高中数学基础知识归纳

"耳耳广东常考数告加但立题型方/州轴

顺德区勒流中学数学高级教师邓先春

整理编写

一、题型解题方法与策略

1、选择题的解法：从解题过程来说，完成选择题的解答必须突出五个环节:“读题-----记号------推理判断--------

比较------选择”

数学选择题的求解，一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；

二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件。

选择题属容易题(个别题为中档题)，解题的基本原则是：“小题不可大做”。

由于选择题提供备选答案，又不要求写出解题过程，因此，出现了一些特有的解题方法，在解选择题是很适用。

2、填空题的解法：它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点。

3、解答题的类型及解法：

(-)三角函数

1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀

确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。

2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并

注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，如tg(a+£)=型空吗的变形

l-tgatg/3

tg<7+tg^=tg(a+j3)(l-tgatg(3),二倍角公式cos2a=cos?a-sin2a=l-2sin2cr=2cos?a-1的变形用

1+cos2a.1-cos2a

cos-2a----------,sin2a----------等。

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3、常用的三角变换

①角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件：

如2a=(a+B)+(a-p)

2B=(a+B)-(a-6)

a=[(a+B)/2]+[(a-6)/2],B=[(a+6)/2]-[(a)/2]

2a=2a/2=(a+B-B)

②函数名称变换：主要是切割化弦、弦切互换、正余弦互换、正余切互换。

③公式的活用

主要有公式的正用、逆用、变形用。通过适当的三角变换，以减少函数种类及项数，降低次数，使一般角化为特

殊角。

注意切割化弦通分、降幕和升幕等方法的使用，充分利用三角函数值的变式，如，l=tan45°,-l=tanl35°,仔二

tan60°,2=cos60°或2=sin30°,

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sinx+昭cosx=2sin(x+3)，创造条件使用公式。

4、三角函数的图像与性质

⑴“五点法”画函数丫=人5汨(3*+。)6£0,3>0)的简图，掌握选取起关键作用的五个点的方法：设X=3x+6,由取

0,n/2,n,3n/2,2n来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图。

⑵掌握函数y=Asin(G>x+4>)的图像与函数y=sinx的图像之间互相交换，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)

后平移也经常出现现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对字母x而言，即图像

变换要看“变量”

起多大变化，而不是“角变化”多少。另注意能以向量的形式表示平移

⑶给出图像确定解析式的题型，有时从寻找“五点法”中的第一个零点(-0/3.0)作为突破口，要从图像的升降情况

找准第一个零点的位置。

⑷求定义域是端究其他性质首先应要考虑的方面之一，既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的

特有属性，例如题中出现tanx,则一定有

x#k+（n/2）（kGZ）,不要遗忘.

⑸求值域离不开三角函数式的的恒等变形，所以要掌握六种三角函数的定义域、值域、单调性，还要熟练掌握形如：

sinx±cosx、sinx,cosx、sin2x+cos2x>sin3x+cos3x

等之间的变换，以及三角公式的正逆用和变形用。

⑹三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法

求解，若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解。判断函数的奇偶性，应首先判定函数定义域关于原

点的对称性。三角函数最小正周期的求法，主要是通过恒等变形转化为基本三角函数类型或形如y=Asin（ax+6）的形

式，另外还有图像和定义法。

⑺函数y=Asin（3x+。）的图像是中心对称图形。其对称中心是图像与x轴的交点，同时也是轴对称图形，对称轴是经

过图像的波峰顶或波谷底且与x轴垂直的直线。

（二）立体几何解答题的解法

[1]空间角的计算

主要步骤；一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。

1.两条异面直线所成的角

①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段

引平行线。

②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现

两条异面直线间的关系。

2.直线和平面所成的角

作出直线和平面所成的角，关键是垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

3.二面角

⑴平面角的作法：

①定义法；

②三垂线定理及其定理法；

③垂面法。

⑵平面角计算法：

①找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算。

②射影面积法:cos=SSJ影/S

[2]空间距离的计算：

1.求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积

相等求出点到直线的距离。

2.求两条异面直线距离，一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长，在不能直接作出公垂线的情况下，可转化

为线面距离求解（这种情形高考不作要求）.

