新高考数学培优(含学生版和教师版)10数列求和方法之错位相减法

专题10数列求和方法之错位相减法

一、单选题

1.已知等比数列仅"｝的前〃项和为S”若$3=7,56=63,则数列｛曲｝的前〃项和为（）

A.-3+（〃+1）x2"B.3+（"+1）x2”

C.1+（”+1）x2"D.1+（〃-1）x2”

二、解答题

2.在公差不为零的等差数列｛《,｝中，前五项和S“=5,且%，4，%依次成等比数列，数列｛2｝的前"

项和T“满足27；+。-1=0（“eN*）.

（1）求凡及“；

（2）设数列｛4•"｝的前〃项和为4,求A..

3.已知数列｛斯｝的前〃项和为S”且gS"=2"-l.

（1）求数列｛”“｝的通项公式,

（2）设函数兀0=（；尸，数列｛瓦｝满足条件6i=A-1）,犬儿+。=1

①求数列｛历,｝的通项公式,

②设金=2，求数列｛◎｝的前〃项和

an

4.数歹ij{4}的前n项和5„=/一4〃(〃GN*），数列｛d｝的前〃项和T“，满足24+"—l=O（〃eN"）.

（1）求生及4；

(2)设数列｛4•〃｝的前〃项和为A.，求A,,并证明：A„<-1.

5.已知数列｛%｝是公差不为零的等差数列，若4=2,且囚、生、％7成等比数列•

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若2=2册，求数列｛4"｝的前”项和S,,.

6.已知数列｛为｝的前〃项和为S”且满足2S〃=3〃〃一3,其中〃

(1)证明：数列｛〃〃｝为等比数列；

(2)设仇=2/1-1,Cn=—,求数列｛c〃｝的前〃项和北?.

7.已知等比数列｛4｝中，4+%=1。，%+4=80.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记£=410g2%,求数列也｝的前〃项和T..

8.已知数列｛«„｝的前〃项和S„=(―g)”.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)设勿=(2〃-1)勺，求数列｛2｝的前〃项和人

(3)若存在正整数〃，使得(机-%)(根-。7)<0成立，求实数加的取值范围.

9.己知数列｛叫满足q=2,%=2(〃+1)可设2=%

nn

(1)求证：数列也｝是等比数列;

（2）求数列｛%｝的前〃项和为S,.

2

10.已知等比数列｛♦“｝（〃eN"）满足a2a3=%，«,+a3=3a2.

（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“〃一数列”，证明：数列｛%｝是—数列”；

（2）记等差数列也｝的前«项和记为Sn,已知仇=9,58=64,求数歹U｛邑_得“｝的前〃项的和T„.

11.已知等比数列｛。“｝的公比4＞（）,且满足q+%=6%，4=4d，数列也,｝的前〃项和S„=妁罗,

nGN*.

（1）求数列｛%｝和｛〃J的通项公式;

.%+2，〃为奇数

（2）设c,=Jd:d+28，求数列｛qj的前2”项和&.

.a也,，〃为偶数

12.已知各项都大于1的数列｛如｝的前〃项和为S”，4sL4〃+1=*：数列｛d｝的前〃项和为及，氏+。=

1.

（1）分别求数列｛3｝和数列｛5｝的通项公式；

（2）设数列｛品｝满足cn—a,ihn,若对任意的"GN*.不等式5（2〃+3d）一2瓦£＞力7（a+c2+c3+…+c”）恒成立，

试求实数2的取值范围.

13.已知等差数列｛4｝的前八项的和为S,,,且4=3,九=55.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）设2啜,求数列也｝的前"项和4•

14.记等比数列｛4｝的前〃项和为S,,已知a“+1=2S,+l（〃eN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

(2)令b“=a"logM，求数列｛瓦｝的前“项和4.

15.已知数列｛%｝的前"项的和为S“,且S“=2%-1.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设〃=一,求数列出｝的前n项和T„.

16.己知数列｛%｝中，％=1,。“+1=""

Q”+3

(1)求证：,是等比数列，并求｛《,｝的通项公式；

(2)数列也｝满足"=(3"-1)玄q,数列也｝的前〃项和为(，若不等式(一1)"4(北+会对一切

〃eN*恒成立，求2的取值范围.

