新高考2021届高三考前保温热身模拟卷数学试题（一）

绝密★启用前AQ1大小分为六级：［0,50）为优，［50,100）为良，［100,150）为轻度污染，［150,200）

新高考2021届高三考前保温热身模拟卷为中度污染，［200,250）为重度污染，［250,300）为严重污染.下面记录了北京市22天

数学试题（一）的空气质量指数，根据图表，卜.列结论错误的是（）

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、

请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

_4

1.设复数z的共规复数为若z=l+i（i为虚数单位），则复数一一三的虚部为

ZA.在北京这22天的空气质量中，按平均数来考查，最后4天的空气质量优于最前面4

A.iB.-iC.1D.-1天的空气质量

2.若集合4=卜|9-3工＜0},8={工*21},则图中阴影部分表示的集合为（）B.在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度

C.在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最差

D.在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有7天

5.“Ovxvl”是的.

x

B.{x|O<x<l}A.必要不充分条件B.充分不必要条件

D.{工10Vxe1或x23}C.既不充分也不必要条件D.充要条件

6.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三

3.如图，函数），=/（x）的图象在点P的切线方程是y=-x+8,则/（5）+/'（5）=

边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已

具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜暴并大斜辕减中斜思，余半之，自乘于上.以

小斜寡乘大斜籍减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文

字写成公式，即S=（）2,其中a、/＞、c分别为内角

5/3sinB

AB、C的对边.若b=2,tanC=则5c面积S的最大值为

1-6cosB

A.3B.75C.60.V2

A.2B.3C.4D.5

4.空气质量指数（简称：AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照7.在平行四边形/WCO中，NA8D=90°，且==若将其沿3。折

起使平面A3。_L平面8cO,则三棱锥A-3DC的外接球的表面积为D.函数g（x）=4/（x）+3x不存在零点

A.27tB.肪C.167rD.4%三、解答题

8.已知加、〃是直线，。、尸是平面，下列命题中正确的选项是12.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R=3400km）

的中心尸为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近

A.若〃?_La,〃ua,则zn_L〃

的点）A到火星表面的距离为800km,远火星点（轨道上离火星表面最远的点）3到

B.若加平行于。，则用平行a内所有直线

火星表面的距离为80000km.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道

C.若mua,〃ua,mlI。,〃///7,则a///

中心。的距离为J拓km时进行变轨，其中。，。分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，

D.a1口,m_L/7,则m//a

求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km）.

二、多选题

9.已知函数/（x）=gsin2x-cos2x,xwR,则（）

A.-2</（x）<2B./J）在区间（0,1）上有1个零点

9

C./（X）的最小正周期为4D.x=§4为/（X）图象的一条对称轴

10.已知4，〃，9成递增等比数列，则在（4%-白）”的展开式中，下列说法正确的

,S.n+]

13.在①25〃=2〃~+a“，②/+4=16且$3+S5=42,③=-^且S7=56

是（）>2〃4"+2

A.二项式系数之和为64这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.

B.各项系数之和为1问题:设数列｛4｝为等差数列，其前〃项和为S”，.数列抄〃｝为等比数列，

C.展开式中二项式系数最大的项是第4项

4=4，4=%.求数列]（+4）的前〃项和

D.展开式中第5项为常数项

11.把方程专+乎=7表示的曲线作为函数y=/（x）的图象，则下列结论正确

14.在△ABC中，角A,氏C的对边分别为a,b,c•，且满足（2Z?-c）cosA-。cosC=0.

（1）求角力的大小；

的有（）

A.>=〃切的图象不经过第一象限⑵若a=5AABC面积为迈，试判断AABC的形状，并说明理由

4

B.“X）在R上单调递增

15.如图，在矩形A8CD中，AB=2AD=2,E为边C£>的中点，以EB为折痕把

C.丁=/（戈）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3△CEB折起，使点C到达点P的位置，且使平面?£B_L平面A8瓦）.

(1)证明：P3_L平面PEA；

(2)求二面角。一以一七的余弦值.

22

16.已知椭圆C：0+与=1(。>匕>0)的四个顶点围成的四边形的面积为46，

a~b

高二

其离心率为!