3.求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的

垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知求距离比较困难难时，我们可以

把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离:求直线与平面的

距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

[3]平行、垂直位置关系的转化

（三）概率解答题的解法：

1.（1）等可能性事件的概念也称古典概率，它的特征为：

①每一次试验中所有可能出现的结果是有限的；

②每一个结果出现的可能性是相等的；

⑵等可能性事件概率的计算步骤

①计算一次试验的基本事件的总数n；

②计算事件A包含的基本事件的个数m；

③依公式P（A）=m/n求值。

2.互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件与对立事件都是研究两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要要求这

两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互

斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而非充分条件。

从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交。事件A的对立事件A

所含的组成有集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。

3.互斥事件的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)_

对立事件的概率：P(A+A)=P(A)+P(A)=1

相互独立事件的概率：P(A・B)=P(A)・P(B)

n次独立重复试验中事件A恰好发生k的概率：P„(k)=C„kPk(l-P)-k

4.在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和,

二是先去求此事件的对立事件的概率。

5.在概率解答题中要有必要的文字解释

6、数学期望与方差

(四)数列解答题的解法

1.数列前n项和S.与第n项区的关系：

Si(n=1)

an=(n'2)

2.等差数列的主要性质：

已知{aj,{bj为等差数列,则:

①{kaj,{aj+{bj,{ka#b},(k,b为常数)等仍成等差数列；

②an=a«+(n-m)d(m,nGN+)；

(§)2an-an-m+an+m；

④如果m+n=p+q,贝!Ja«+a„=ap+aq;

⑤如果S„为{a„}的前n项和，则S„,S2n-S„,S3「S2n成等差数列.

⑥在等差数列⑸}中，

若项数为2n,则Sffi-S奇=nd,S苛/S硝=a/an+i;

若项数为2n-l,则S»=nan,S«=(n-l).

an,S2n-i=(2n-l)a„，即a„=S2n-i/2n-l

3.等比数列的主要性质：

已知面},瓜}为等比数列，则:

①{ka0},{a/},{ab。},(kWO,k为常数)等仍成等比数列；

②a»=a.,q"F(m,nGN*)；

③a：=a„F•a-n+m；

④如果m+n=p+q,则a.•①=%•a°;

⑤如果S„为{a„}的前n项和，则S„,S2„-S„,S3「S2n成等比数列.

⑥在等比数歹！J{4}中，n为偶数时，S倍/S/q,n为奇数时，(S奇-a)/S•=q.

⑦特别注意等比数列的前n项和公式及推导方法(错位相减)的应用.

「nai(q=l)

S0=t[a《-q")]/(l-q)(q#l)

4.能用等差、等比数列的定义进行解题。掌握等差、等比数列的通项公式，求和公式的推导方法。

(五)解析几何解答题的解法：

[1]直线和圆

1.①与直线方程特征值(主要指斜率、截距等)的有关问题；

②直线的平行与垂直的条件；

②与距离有关的问题；

③中心对称与轴对称问题。

2.直线与圆的位置关系的综合性试题，数形结合是解题的主导思想，借助“形”的直观性，可以使问题化难不易。

因此，求解直线与圆的问题一定要注意挖掘几何图形的内在几何性质。

[2]直线和圆锥曲线

一、圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质

1.椭圆

⑴完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用。椭圆是平面内到两定点以、F2的距离之和等于常数2a(2a>

|FE|)的动点的轨迹。还有一种定义(圆锥曲线的统一定义)：平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0

Ve<l=的动点轨迹为椭圆，(顺便指出：e>l、e=l时轨迹分别为双曲线和抛物线)。

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⑵椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴。焦点是F(土c,0)时，标准方程为「+2=l(a>b>0);

ab

焦点是F(0,±c)时，标准方程。+=1(a>b>0)o这里隐含此关系体现在△OFB(B为短轴端点)中»