17.已知数列｛”“｝的首项为0,且2a,s+什斯+34.1+2=0.

(1)证明数列｛丁g｝是等差数列，并求｛〃“｝的通项公式；

2"

(2)已知数列｛6｝的前〃项和为S”且々=-----,若不等式(-l)”<S“+3x2向对一切恒成立，求％

4+1

的取值范围.

18.已知等比数列｛〃〃｝的公比大于1,且满足43+45=90,04=21.

(1)求｛如｝的通项公式；

(2)记仇=log3〃〃，求数列｛zS〃+l)｝的前几项和7k

19.已知在等差数列｛q｝中，4+。5=13,其前8项和S8=60.

(1)求数列｛6,｝的通项公式；

(2)设数列出｝满足勿=(%-3>3",求包｝的前〃项和7；.

20.已知等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，S=25,%和%的等差中项为1L

(1)求凡及S“；

⑵设么=3"+D,2”।,an,求数列也｝的前〃项和却

n

21.甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如

下等比数列｛《,｝的前n项和为S,,,已知,

(1)判断£,$2,的关系并给出证明.

4

(2)若弓一色=3,设a=声见|,｛2｝的前〃项和为北，证明7；<].

甲同学记得缺少的条件是首项4的值，乙同学记得缺少的条件是公比g的值，并且他俩都记得第(1)问的

答案是5,S3,S2成等差数列.如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答

此题.

,,+|

22.已知数列｛&｝中，q=2,且满足4用一2an=2(〃eN*).

(1)求证：数列｛墨｝是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)求证：对于数列｛2｝,。+2%+…+=a”的充要条件是bn=.(竺\:.

n

MI1

23.数列｛4｝的前n项和为S“，若6=3,点(S”S,+1)在直y=—/X+〃+1(〃GN*)上.

(1)求证：数列是等差数列，并求｛%｝的通项公式；

(2)若数列圾｝满足勿=。"财"，求数列也｝的前〃项和T.；

24.已知数列｛q｝,也｝也产0,〃eN*),满足6=2仇，%=.

⑴令。,=”，证明：数列｛%｝为等差数列，并求数列｛c,｝的通项公式；

13

(2)若b”=可,证明：a1+a2+a3+---+an<-.

25.已知｛4｝是递增的等差数列,%、%是方程V-12%+32=0的根

(1)求数列｛6,｝的通项公式；

(2)求数列｛4•3"｝的前〃项和7；.

三、填空题

13515

—I---1----F•••H---=

50.求和2222'2".(用数字作答)

专题10数列求和方法之错位相减法

一、单选题

1.已知等比数列｛m｝的前“项和为S”若53=7,56=63,则数列｛〃〃"｝的前〃项和为()

A.-3+(〃+1)x2"B.3+(〃+1)x2”

C.1+(〃+1)x2"D.1+(”-1)x2"

【答案】D

【分析】

利用已知条件列出方程组求解即可得q应，求出数列｛d“｝的通项公式，再利用错位相减法求和即可.

【详解】

设等比数列｛〃“｝的公比为q,易知并1,

q(i7)

两式相除得1+炉=9,解得q=2,

进而可得。尸1,

所以小=。/"“=2%

ni

所以nan=nx2.

设数列｛"小｝的前〃项和为Tn,

则T,,=1x20+2x21+3x22+...+nx2"-',

I23,,

27J,=1X2+2X2+3X2+...+HX2)

1-2"

两式作差得-T“=l+2+22+...+2*5x2"=-----〃x2"=-1+(1-〃)x2",

1-2

故6=1+(〃-1)x2".

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.

二、解答题

2.在公差不为零的等差数列｛q｝中，前五项和S“=5,且%，«4-%依次成等比数列，数列｛包｝的前〃

项和。满足27；+。,,—1=0(〃eN*).

（1）求a,及b.；

（2）设数列｛。,,为“｝的前〃项和为A,，求A”.

1〃一1

【答案】（1）an=2n-5,2=三；（2）-1-^.