2(I)写出频率分布直方图(高一)中。的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的

(1)求椭圆。的方程；

样本的方差分别为S；,S；,试比较s；,s；的大小(只要求写出结论)；

(2)过椭圆C的右焦点尸作直线/(工轴除外)与椭圆。交于不同的两点A,B,

(II)估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的

在x轴上是否存在定点使序.而为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不

概率；

存在，说明理由.

(III)由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布其

17.某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别

随机抽取100人，由调杳结果得到如下的频率分布直方图：中"近似为样本平均数天，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X

表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于(14.55,38.45)的人数，求X的数

学期望.

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得Q=x/142.75«11.95

②若Z〜,则P(//-<T<Z</Z+CT)=0.6826,

P(〃-2(rvZv〃+2b)=0.9544

nj—14-2P

18.已知函数/'(工)="比---------lnx(e为自然对数的底数)，，nsR.

x

(I)当〃7=0时，求函数的单调区间和极值;

(II)已知函数g(x)=―'—+lnx在上为增函数，且。€(0,乃)，若在

x-sin0

[Le]上至少存在一个实数%,使得/(xo)>g(x。)成立，求，”的取值范围.

四、填空题

19.若曲线y=V+lnx在点(1,1)处的切线与直线x-a)，+2=0平行，则实数a的值

为.

4

20.已知数列｛4｝满足4”=彳二一且a,=4,S”为数列｛。“｝的前项和，则52020=

z-a”

21.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节

目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的

编排方案共有种.

22.用一个不平行于底面的平面截一个底面直径为6cm的圆柱，得到如图几何体，若

截图椭圆的长轴长为l()cm,这个几何体最短的母线长为6cm,则此几何体的体积为

_______cm3

参考答案

1.D

444(1—

复数——彳=_=+i=其虚部为—1,

z1+z(l+z)(l-z)

故选D.

2.C

分别化简集合可得A={x[0<x<3},B={x|x2l或xW-1},阴影部分为APIS,由交集

定义解出即可

由题,可得A={x|0<x<3},3={%|%21或%4一1},

由图可得阴影部分为Ac5={x[l<x<3}

故选C

点评：

本题考查图示法表示集合的关系,考查交集的定义,考查解不等式,考查运算能力

3.A

在点P处的斜率就是在该点处的导数，/'(5)就是切线y=-x+8斜率，问题得解.

在点P处的斜率就是在该点处的导数，/'(5)就是切线y=-x+8斜率，即/'(5)=-1,

又/⑸=-5+8=3,,-./(5)+r(5)=3-l=2

故选:A.

4.D

由频率分布折线图逐一对四个选项分析即可得出.

因为97>59,51>48,36>29,68>45,所以在北京这22天的空气质量中，按平均

数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A正确；

AQI不低于100的数据有3个：143,225,145,所以在北京这22天的空气质量中，有3

天达到污染程度，即选项B正确；

因为12月29日的AQI为225,为重度污染，该天的空气质量最差，即选项C正确；

AQI在[0,50)的数据有6个：36，47,49，48，29,45,即达到空气质量优的天数有

6天，所以选项D错.

故选：D.

点评：

本题考查频率分布折线图的应用，属于基础题.

5.B

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可

11x2-1

—>%<=>%——<0<=>=----<00x<-1或0<Kl,

XXX

•.•0<Kl=x<-1或

x<-1或0<*<1时，不一定推出0<Kl,

“0<京1”是“4>x”成立的充分不必要条件.

x

故选B.

点评：

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了分式不等式的解法，根据充分条件和必要

条件的定义是解决本题的关键.

6.C

将已知等式进行化简并利用正弦定理可得片6a,代入“三斜求积”公式即可计算得解.

tanC=_P^nB._=sinC,贝屋门仁⑺(sin^osCt-cosjfeinO=Gsin(B+C)=

1—J3cos8cosC

75sinJ,由正弦定理得c=J5a,..”二？，

=^-(-«4+8a2-4)，，当片=4即a=2时，△/回的面积S有最大值为百.

故选C.

点评：

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于中

档题.