a

⑶深刻理解a、b、c、e、a7c的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何性质。

2.双曲线

⑴类比椭圆，双曲线也有两种定义，两种标准方程形式，同样要重视定义在解题中的运用，要深刻理解几何量a、b、

c、e、a2/c的本质含义及其相互间的关系。

⑵双曲线的渐近线是区别是于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直线(参照课本)。

⑶双曲线=—二=±1(a>0,b>0)隐含了一个附加公式<?=1+招此关系体现在AOAB(A、B分别为实轴、虚轴的

ab

一个端点)中；特别地，当a=b时的双曲线称为等轴(边)双曲线，其离心率为先;两条渐进线互相垂直。

3.抛物线

⑴抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹(FEL)定义指明了抛物线上的点到焦点

与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用。

⑵抛物线方程(标准)有四种形式：y=±2px和x2=±2px(p>0),选择时必须判定开口与对称轴。

⑶掌握几何性质，注意分清2p,p,p/2的几何意义。

［3］、直线与二次曲线的位置关系

1.判断整L与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线L的方程代入曲线C的方程，消去y(也可以消x)得一个关于变

量x的一元方程ax2+bx+c=0.

①当aWO时，则有△>(),L与C相交；△=(),L与C相切；△<(),L与C相离。

②当a=0时，即得到一个一次方程，则L与C相交，且只有一个交点，

此时，若C为双曲线，则L平行于双曲线的渐近线；

若C为抛物线，则L平行于抛物线的对称轴。

应当注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交。

2.关于弦长的计算有弦长公式：_________________________

=++々)2-4/々］=41+，(丫1+丫2了-4yly21

焦点弦的长可以利用焦半径公式，可使计算简化.

涉及与弦的中点有关的问题，除了利用韦达定理外，也可利用“点差法

［4］常见的求轨迹方程的方法有以下几种：

⑴直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式。

⑵待定系数法：由已知条件可以根据定义判断出曲线类型，可用待定系数法设出方程具有形式，转化为求方程而

解决。

⑶代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标(x,y)表示出已知动点的坐标，然后代入已知的

曲线方程。

⑷参数法：通过一个(或多个)中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接

关系便是普通方程。

⑸交轨法；动点是两条动曲线的交点，由x,y满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程。故交轨法也属

参数法。

［5］平面向量知识

(1)平面向量的加减法运算(平行四边形法则，三角形法则)

(2)两向量平行：

(3)两向量垂直：

向量的数量积：(注意向量

(六)函数与不等式及导数

1.函数是高中数学的一条主线，贯穿整个高中数学的始终，因而是高考命题的重点和历久不衰的热点。在“函数”

这部分内容中，复习的重点是会求函数的解析式、定义域及值域；会判断函数的单调性并运用函数的单调性解题;

会求原函数的反函数（包括定义域的确定）；会用指数、对数函数的概念与性质解决相关问题；能综合运动函数知

识解决较复杂问题。灵活运用函数的单调性及用函数知识解决实际问题是复习中的两个难点，要切实掌握。

2.从全国高考试卷看，函数试题进一步创新，试题设计新颖、灵活、思维力度增大，运算量减少，从考试看主要有

以下考查形式和特点：

（1）考查一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数等常见初等函数的图象和性质及应用（10年间每

年必考，其中二次函数及对数函数更为重要）。考查内容主要是关于函数的定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、

周期性、对称性、反函数、图像以及图像的变换。以上纯函数内容的考查也常以选择题、填空题出现，属中档题。

⑵考查函数与方程、不等式、三角、数列、曲线方程、导数（尤其是重视与导数的结合）等知识的交叉渗透及应用,

属中、高档题。

⑶考查以⑴函数为模型的实际应用问题，让考生从数学角度观察事物、阐释现象，分析解决问题，属中档题。

⑷变函数的具体形式抽象形式，用以考查抽象思维水平，以及抽象与具体进行转化的思维能力，可结合在函数的

各种型中进行考查。

3导函数内容的增加

（1）导函数的定义（用极限的观点解释）

⑵多项式函数的导函数公式

⑶导数的几何意义

（4）导数在函数单调性、极值、最值问题中的运用

（七）应用题

解应用题的一般程序

（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.

（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”

是关键的一关

（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过

程.

（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.

3.中学数学中常见应用问题与数学模型

（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.

（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.

（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.

（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决

测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决

二、基本知识点归纳

高中数学基础知识梳理（整理）

数学高考临近，给你提个醒！!