【分析】

（1）设等差数列｛%｝的公差为"，利用等差数列的性质结合等比中项的应用，列方程求出公差，进而得出

数列可；当时，由27；+打一1=0可得27；_1+a_|一1=0,两式作差并利用等比数列的通项公式计

算出〃；

（2）利用错位相减法计算出数列｛a,,为“｝的前”项和为A”.

【详解】

（1）设等差数列｛4｝的公差为d，则drO.

因为S5=5%=5,所以%=1；

又死,«4.%依次成等比数列，所以4所以（%+"）2=4-3+44）.

即（1+1）2=1.（1+44）,解得d=O（舍）或d=2,

所以4=4+（〃-3>"=2n-5,即an=2〃一5.

当〃=1时，24+4_1=0即34_1=（）,所以4=g；

当〃N2时，由2r+。“-1=0可得2T“7+bn_!-1=0,

相减得2々+々-%=（），即〃

所以数列｛%｝是首项为4=；,公比g的等比数列，所以2=±.

⑵%也=(2〃-5)母,所以&=(-3>；+(-1)母+13+-.+(2〃-5〉",

则X，=(-3)q+(T).《+…+(2〃-7)9+(2”-5>97，

相减得=-1+2*(*+(+…+")-(2〃-5),击

3

22n—2

--3-7r''

所以4=-1一9.

【点睛】

方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，考查学生计算能力，数列求和的方法如下:

1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可;

2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列

的和；

3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；

4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和.

3.已知数列｛〃”｝的前"项和为S,”且3$"=2"-1.

(1)求数列｛。“｝的通项公式，

1

(2)设函数1x)=(1■尸，数列｛d｝满足条件加=A-1),加用)=

/（A-3）,

①求数列出“｝的通项公式,

b

②设金=",求数列｛盘｝的前〃项和7k

an

【答案】（1）⑥=2","GM；（2）①耳=3〃-1；②4=5一加芋.

2"

【分析】

（1）利用an=S„-S,i（〃N2）及q=R可得通项公式；

（2）①化简关系式，由指数函数性质得数列｛〃』是等差数列，从而得通项公式；

②由错位相减法求和?；.

【详解】

（1）由—S“=2"-1,即S“=2"+i-2,

2

n+iM

当n>1时,an=Sn-Sn-\=（2-2）-（2-2）=2",

当〃=1时,a\=S\=2,满足上式.则有数列｛〃”｝的通项公式为如=23N*；

11

（2）①/2=（万尸，6=2,型〃+i）=_3）・

1F1-1

可得（5）,严一（万）一，

即有儿+|=瓦+3,可得｛儿｝以2首项和3为公差的等差数列，

即有bn=3n-1；

h3n-11111

②Cn=-=—］，前〃项和乙=2・7+5・（7）2+...+（3"-4）・（7）〃-1+（3,2-1）・（7）〃,

；北=2•（；）2+5-（；>+…+（3”-4）-（^）"+（3〃-1）•（；严1,

相减可得，：4=1+3,（；）2+...+3，（；）1+3・（；）"-（3〃-1）,（；严

4（｝1

=1+3-^~2=-^-（3n-l）（-）«+1,

1--

2

化简可得，前〃项和。=5-昔£.

【点睛】

本题考查由5“求明,考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和.数列求和的常用方法：

设数列｛4｝是等差数列，｛"｝是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（

（2）错位相减法：数列｛《/“｝的前n项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列｛—^｝（左为常数，%*0）的前〃项和用裂项相消法；

anan+k

（4）分组（并项）求和法：数列｛pa”+“2｝用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能

用用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足%+4_“,=A（A为常数）的数列，需用倒序相加法求和.

4.数列｛4｝的前〃项和S,="—4M〃eN）数列也｝的前〃项和T“，满足27；+2—l=0（〃eN）

（1）求a“及以；

（2）设数列｛&•"｝的前〃项和为A.，求A”并证明：A,<-1.

1〃一1

【答案】（1）a,,=2n-5,〃=谑；（2）=-1一——,证明见解析.

