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文档简介

行列式的性质线性代数1要课题.由n

阶行列式的定义可知,当n较大时,用定义计算行列式运算量很大.20阶的行列式,需作1920!次乘法,若用每秒运算亿万次的电脑,也要算一千年才行!何有效地计算行列式,这是我们要解决的一个重例如,计算一个因此如2不仅可以简化行列式的计算,而且对行列式的理

设n

阶行列式为了解决这一问题,需先研究行列式的性质.本节主要介绍行列式的基本性质,运用这些性质,论研究也很重要.3一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记4证明按定义又因为行列式D可表示为5故证毕性质2

互换行列式的两行(列),行列式变号.证明设行列式说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式互换两行得到的,交换i,j两行记为

交换i,j两列记为

6于是则有即当时,当时,7例如推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.证明互换相同的两行,有故证毕8性质3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式.推论

行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.第i行(或列)乘以k,记作ri

k(或ci

k)9例如

证明奇数阶反对称行列式的值为零证明利用性质1,和性质3的推论,得10又例解11性质4

行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.证明12性质5

若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和:例如此性质说明,可以对行列式按某行(列)进行分拆。但是一次只能拆一行(列)。13性质6

把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.例如14例如证明所以原式成立15

性质2,3,6介绍了行列式关于行和列的三交换运算:行交换列交换线性运算:行运算列运算数乘运算:行运算列运算运算、数乘运算,它们分别记为种运算,在本教案中分别称为交换运算、线性16利用上述三种运算可简化行列式的计算,特从而得到行列式的值.就是利用运算ri+krj把行列式化为上三角形行列式,式中许多元素化为0.别是利用运算ri+krj(或ci+kcj

)可以把行列计算行列式常用的一种方法请做练习.17例1二、应用举例计算行列式常用方法:利用运算把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.18解19例2计算阶行列式解将第都加到第一列得20例3

计算阶行列式解将第行都减去第一行得21例4

计算行列式解从第4行开始,后一行减去前一行22例5证明23证明24例6计算2n阶行列式其中未写出的元素为0.25解把D2n中的第2n行依次与第2n

–1行、···、第2行对调(作2n–1次相邻对换),再把第2n列依次与第2n–1列、···、第2列对调,得26根据例题5的结果,有D2n=D2D2(n–1)=(ad–bc)D2(n–1).以此作递推公式,即得D2n=(ad–bc)D2(n–1)

=(ad–bc)2

D2(n–2)

=···

=(ad–bc)n–1

D2

=(ad–bc)n

.27例7

解方程解令左边的行列式为D,从第二行开始,每行减去第一行得28(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.

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