一、集合与简易逻辑

命题：可以判断真假的语句；概念绝对值不等式命题

逻辑联结词：或、且、非；

简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命||—»

题：由简单命题与逻辑联结词构成的命

题。

三种形式：P或q、P且q、非P运算•-元二次不等式充要条件

真假判断：P或q,同假为假，否则为真；P且q,

同真为真，否则为假；非p,真假相反；

原命题：若p则q；逆命题：若q则P；否命题：若rp则飞；逆否命题：若飞则”；

互为逆否的两个命题是等价的。

反证法步骤：假设结论不成立一推出矛盾一假设不成立。

集合知识网络

---->定义►一组对象的全体形成一个集合

——特征卜►确定性、互异性、无序性

----表示法f列举法｛1,2,3,…｝、描述法｛xIP｝

_——*分类卜►有限集、无限集

律」二I-自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集巾

集----»［数集—►

八———，关系f属于W、不属于任、包含于工、真包含于U、集合相等

口-------

---->运算交集|ACB=｛xlxCA且xdB｝；匪宴|AUB=｛xlxCA或xCB｝；

—画第=｛xlxeA且xGU｝,U为全集

---->性质-►ACA：<l>CA；若A屋B,BCC,则AqC；

ACA=AUA=A；AC6=6；AU4)=A；ACB=A=AUB=B=AqB；

AOCyA=4)：AUC〃A=I：Cu(CqA)=A：Cu(AuB)=C^APC^B

——方法卜►韦恩示意图___/C'-'x数轴分析

^|：①区别e与U、U与三、a与｛a｝、小与｛。｝、｛(1,2)｝与｛1,2｝；

②A=B时，A有两种情况：A=6与AW小

③含有n个元素的集合的所有子集的个数为C：+《+...+C；=2"

(a>0)ox>a或x<

ax2+bx+c>0或ax之4-bx+c<0(a#0)：

方程的根一函数草图一观察得解

瓯：含参数的不等式ax2+bx+c>0恒成立问题o含参不等式ax2+bx+c>0的解集是R；

其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、aWO(a<0且△<())两种情况。

二、函数的定义

(1)映射的定义:

(2)一一映射的定义:

上面是映射的是(一)。，是---映射的是(二)。

(3)函数的定义：(4)函数的三要素：定义域，值域，对

应法则。

三、函数的性质

(1)定义域：(2)姿对-值域：

(3)奇偶性(在整个定义域内考虑)

①定义：

②判断方法：I.定义法：步骤：a.求出定义域;

b.判断定义域是否关于原点对称；c.求/(-x)；

d.比较/(-%)与/。)或/(-X)与-/(X)的关系。

II图象法：即根据图象的对称性判别

③已知：“(X)=/(x)g(x)

若非零函数/(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内“(X)为偶函数

若非零函数/(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)为奇函数

④常用的结论：若是奇函数，且Oe定义域，则/(0)=0或/X-1)=—/⑴;

若/(x)是偶函数，则/(—1)=/(I)；反之不然。

常见的奇函数：①y=lg(x+m)②)，=lg匕色

1-x

2

11e'-1Ji-r

③y=④yj=-~9⑥y=J：

22，+l・e'+1|x+2|-2

Tk/T5N岭q,、1+cosx-sinx

非奇非偶函数f(x)=------------------

1+cosx+sinx

(4)单调性(在定义域的某一个子集内考虑)

①定义：

②证明函数单调性的方法：

I.定义法步骤：a.设为,々eA且X]＜；

b.作差/(项)一/。2);

(一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出)

C.判断正负号。

③求单调区间的方法：

a.定义法：b.图象法：c.复合函数)，=/［g(x)］在公共定义域上的单调性：

若f与g的单调性相同，则/［g(x)］为增函数；

若f与g的单调性相反，则/［g(x)］为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

④一些有用的结论：

a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；b.偶函数在其对称区间上的单调性相反;

c.在公共定义域内

增函数/(%)+增函数g(x)是增函数；减函数/(%)+减函数g(x)是减函数；

增函数/*)-减函数g(x)是增函数；减函数/(x)-增函数g(x)是减函数。

⑤掌握函数〃cw0);y=x+2(c>0)的图象和性质；

x+cx+cX

函ax+bh-acaz八

y=---------=QH-------y=x+—(a>0)

x+cx+cX

数(b-ac#O)