【分析】

S.,n=1

（1）利用0c可求出凡，由2<+或一1=0可得2ZI+"T-1=（）,两式相减整理可得

电一5,i，“22

么=>,1,从而可得数列也,｝是首项为乙=；,公比q的等比数列,进而可求出么，

（2）先利用错位相法求出A,,,再利用放缩法可证得结论

【详解】

（1）当〃=1时，%=S]=-3；

当〃之2时，an-Sn—Sn_｝=—4九一（〃一+4（/i-l）=2M—5；

%=-3符合上式，所以4=2及一5.

当〃=1时，27；+4一1=0即叫一1=0,所以4=工；

当〃N2时，由2北+2一1=0可得27；T+%T—1=0,

相减得2瓦+bn-3=0，即bn=；%,

所以数列｛2｝是首项为a=；,公比g=g的等比数列，所以a=能.

⑵an也=（2/1-5）~.

所以&=（一3）—+（-1）.盘+1J+…+（2”-5）•最,

贝44=（-3>最+（-1>/+…+（2〃-7）.最+（2〃-5）.击，

相减得[儿=-1+2乂[彘+/+—+?]_（2〃-5>击

所以4=-i—

〃一1

因为〃eN*,所以行120,所以

【点睛】

方法点睛：数列求和的方法通常有:

（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法

5.已知数列｛%｝是公差不为零的等差数列，若4=2,且卬、为、成等比数歹U.

（1）求数列｛%｝的通项公式:

（2）若勿=2册，求数列｛见2｝的前〃项和S„.

【答案】⑴仆=〃+1；⑵S,,=n-2n+2.

【分析】

（1）设等差数列｛凡｝的公差为d（dwO）,利用已知条件得出关于△的方程，求出d的值，利用等差数列

的通项公式可求得数列｛4｝的通项公式；

（2）求得凡勿=（〃+1>2用，然后利用错位相减法可求得S”

【详解】

(1)设等差数列｛4｝的公差为d(dwO),

・.，4、6、《7成等比数列，则即(q+4d『=q(%+16d),

整理得d?—d=0，;dh0,:.d—

因此，«„=«|+(n-l)4/=2+(n-l)xl=«+l；

(2)由⑴可得1也=(“+1)2叫

•.-5„=2-22+3-23+4-24+---+(«+l)-2n+l,①

25„=2-23+3-24+---+n-2,,+l+(n+l)-2,,+2(2).

①一②得_S.=2・22+(2'+24+…+2"M)_(〃+1)2"2=8+^^-^-(n+l)2n+2=-«-

因此，S„=n-2"+2.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

(1)对于等差等比数列，利用公式法直接求解；

(2)对于｛anbn｝型数列，其中｛%｝为等差数列，｛d｝为等比数列，利用错位相减法求和；

(3)对于｛4+4｝型数列，利用分组求和法；

(4)对于＜1:一＞型数列，其中｛4｝是公差为d(d/O)的等差数列，利用裂项相消法求和.

6.已知数列｛〃“｝的前”项和为S”且满足2s“=3%-3,其中"6N*.

(1)证明：数列｛m｝为等比数歹U；

（2）设瓦=2〃-1,Cn=—,求数列｛c〃｝的前〃项和7k

〃+I

【答案】（1）证明见解析；（2）n

【分析】

（1）根据数列的递推关系作差法即可证明；

（2）利用错位相减求和法即可求出答案.

【详解】

（1）因为2s“=34—3,----①

所以当〃=1时，2q=3q-3,解得％=3,

当〃22时，2s“T=3a“t-3,-----②

由①-②并整理得，a„=3«„,,,

由上递推关系得。”>0,所以2=3522）,

an-\

故数列｛%｝是首项为3,公比为3的等比数列,

,,_|W

（2）由（1）得：an=3x3=3,

2/7-1

又因为-1,所以c“=3K，

c1352/7-32n-l

所以（,=§+系+?+…+f+-F—'

1„_1352〃-32«-1

/=?+予+亨+--+下厂+丁丁，

2122222n-l

两式相减t得：—T=­I---\—r+—H----F-----^―

333233343〃3〃”

2n-l

3

n4-1

整理可得：£=1-望

【点睛】

关键点睛：(1)解题关键在于利用递推式得到，2S“=一3和2S„_,=3«„_,-3,利用作差法求出an；(2)

352〃一32〃一1

-§+?+亨+•••+/「+丁

解题关键在于列出,,利用错位相消求和法进行求解，难度属

1„_1352〃-32〃一1

甲=三+三+尹+-十+寸

于中档题

7.已知等比数列｛%｝中，4+%=1。，4+4=8。.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记仇=a„log2an,求数歹ij｛2｝的前〃项和Tn.

