a+-）;

①舍去或加上一些项，如242

②将分子或分母放大（缩小）,

—1-<1-----1>-1------2------2---S--1<-----2--

如公4伏-1)'k2A(我+1)'2y[k4+44k

2

kF=(kwN=k>l)

«+y/k+l

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式"?+6x+c>0(或<。)

(aX(),△=〃_4">0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切)，结合原式不等号的方向,

写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

翼>0o〃x)g(x)>0

g(x)

〃x)>n°J/(x)g(x)20

g(x)[g(x)wo(“<或4”时同理,

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

>心>0)oI、

r--/CON。

〃(x)<a(a>0)={

l/(x)<a2

f/(x)>0.

〃(x)>g(x)=，g(x)20或

，/\、r/ri?g(x)<0

]/(K)20

J/(x)<g(x)=<g(x)>0

/W<[gWf

|/(x)>0

J/。)>Jg(X)=<g(X)>0

⑸[〃X)>g(x)

规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.

9、指数不等式的解法：

⑴当。>1时产"">a*"'o/(x)>g(x)

⑵当0<a<1时，a/M>atM=f(x)<g(x)

规律：根据指数函数的性演转化.

10,对数不等式的解法

/(x)>0

log"/(X)>log"g(x)o,g(x)>0

⑴当。>1时，./(x)>g(x)

7(x)>0

log。/(X)>log4g(x)o-g(x)>0

(2)当0<a<l时，[/(x)<g(x)

规律：根据对数函数的性侦转化.

11、含绝对值不等式的解法：

I।[a(a20)

回=，，,人.

⑴定义法：卜“(“<°)

⑵平方法：|/(x)|4|g(x)|o/2(x)4g").

⑶同解变形法，其同解定理有:

,Lrl<a<=>-a<x<a(a>0);

②同>a<=>x>a或t<-a(aN0);

③|/(x)|Mg(x)<=>-g(x)</(x)<g(x)(g(.x)>0)

④l/(x)|NK(x)<=>fix)Ng(x)或/'(x)S-g(x)(g(.r)Z0)

规律：关键是去抻绝对值的符号.

11，合绝对值不等式的解法：

同』…O'.

⑴定义法：卜"("<°)

⑵平方法：I〃x)|4|g(x)|=/2(x)4g2(x).

⑶同解变形法，其同解定理有：

,1卜|Kao-aWa(a>0);

②NNaox2asJcr<-a(a20);

③|/(刈4g(x)o-g(x)<f(x)<g(x)(g(.r)>0)

④I"X)|Zg(x)o/(*)2g(*)S-g(x)(g(.r)>0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含参数的不等式的解法

解膨如a/+力X+C>°且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:

⑴讨论。与0的大小：

⑵讨论△与0的大小：

⑶讨论两根的大小.

14,恒成立问题

⑴不等式以2+6+。>°的解染是全体实数(或恒成立)的条件是：

①、，ja=0时=>A=0,c>0;

«>0

=>

②当aw0时A<0.

⑵不等式ad+加+cv°的解集是全体实数（或恒成立）的条件是:

①当a=0时=占=0,cv0;

a<0

=

②当aw0时A<0.

⑶〃幻〜恒成立o〃x）g<a；

/（x）4。恒成立o4。；

（4）/（x）>。恒成立o/（，）皿>%

./（x）*。恒成立o/（X）"""-a-

15、线性规划问题

⑴二元•次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线^+Sv+C=0的同一侧的所有点的坐标代入人+By+0后所得的实数的符号

相同.所以，在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点（与'/）（如原点），由

//+为'。+C的正负即可判断出"X+向'+C>°（或<°）表示直线哪侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实：选点定区域，常选原点.

法二：根据4丫+母'+C>°（或<°）,观察8的符号与不等式开口的符号，若同号，

4r+W+C>°（或<°）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即:同号

上方，异号下方.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域处各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

⑶利用线性规划求目标函数二=""+坊'（43为常数）的最值：

法一：角点法:

如果目标函数Z=4Y+^I，（X、J'即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则

这股最值都在该公共区域的边界附点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数，得到•组对

应z值，最大的那个数为FI标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：画---移----定----求：

第一步,在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线/。："*+母'=°，平移直线,。（据

可行域，将网线/。平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解（X」）；第四步，将最优解

（X/）代入目标函数z=4r+绮,即可求出最大值或最小位.

第二步中最优解的确定方法：

利用Z的几何意义：'~BX7，8为直线的纵截距.

①若8>°，则使目标函数z=Ax+By所表示亢线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，

使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值：

②若8<0,则使目标函数？=4r+阳，所表示直线的纵截距最大的角点处.工取得用小值，

使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.

⑷常见的耳标函数的类型：

①“截距”型：z=及+W

yy-b

z--z=---;

②“斜率”型：x或x-a

③“距离”型：z=x?+/或z=«+），~;

z=（X-a）?+（y-与2或z=^J（x-a）2+（y-b）2.

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问

题简单化.

不等式

考点一、不等式的概念

1、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，

都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的

集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向

不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

考点三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,且不等式的两

边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数

化为1

考点四、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等

式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解

为空集。

2、一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解

集。

不等式的性质：

①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：

⑴a>bb<a(对称性)

⑵a>b,b>ca>c(传递性)

(3)a>ba+ob+c(ceR)

(4)c>0时，a>bac>bc

c<0时,a>bac<bc0

运算性质有：

(1)a>b,c>da+c>b+do

(2)a>b>0,c>d>0ac>bdo

⑶a>b>0an>bn(nwN,n>1)0

(4)a>b>0>(neN,n>1)o

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：""和""即推出关系

和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变

换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等

式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关

系。

第五章：二次根式

一、课前构建：

认真阅读教材P154-173回顾相关知识：

二、课堂点拨：

知识点一：二次根式的概念

二次根式：式子而叫做二次根式。

★考点1：最简二次根式：①被开方数的因数是—，因式是;

②被开方数中不含____________.

例1：在根式回,J4/+3.J3吐-gx'y,［旧中，最简二次根式有一

★考点2:同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数_______二次根式，叫同类二次根式。~

例2：若最简二次根式动不与每二是同类二次根式，则。=_______。"

知识点二^根式的性质

⑴、(而r=。(a>0)⑵、y/cT=={(a20)

(a40)’

⑷'M

⑶、4ob=4o-4b(a>0,/?>0)(a>0,b>0)^

例3：(1)已知0<x<3,化简J(2x+1『一卜一5|的结果是

(2)化简Jx，-2x+