定

义

(-00,-c)u(c,+oo)(-oo,0)u(0,+oo)

域

值

(-00,a)u(a,+oo)(-8,-2&]u[2后,+00)

域

奇

偶非奇非偶函数奇函数

性

当b-ac>0时:

在(—°°,—Vo1,［Va,+°°)上

分别在(一8,-c),(c,+oo)

单单调递增；

上单调递减；在［-疯0),(0,行］上单调

调当b-ac<0时：

递增；

分别在(-8,-C),(C,+CO)

性

上单调递增；

(5)函数的周期性

定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使/(x+T)=/(x)恒成立

则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

⑴y=f(x)对xWR时，f(x+a)=f(x—a)或f(x—2a)=f(x)(a>0)恒成立，则y=f(x)是周期为

2a的周期函数；

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为21al的周期函数：

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为41al的周期函数；

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2k一4的周期函数；

(5)尸f(x)的图象关于直线*=*=1)6#1))对称，则函数y=f(x)是周期为2卜-4的周期函数；

(6)y=f(x)对xGR时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=———,则y=f(x)是周期为21al的周期函数；

/(x)

例：(1)若函数/(x)在R上是奇函数，且在(—1,0)上是增函数，且/(x+2)=—/(x)

则①f(x)关于原点、和直线x=l对称:②/(%)的周期为4；

③“X)在(1,2)是减函数(增、减)；

9

④若xe(0,l)时,/(x)=2\则/(log118)=

2

(2)设/(x)是定义在(-00,+00)上，以2为周期的周期函数，且/(x)为偶函数，在区间［2,3］上，

/(x)=—2(x—3)2+4,贝ijxe［0,2］时，/(x)=-2(x-D'+4。

四、函数的图象

1、基本函数的图象：(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函数、(5)对数函数、(6)三角

函数。

2、图象的变换

(1)平移变换

①函数片佝>切的图象是把函数尸的图象沿x轴向左移。个单位得到的；

②函数y=f(x+a),佝0的图象是把函数尸f"的图象沿x轴向右平移同个单位得到的：

③函数y=f(x)+a,佝的图象是把函数k"的图象沿y轴向上平移4个单位得到的:

④函数尸/1㈤3佝金的图象是把函数片F/的图象沿y轴向下平移同个单位得到的。

(2)对称变换

①函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0对称；

函数y=/(x)与函数.y=-/(x)的图象关于直线y=0对称；

函数V=/(x)与函数V=-/(-%)的图象关于坐标原点对称;

②如果函数对于一切xeR,都有那么y=f㈤的图象关于直线x=。对称。

如果函数产片"对于一切xeR,都有那么产¥出)的图象关于直线x=土虫对称。

2

③函数y=/(。+》)与函数)，=/(a-x)的图象关于直线x=0对称。

函数y=/(a+x)与函数y=f®㈤的图象关于直线产(对称

⑦证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上；反之亦然；

⑧曲线Ci：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=—x+a)的对称曲线Cz的方程为f(y—a,*+2)=0(或£(一丫+%-*+2)=0);

⑨曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线G方程为:f(2a—x,2b—y)=0;

(3)伸缩变换

①y=af(x),(a>0)的图象，可将y=/(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原

来的。倍。

②丁二/(ax),(a>0)的图象，可将y=/(x)的图象上的每一点的横坐标伸长(0<a<1)或缩短(a>1)到

原来的L倍。

a

例：(1)已知函数y=/(x)的图象过点(1,1),则/(4-x)的反函数的图象过点

(2)由函数y=g)'的图象，通过怎样的变换得到产，。&x的图象？

五、函数的反函数

1、求反函数的步骤：

①求原函数y=/(x),(xeA)的值域B②把y=/(x)看作方程，解出x=(p(y)；

③x,y互换的y=/(x)的反函数为y=/t(x),(xe8)。

2、注意：(1)定义域上的单调函数必有反函数；(2)奇函数的反函数也是奇函数；(3)定义域为非单元素集的

偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5)丫=仪噂与y=H(x)

互为反函数，设f(反的定义域为A,值域为函则有f[fT(x)]=x(xGB),fYf(x)]=x(xGA).