【答案】(1)%=2"；⑵2+(〃-1>2叫

【分析】

(1)用等比数列基本量计算表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结

果;

(2)把(1)中求得的结果代入2=a,Jog2a“，求出/，利用错位相减法求出刀,

【详解】

(1)设数列｛%｝的公比为夕,

由题意知：2(a3+2)=a2+a4,

Aq3-2q2+q-2=0,即(q—2乂^+])=0.

：.q=2,q=2,即a“=2.2"-1=2".

(2)6.=〃・2",

23

：.Tn=1.2+2.2+3.2+…+〃・2".①

27；,=1.22+2.23+3.24+•••+(〃-1).2Z,+〃・2"i.②

1234n

①一②得-7；1=2+2+2+2+..-+2-〃・2"+i

=-2-(n-l).2,,+l

7；=2+(〃-1卜2日.

【点睛】

错位相减法求和的方法：如果数列｛4｝是等差数列，也｝是等比数列，求数列｛4也｝的前"项和时，可

采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列｛"｝的公比，然后作差求解；在写“S“”与"qS“”的表达

式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S“-qS“”的表达式.

8.已知数列｛勺｝的前〃项和S.=(-1)n.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设么=(2〃-1)。“，求数列｛包｝的前〃项和7“.

(3)若存在正整数〃，使得(机-4)(〃2-4用)<0成立，求实数阴的取值范围.

_26”+113

【答案】（1）a”=；(2)T=­I-----x(3)-—<m<—

3324

【分析】

（1）利用4=S“_Sn_t（n>2）,求得，注意检验首项.

（2）^,=3（2n-l）（--）n,错位相减法求和得解.

2

33

（3）当2时，若"为奇数，则为=-亍，单调递增；若〃为偶数，则4=方，单调递减，利用数列

单调性得解.

【详解】

(1)因为S“=(-g)",所以当时，

所以4=S,—“=(―夕—(一；严=3.(一夕(〃22),

f1.

——=1

12

因为q=S]=—5，不适合。〃，所以。〃=彳.

2

,7

(2)由题意得当〃=1时，b]=-；,当〃N2时，bn-3(2/2-1)(--^),

所以Z1=济+02+4---kb”=-g+3[3x(—g)2+5x(――)3H---P(2〃-1)x(—g)〃],

令％=3X(」)2+5X(」)3+・・・+(2〃-1)X(J",①

222

则=3X(_L)3+5X(_』)4+…+(2“_1)X(_L)"T,②

2222

331111

由①-②得；=-+2[(--)3+(--)4+•••+(--),,J-(2rt-l)x(--),,+l

242222

*2x-(2n-l)x(-l)"+,

76〃+l

------1-----------x

126

76H+1

所以的“------1-----------

189

所以7=_；+3M”176〃+126n+l

-------1------1-----------x——I-----------x

26333

]3

(3)由题意知巧=-5，当〃上2时，若〃为奇数，则凡=-寸，单调递增;

3

若〃为偶数，则勺=F，单调递减,

所以《<%<%<%<。6<。4<。2，

因为存在正整数〃，使得(加一%)(加一。向)<0成立，

所以当"为奇数时，则a“<0,all+l>0,所以。“<根<。,+1，所以。1<机<。2，

当〃为偶数时，则。“>0,an+i<0,所以。“+|<根<。"，所以4<"2<生，

13

即nn——<机<一.

24

【点睛】

本题考查利用知与S,,的关系求通项及错位相减法求和.