7.D

在平行四边形ABC。中，乙480=90°，若将其沿BO折起使平面平面BCD,可

得如图所示的三棱锥A-8DC：

其中，三棱锥A-BOC镶嵌在长方体中，即三棱锥A—8DC的外接球与长方体的外接球相

同.

AB=l,BD=g

外接球的半径为gJF+(扬2+『=1

...三棱锥A-超心的外接球的表面积为47rxi2=4万

故选D.

点睛：本题主要考查三棱锥外接球的表面积的求法.要求外接球的表面积和体积，关键是求

出球的半径，求外接球半径的常用方法有：①若三棱棱两两垂直，则用4A2=/+/+。2

(a,"c为三条棱的长)；②若SAJ•平面ABC(&\=a),则4夫2=4/+/(r为MBC

外接圆的半径)；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.

8.A

利用空间中线线，线面，面面的关系逐一判断.

解：A.若加_La,〃ua,则加和a内的所有直线垂直，有正确；

B.若加平行于a,则，"和a内直线可能平行，也可能异面，错误；

C.若加ua,〃ua,ml1(3,〃//月，没有强调加和〃相交，故不能得出a///7,错误；

D.aLp,mLp,则m//a，也有可能mua,错误，

故选：A.

点评：

本题考查空间中线线，线面，面面的关系的简单判断，是基础题.

9.AC

首先利用辅助角公式化简/(x),再利用正弦函数的性质分别判断四个选项的正误，即可得

正确选项.

因为/（尤）=Gsin2x-cos2x=2sin2x-^\9

对于选项A：因为xwR,所以一2</(x)<2,故选项A正确;

对于选项B：当无£（0,TT）时，2x——€I一~——I,当2x—乙=0或2x—色=7时即

6166J66

TTI7T

X=土或x=——时/(幻=0,所以/(X)在区间(0,万)上有2个零点，故选项B不正确；

1212

对于选项C：/(幻的最小正周期7=&=乃，故选项C正确；

2

27ryrjr22

对于选项口：2*号一言=万+0仕€2)此时左=],所以》=丁不满足对称轴的方程,

不是对称轴，故选项D不正确，

故选：AC.

10.ACD

2

先根据等比数列求出〃的值，再令4x—-尸=2可求二项式系数和，令％=1可求系数和,

yjx

根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，根据展开式的通项公式求第5项.

由4，”,9成递增等比数列可得*=36，则〃=6，

则(4x一主成的二项式系数之和为26=64,A正确；

7x

令x=l,(4X-4)6=26=64,则(4x--^)6的各项系数之和为64,B错误；

7xyJX

(4x-京)6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C正确；

(4x-4)6的展开式中展开式中第5项C：(4x)2(—/)4=15x16x16为常数项，D正确,

yjxyjx

故选:ACD.

点评：

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式,二项式系数的性质，属于基础题.

11.ACD

首先讨论去掉绝对值，并画出函数的图象，直接判断AB,然后数形结合，并结合椭圆和双

曲线的性质判断CD选项.

当x〉0,y>0,方程是工+汇=_1不表示任何曲线，故A正确;

169

2222

当,方程是L一匕=—1,即21一±_=1,

169916

fy2v-2y2

当,方程是一二+匕=-1,即上一2_=i,

169169

2222

当,方程是—工―2L=—1,即乙+乙=1,

169169

如图画出图象

由图判断函数在R上单调递减，故B不正确；

由图判断y=/(x)图象上的点到原点距离的最小值点应在的图象上,

22

即满足需+三=1,设图象上的点P(x,y)

\PO\=^x2+y2

当了=()时取得最小值3,故C正确；

当4/(x)+3x=0,即/(x)=-：x,

3

函数g(x)=4/(x)+3x的零点，就是函数y=/(x)和y=的交点,

22222

而丁二一；x是曲线一看=1，xN0,y<0和看一卷=lx<O,yN。的渐近线，所以没

22

3rv

有交点，由图象可知y=--x和一+」=1,xWO,y〈O没有交点，

4169

所以函数g(x)=4/(x)+3x不存在零点，故D正确.

