第节行列式的性质

行列式的性质线性代数1要课题．由n

阶行列式的定义可知，当n较大时，用定义计算行列式运算量很大．20阶的行列式，需作1920!次乘法，若用每秒运算亿万次的电脑，也要算一千年才行！何有效地计算行列式，这是我们要解决的一个重例如，计算一个因此如2不仅可以简化行列式的计算，而且对行列式的理

设n

阶行列式为了解决这一问题，需先研究行列式的性质．本节主要介绍行列式的基本性质，运用这些性质，论研究也很重要．3一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记4证明按定义又因为行列式D可表示为5故证毕性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式互换两行得到的,交换i,j两行记为

交换i,j两列记为

6于是则有即当时,当时,7例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有故证毕8性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．第i行(或列)乘以k,记作ri

k(或ci

k)9例如

证明奇数阶反对称行列式的值为零证明利用性质1，和性质3的推论，得10又例解11性质４

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明12性质5

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如此性质说明，可以对行列式按某行(列)进行分拆。但是一次只能拆一行(列)。13性质６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如14例如证明所以原式成立15

性质2，３，６介绍了行列式关于行和列的三交换运算：行交换列交换线性运算：行运算列运算数乘运算：行运算列运算运算、数乘运算，它们分别记为种运算，在本教案中分别称为交换运算、线性16利用上述三种运算可简化行列式的计算，特从而得到行列式的值.就是利用运算ri+krj把行列式化为上三角形行列式,式中许多元素化为0.别是利用运算ri+krj(或ci+kcj

)可以把行列计算行列式常用的一种方法请做练习.17例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．18解19例2计算阶行列式解将第都加到第一列得20例3

计算阶行列式解将第行都减去第一行得21例4

计算行列式解从第4行开始，后一行减去前一行22例5证明23证明24例6计算2n阶行列式其中未写出的元素为0.25解把D2n中的第2n行依次与第2n

–1行、···、第2行对调（作2n–1次相邻对换），再把第2n列依次与第2n–1列、···、第2列对调，得26根据例题5的结果，有D2n=D2D2(n–1)=(ad–bc)D2(n–1).以此作递推公式，即得D2n=(ad–bc)D2(n–1)

=(ad–bc)2

D2(n–2)

=···

=(ad–bc)n–1

D2

=(ad–bc)n

.27例7

解方程解令左边的行列式为D,从第二行开始，每行减去第一行得28(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．