已知S“求巴的三个步骤:(1)先利用a,=S,求出生.(2)用〃一1替换S,中的〃得到一个新的关系，利用

a.=S”—S,i(n>2)便可求出当〃22时an的表达式-⑶对〃=1时的结果进行检验，看是否符合〃22时

a”的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分〃=1与“22两段来写.

错位相减法求和的方法：如果数列｛4｝是等差数列，也“｝是等比数列，求数列｛%・〃“｝的前〃项和时，可

采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列｛〃｝的公比，然后作差求解；在写“5“”与“45“”的表达

式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S“-gS“”的表达式.

9.已知数列｛。“｝满足4=2,an+l=2（限+1）%.设a=%.

n〃

（1）求证：数列也｝是等比数列；

（2）求数列｛q｝的前〃项和为S“.

【答案】（1）证明见解析；（2）邑=（〃-1）2用+2.

【分析】

（1）由递推关系式可得，"=2•2，从而可证明数列｛〃,｝是等比数列；

（2）先由（1）,根据题中条件，求出再利用错位相减法进行求和可得S..

【详解】

（1）由4川=2（〃+1）。可得%=2.4，即2M=2"

nn+\n

则数列｛〃｝是以4=；=2为首项，2为公比的等比数列；

（2）由（1）可得，b"=2"=%,；.a“=n-2",

n

S〃=1x2+2x22+3x2,+...+〃x2"

则有2S〃=lx22+2x23+3x24+.・・+（7t—l）x2〃+〃x2〃M

两式作差得：—s=2+22+23+...+2n-nx2,,+1=2^'"2-nx2n+,=2n+,-2-nx2"+,

"1-2

向+2.

10.已知等比数列｛4｝(〃€N")满足a2a3=%，2(71+a3=3a2.

(1)定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”，证明：数列｛《,｝是数列”；

⑵记等差数列也｝的前〃项和记为S,,,已知凤=9,$8=64,求数列｛&/,,｝的前〃项的和却

【答案】⑴证明见解析;⑵7；,=(4〃—7)2"+7.

【分析】

(1)由等比数列的通项公式求出公比，根据题意证明数列｛《,｝是数列”；

(2)由等差数列的性质求出勿=2〃-1,当q=l时，由等差数列的求和公式求出T“；当q=2时，由错

位相减法求出

【详解】

(1)证明：由题意可设公比为9,则/得：％=1

2q+a闻2=3aq得：q=l或q=2

二数列｛4｝是“A/—数列

(2)设数列色,｝的公差为d

易得：4他+佐)=$8=64得：Z=7

/.d=b5-b4-2,得：hn=2n-1

由(1)知

若g=l,则&=4〃一3

（1+4〃-3）〃2

••T=-------------=2n-n

12

若g=2,则/=2"，bln_xan=（4〃-3）•2"T

,7；,=1x2°+5x2+9x22+---+（4/?-7）2n-2+（4n-3）2,,_|①

27；,=lx2+5x22+9x23+---+（4n-7）2,,-'+（4n-3）2,,@

①一②得：一＜=1x2+5x22+9x2^+…+（4〃一7）2"T+（4〃一3）2"

8（1-2"_|）

—（4〃-3）2"

1-2

7；=（4〃—7）2"+7.

【点睛】

对于“等差乘等比”类型的数列，一般采用错位相减法求数列的和.

11.已知等比数列｛%｝的公比q>0,且满足q+%=6%,%=4。；，数列也J的前〃项和S,,=,

neN*.

（1）求数列｛〃“｝和｛2｝的通项公式;

q+2，”为奇数

（2）设q,=J:〃a8,+2，求数列匕,｝的前2〃项和七.

。也，〃为偶数

浦*/_、25C13〃+4）

【答案】（1）a〃eN*；b=n,neN•（2）—

nn1814（2«+1）9）

【分析】

(1)根据题干已知条件可列出关于首项4与公比4的方程组，解出卬与9的值，即可计算出数列｛q｝的通

S、，n=l

项公式，再根据公式2=〈二。C进行计算可得数列｛a｝的通项公式;

(2)先分〃为奇数和〃为偶数分别计算出数列｛%｝的通项公式，在求前2〃项和时，对奇数项运用裂项相消

法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前2〃项和T2II.