例1：y=31ogz(l-x),(x>0)的反函数为、._________。

y=1-2予40)

2：已知/。)=/+2》+3,(x20),求y=/(2x-l)的反函数。y=^-y—(x>3)

3：设/(x)=9'—2•3',则f(0)=1。A2。

六、求函数的值域的常用解题方法：

①配方法。如函数)>=》4一/+1的值域，特点是可化为二次函数的形式；

②换元法：如y=J1-2x+x

③单调性；如函数y=2"+log2XxG[l,2]

④利用反函数的思想：如函数y=2-smx

2+sinx

⑤利用函数的图像：如函数y=|x+3|+|x-2|

⑥判别式法(△法)

⑦利用基本不等式：如函数y=,

1+2X+3

⑧利用表达式的几何意义：

如函数y=,2/—6x+9+J2x〉-lOx+17

=y/(x-3)-―厂+—+(x-4)-

⑨.方程k=f(x)有解okGD(D为f(x)的值域)；

⑩.a》f(x)Oa》[f(x)]mx,;aWf(x)OaW[f(x)]

七、函数、方程与不等式

1、(1)log„b=logb"(a>0,a^l,b>0,nSR*);

(2)1ogaN=log”(a>0,a#l,b>0,bWl);

log〃a

(3)1og,b的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4)a108aN=N(a>0,aWl,N>0);

2、”实系数一元二次方程a/+云+，=0有实数解”转化为“△=/-4acN0"，你是否注意到必须aw0；当

"=0时，"方程有解”不能转化为A=b2-4acZ0。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你

是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

3、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次

程实根的分布。

设为为方程fM=0,(a>0)的两个实根。

①若*<m,x2>m,则=f(m)<0；

②当在区间(m,n)内有且只有一个实根时,

o]⑴/(⑼力〃)<0

Q1(2)考虑端点，验证端点。

③当在区间。小〃)内有且只有两个实根时,

④若加<X]<“<p</<q时

o口(M•/(〃)<()

注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。

②注意端点，验证端点。

例：1、对于定义在R上的函数f(x)=C—，若其所有的函数值都不超过1,则m的取值范围[3.+8)。

x+1-------

[a?+(o

2、已知函数y=iog2-^4'的定义域是一切实数，则。e[0,1]

3、若关于x的方程22*+2匚。+a+1=0有实根，贝Ua4-8,2-2⑹。

4、设集合A=k|x2—4x+3<0},B是关于x的不等式组+的解集，试确定。的取值范围，

‘I[x2-2(a+7)x+5<0

使A=8。(1,3都是集合B中两不等式解集中的解，1,3满足两不等式)([-4,-3])

5、已知方程/+用工+〃?+1=。的两个根为一个三角形两内角的正弦值，试求加的取值范围。(将题目转化为方

程有两根在(0,1)上来解)

八、复合函数的性质

复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函

数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集.

复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

(1)单调性规律

如果函数u=g(x)在区间［m,n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间［g(m),g(n)］(或函数),g(m)］)上也是单

调函数，那么

若u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数y=f［g(x)］为增函数；若u=g(x),y=f(u)增减性不同，则y=f［g(x)］

为减函数.

(2)奇偶性规律

若函数g(x),f(x),f［g(x)］的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x),y=f(u)都是奇函数时，y=f［g(x)］是奇函数;

u=g(x),y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=f［g(x)］是偶函数.