故选：ACD

点评：

本题考查判断函数的性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是画

出函数的图象，因为函数图象是椭圆和双曲线的一部分，还需结合曲线的性质做出判断.

12.18700km

22

根据题意求出轨道方程为一―+1一=1,设变轨时，探测器位于p(%,%),则

x1+y1=ab=81975.1,结合轨道方程求出P,再利用两点间的距离公式即可求解.

设所求轨道方程为

22_______

-^7+-^-r-=1(〃>b>0),c=y/a2—b2•

a~b~

a+c=80()+34,〃一c=8+34,=438,c=396.

22

于是/=/一=35()28.所以所求轨道方程为——+二一=1.

19184435028

设变轨时，探测器位于。(%,%)，则芯+>；="=81975.1

%；।片二1

19184435028

解方程组，得玉)=239.7,>o=l56.7(由题意).

所以探测器在变轨时与火星表面的距离为-。)2+%―火=187.3.

所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为18700km.

点评：

本题考查了椭圆方程的应用，考查了考生的计算求解能力，属于基础题.

13.见解析

根据选择的条件求出｛为｝的通项，再利用分组求和可得了“.

若选①，由2s“=2/+a“可得=2+q,故a1=2,

又2s2=2x4+%，故2(2+电)=2*4+。2，故%=4,

故等差数列的公差d=4-2=2,故%=2+2(〃-1)=2〃,

所以S,,="(2+2〃)=“(”+]),

〃2,7

所以々=2,4=6,所以等比数列也｝的公比为q=3,故a=2x3'i

1,11

故不+2-+2x3"''+2x3-1

1n〃+1

11一3"1

故片+…++2x^-=3"-一—

n1-3H+1

2a.+6d=164=2

若选②，由题设可得《,解得4

3q+3d+5q+10d=42d=2

同①可得1=3"-——

〃+1

S,1,

若选③，由题设可得丁即生=2q,故d=q,故a“=〃4,

而S]=56=7%,故为=8,故q=2,故=2rl,

同①可得I=3"-——.

n+\

点评：

方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化

为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质

求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题.另外求和

注意根据通项的特征选择合适的求和方法.

7C

14.(1)A=-(2)正三角形，理由见解析.

3;

(1)由正弦定理化简(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0可得2sin5cosA-sin5=0

即可得解;

(2)根据面积关系结合余弦定理即可得解.

(1)由(20-c)cosA-acosC=0,

由正弦定理得(2sinB—sinC)cosA-sinAcosC=0,

A2sinBcosA-sin(A+C)=0,2sinBcosA-sinB=0

1Jl

•：0<B<乃，sin8wO,cosA=],0<A<A=—

(2)。=百，—Z?csinA=^^-,hc=3,

24

由余弦定理/=Z?2+C2-2Z?CCOSA，

3=〃+。2_3，人2+。2=3，be=3

所以b=c=5

所以该三角形为正三角形.

15.(1)证明见解析(2)Ml

11

(1)由AE=BE=6,AB=2可得AELBE,利用平面。石3，平面ABED,可得

AE,平面PEB,则AE_L/>8,由折叠知进而得证；

(2)以8E的中点。为坐标原点，以0P的方向为z轴正方向，过点0分别做AB和AD的

平行线,分别为x轴和y轴,建立如图所示空间直角坐标系O-孙z,分别求得平面AOP的法

向量和平面AEP的法向量,进而利用数量积求解即可

(1)证明：由题意==J5,又A5=2,所以

又平面PEBD平面ABED=,且平面PEB_L平面ABED，所以/IE工平面PEB,

故AE_LPB,又P8_LPE,且A£cPE=£,所以依，平面PE4

(2)以BE的中点。为坐标原点，以0P的方向为z轴正方向，过点0分别做AB和AD的

平行线,分别为工轴和丁轴,建立如图所示空间直角坐标系o-型，

设〃=(玉，X,zJ为平面ADP的法向量，则有

y=0

nAD=0

则《_—，即〈31V2八,可取"=

n-AP-0—X—M-*-----Z]=0

I212-121

设加=(工2，%，22)为平面AEP的法向量,则有

~X2一必=0

m-AE=0

则《—，即〈31V2，可取而=(1,—1

in-AP=0「产一”于2=0

/--\n-tn2^22

所以而="fF

则二面角。一1P4—E余弦值为名后

11

点评：

本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查运算能力

2

16.(1)二f+匕v=1(2)见解析

43

(1)由离心率及2a6=46,结合才=4+占解得a、b,即可求得椭圆。的方程；

(2)由题意可设直线7：x=my+\,代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运

算，将丽•丽用m与X。表示，利用对应系数成比例，即可求得刘，代入得丽•丽为定

值;