【详解】

rfy

/oa,+a,cj=6a,q~八11

(1)依题意，由4+。2=6%，。4=4抬，可得〈322,因为4＞。，所以解得q=一，q=—，

44=4(qq)22

对于数列｛〃｝：当n=1时，4=，=1,

小CH八ccn(n+l)n(n-l)

当〃..2时，bn==―-----------=

•.•当〃=1时，4=1也满足上式，

:也=n,nGTV*.

(2)由题意及(1),可知:

3a+8,=3〃+81严11

当〃为奇数时,+2n+2

bnbn+2"〃(〃+2)2nx2"(/i+2)x2

当"为偶数时，cn=an-bn=n-

B

令4=。+。3+-・+。2,1，=c2+c4+---+c2n,则

A=G+C3+…+0,1

111111

=-----------1-——-----+•••+-----------------------------

1x2'3x233x235x25(2n-l)x22"-1(2»+l)x22,,+,

1__________]

-lx2'"(2/?+l)x22n+,

________]

-2-(2n+l)x22,'+1'

B=c2+c4+c6+...+c2n=2x(g)2+4x(g)4+6x(g)6+...+2〃x(；)”',

(-)2B=2x(I)4+4x(，成+…+(2〃-2)x(-)2n+2«x(l)2n+2,

22222

两式相减，可得3B=2x(‘A+2x(-L)4+2x(J-+…+2xdf"_2〃x(l)2n+2,

422222

=c，+.••+(g)2"T_2〃X(；)2"2,

=-------------2nx

=--(n+-)x(l)2n+l,

332

...8!(乎-1

T2n=C|+C2+...+I

=(q+。3+…+，2"-i)+(c2+c4+c6+...+C2n)

=A+B

_]_________1________迎气)Y

~2(2/?+l)x22n+1

25(1

184(2〃+1)

【点睛】

关键点点睛：第二问中当“为奇数时，求出％,并对％进行裂项为q,=」京-；一,罚是解题关键,

本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，

转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中

档偏难题.

12.已知各项都大于1的数列｛而｝的前〃项和为S“4s“-4"+1=%2：数列｛儿｝的前〃项和为刀”h,,+T,,=

1.

（1）分别求数列｛3｝和数列｛仇｝的通项公式；

（2）设数列｛ch｝满足cn=anbn,若对任意的“WN*.不等式5（2〃+3儿）一2〃,£>/〃©+。2+。3+—+。”）恒成立，

试求实数7的取值范围.

【答案】（1）勺=2〃+1；（2）A>1.

【分析】

（1）根据S“与%的关系可得a"+1-%=2,以及。N=；加,再利用等差数列的通项公式以及等比数列的

通项公式即可求解.

（2）利用错位相减法求出=《+。2+。3+…+C”，然后再分离参数即可求解.

【详解】

（1）由题可知，♦.•4S“一4〃+l=a；①

.—(〃+1)+1=。②

由②-①得：4«„+,-4=«；+,-^

4

«Ii-«,.+i+4=a；,二(a,+i-2/=a：,

故%+i-4=2或4+|+。“=2，

又：4S“-4〃+1=a；,.1.a{=1(舍)或q=3,

若a“+i+a“=2,则有4+4=2,而4=3,所以々=-1，不满足题意,

所以4用—4,=2,故a“=2〃+l

••."+(=1，•,・〃用+(川=1，

两式相减得n+("<)=2b,l+l-bn=0,

bz=；b",

又a+B[=2伪=i,，4=g，

.••也｝是等比数列，首项为:，公比为

(2)设Mn=q+&+q+…+%

由(1)得A/〃=3x/+5x+7x•^•+•••+(2〃+1)x,

=3x/+5x*+7x/+…+(2"+l)x击,

相减得：~^n=3x—+2x|—7+---|-(2«+l)X—,

22(2-23T)2"

»_2〃+5

・•.M=5------

〃n2"

又=〃(〃+2),

5(An+3bn)—2,bnSn>为?(q+c2+c34---FCH)可化为:

5(An+)—2-^--n(n+2)>5—2n+5

2"2"

151

即一4<------------------1--------------1,

〃(2〃+5)2/7+5

15I

又----------+------二

“(2〃+5)2〃+5

—A«—1,丸21.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了S“与%的关系、数列求和、数列不等式，解题的关键是利用5“与4的关系求出

数列的通项公式，分离参数，考查了计算能力.