数列知识精要

［数列的通项公式］%

［数列的前n项和］S„=al+a2+a3+---+an

［等差数列的概念］

［定义］如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常

数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

即：an-an_x=d(n>2,%W0,qH0)=｛怎｝成等比数列

［等差数列的判定方法］

1.定义法：对于数列｛%｝,若。,用—%=d(常数)，则数列｛%｝是等差数列。

2.等差中项法：对于数列｛%｝,若2。,川=%+%+2,则数列｛%｝是等差数列。

［等差数列的通项公式］

如果等差数列｛%｝的首项是外,公差是d,则等差数列的通项为%=a｛+(〃-l)d。

［说明］:该公式整理后是关于n的一次函数。

［等差数列的前n项和］1.=2.$“=呻+若也"

［说明］对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。

［等差中项］

如果a,A,b成等差数列，那么A叫做〃与b的等差中项。即：A=i或2A=a+b

2

［说明］:在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;

事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

［等差数列的性质］

1.等差数列任意两项间的关系：如果凡是等差数列的第〃项，“是等差数列的第机项，且〃?公差为d,

则有%=am+(n-m)d

2.对于笠差数列｛%｝，若〃+m=p+q，则%+am=ap+aq。

r_____________人____________\

也就是：%+%=%+。,1=。3+%-2=……，如图所示：.'°2'。3,…

散+%-1

3.若数列｛氏｝是等差数列，S“是其前n项的和，keN*,那么凡，S2k-Sk,S3«—S2K成等差数列。如下图

所示：

Q]++..•+Q&+ak+\+•••+Q2k+。2女+1+•••+a3k

、一、_J\-、-,\.、-1

SkS2k~SkS3k-S2k

4.设数列｛%｝是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，S“是前n项的和，则有如下性质：①奇数

项…成等差数列，公差为2d

②偶数项。2，。4，。6”-成等差数列，公差为2d

③若有奇数项2〃+1项，则5奇+；2"+1..（〃+1）=%+1.（〃+1）

C_a2+a2n_的2右js奇+S偶=%+].（2〃+D=（2"+]）4中._n+1

■Jffll=----------〃—%+1•"所以有<ccT——-----

a+a

若有偶数项2〃项，贝口奇\2n-\

2

“2+42”

2

所以有S偶一s奇=（。2一）+（。4一〃3）+…+（“2〃-a2n-\）=

5.若等差数列"｝的前2〃-1项的和为S2,i，等差数列团｝的前2"-1项的和为$21，则?=2。

［等比数列的概念］

［定义］:q-=22,%w0）=｛%｝成等比数歹U

1

［等比中项］

如果在。与8之间插入一个数G,使。，G,。成等比数列，那么G叫做。与。的等比中项。也就是，如果是的等比

中项，那么£=2,即G=ab。

十”，力P—-=一，即u2=CiuO

aG

［等比数列的判定方法］

1.定义法：对于数列｛%｝,若&比=4（qH0）,则数列｛%｝是等比数列。

2.等比中项：对于数列｛%｝,若%%+2。0），则数列｛%｝是等比数列。

［等比数列的通项公式］

如果等比数列｛%）的首项是外,公比是4,则等比数列的通项为%

［等比数列的前n项和］

na、（q=1）

s“==a「a"q①丰口

〔1-qi-q

［等比数列的性质］

1.等比数列任意两项间的关系：如果凡是等比数列的第〃项，6“是等差数列的第九项，且〃?（〃，公比为q,

nn

则有册=amq-

2.对于篁比数列｛%｝,若〃+加=w+v,则•。皿=%,av

也就是：%.%=。2/1=。3-4-2=……。如图所示：。1*2，&/"，册-2，册1,，。

3.若数列｛%｝是等比数列，S“是其前n项的和，kwN*,那么又，S2k-Sk,S3&-S24成等比数列。如下图所示:

ai+a2+a3+---+ak+ak+i+---+a2k+a2k+i+---+a3k

［练习］

1.数列｛a,｝中，为5=1°，45=90，若｛%｝是等差数列，则=；若｛«„｝是等比数列，则。60=

2.在等差数列｛%｝中，若。3+劭+%1+%5+。17=0，则S21=；

3.两个等差数列，它们的前n项和之比为生！，则它们的第9项之比为________；

2/1-1

4.等差数列｛%｝的公差为g,且5必=145,则%+%+%+…+%9=；

5.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和为33,求此数列的中间项；

［数列的通项求法］

(1)等差，等比数列的通项

a,,(n=1)

⑵S”

(3)迭加累加，迭乘累乘

若册一册-1=/(“)，(〃22),若乌~=g(〃)

an-\

财=/(2)，啃3

%?=/(3),”;目⑶