2ab=4石22

(1)由，c1得：”=2,人=6所以椭圆方程为三+二=1

e----43

.a2

X2y2

(2)由于直线1过右焦点F(l,0),可设直线1方程为：X=my+1,代入椭圆方程三+乙=1

43

并整理得：(4+3m2)x2-8x+4-12m2=0(或(4+3m‘)y2+6my-9=0)

△=64-(4+3m2)(4-12m2)>0

设A(xi,yi),B(x2,y2),则xbx?是方程①的两个解,

4-12加2-6m-9

由韦达定理得：X|+Xz=------?X1X2=-------Tv+yz="a2-vy20，

4+3〃r4+3〃r4+3m-4yl+3/?r

假设在x轴上存在定点P(x0,0),使万❷丽为定值，贝I：

/、/、/\24—12/—98x0

(x「xo)(X2-X0)+y»2=XiX2+y(,xi+x2)+x0=-------—+------r--------胃+x0

4+3〃z4+3m~4+3加一

22

=-5-l2m2-8x0+4X(/+3*：m2_-5-8x0+4%?+(3x0-12)m

4+3m24+3/n?

由题意，上式为定值，所以应有：3々二12=二5二经之徨

34

即:12XO2-48=-15-24XO+12XO2

解得：xo=一,

8

一_135

此时PA^PB=—-—

64

点评:

本题考查椭圆的标准方程及定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积

的坐标运算，考查计算能力，分类讨论，属于难题.

17.(I)a=O.O15,(II)0.42(III)6.826

(I)根据图中的数据即可判断方差的大小，利用频率总和为1即可求出。的值；

(H)先设设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，事件8：在

高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，根据图形数据可得到它们的概率，

而恰有一人的锻炼时间大于20分钟分两种情况：一种是这个人在高一；另一种是这个人在

高二；再不出它们的概率和即可；

(IH)利用所给的数据分别求出样本平均数亍和样本方差，代入公式即可求出概率和数学期

望.

解：(I)a=0.015,s；>4；

(II)设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，

事件8：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，

事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间大于20分钟，且另一

个不大于20分钟，

则P(A)=0.20+0.10=0.30,

P(8)=0.10+0.20=0.30,

P(C)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.42.

(Ill)x=26.5,由条件得Z〜N(26.5,142.75),

从而P(26.5—11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826,

.•・从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于(14.55,38.45)的概率是0.6826,

根据题意得X~3(10,0.6826),.;EY=10x0.6826=6.826.

点评：

本题考查了概率的计算及正态分布期望值的计算，考查了学生对数据的处理能力和计算能力,

属于一般题.

18.(I)递增区间(O,2e-l),递减区间(〃-1,+s),极大值为一l-ln(2e-l),无极小

值；(H)|~-,+℃

-1J

(I)利用导数求出函数/(x)的单调区间以及极值：

JT

(H)对函数g(x)求导，利用题设条件得出8=5,构造函数尸(x)=/(x)-g(x),分类

讨论m的值，当时，由于尸(x)小于0,则不存在Xoe[l，e]使得了(%)>g(%)成立；

当相>0时，利用导数得出函数F(X)的最大值，由F(x)max=/(e)>。解出m的取值范围.

1—2e

解：(I)m=0,/.f(x)=----------InX,XG(0,+OO),

2口一1一x

:.f\x)=令/'(x)=0得X=2e—1,

x

当xe(O,2-1)时，/'(x)>0,/(x)递增；

当xe(2e-l,+8)时，f(x)<0,/(x)递减，

所以/(x)的递增区间为(0,2e-1),

递减区间为(2e-l,+8),

极大值为/