13.己知等差数列｛q｝的前〃项的和为S,,且%=3,S.）=55.

（1）求数列｛a,,｝的通项公式;

（2）设包哮,求数歹!|也｝的前n项和T„.

17+2

【答案】（1）an=n-（2）Tn=2----

【分析】

（1）直接根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程求解;

（2）利用错位相减法求和即可.

【详解】

a｝+2d=3,

解：(1)设等差数列｛q｝的公差为d,由题意，得(10(10-1)_

、"2一’

q=1,

解得〈JI

a=1,

所以数列｛4｝的通项公式是4=〃；

(2)由(1)知a=初

ET123n-\n/

叫T+中+声+•••+广+.，①

①式两边同乘以得=/+最+最+…+*"+品，②

①一②，M—-T=—+-T7-+~YH----1--------——

2222232"2,,+|

2

所以北=2—等•

【点睛】

(1)一般地，如果数列｛%｝是等差数列，出“｝是等比数列，求数列｛如力"｝的前〃项和时，可采用错位相减法求

和，一般是和式两边同乘以等比数列｛d｝的公比，然后作差求解.

(2)在写出“SJ与"SJ的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“斗一”广的表达式.

14.记等比数列｛%｝的前〃项和为S,，已知a"+1=2S,+l(〃eN*).

(1)求数列｛q｝的通项公式;

(2)令勿=anlog3an,求数歹ij{2}的前〃项和T„.

邛3

【答案】(1)%=3"，(2)7；,=—(2n-3)+-.

44

【分析】

(1)利用作差思想可得为M=34,进而可得｛%｝的通项公式；

(2)通过(1)求出｛2｝的通项公式，利用错位相减法求其前〃项和即可.

【详解】

(1)当〃=1时，4=2q+1；

当〃..2时，一%=2S“一2S“_|=2。“，即%=34,

所以等比数列｛4“｝的公比是3,所以生=34，即2q+l=3“，得q=l,

1

故数列｛%｝是首项为1，公比为3的等比数列,an=q/i=3"-.

(2)由(I)知，an=3"-',故2=(〃—1)3"T.

则7；=0x30+1x3'+2x32+...+(M-2)x3,-2+(n-l)x3n-1,

37；=0x3i+1X3?+2X33+…+(〃-2)X3"T+(/7-1)X3",

两式相减得，

-27；,=3'+32+33+---+3"T—(〃-1)x3"

3(1-3叫

1-3

=43"r(3-2n)-3-,

22

故北=，3"(2"-3)+屋3

【点睛】

一般地，如果数列｛%｝是等差数列，也“｝是等比数列，求数列｛凡・2｝的前"项和时，可采用错位相减法

求和，一般是和式两边同乘以等比数列｛〃,｝的公比，然后作差求解.

15.已知数列｛《,｝的前〃项的和为S“，且S”=2a“一1.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设a=一，求数列也｝的前〃项和却

an

力+2

【答案】（1）q=2小；⑵T“=4-f

【分析】

⑴根据S,,=2仆一1写出S,-=2a„_,-l（n>2）,然后两式作差结合=4（〃22）证明｛2｝为等

比数列并求解出通项公式；

（2）先根据（1）写出｛〃｝的通项公式，采用错位相减法求和，从而可求解出

【详解】

解：（1）因为5“=2%-1,①

当〃=1时，Sj=26-1,解得q=1；

当〃22时S1-=2a,_1—l,②

①一②，得4,=2。“一2a,即——=2（/z>2）,

an-\

所以数列｛4｝是首项为1，公比为2的等比数列，

从而a,=T-1.

,一n

（2）由（1）知勿=产，

_123n-ln

则nI北=及+凄+齐+…+^1?+产，

—123n-ln

两边同乘以万，侍