第七讲定积分的应用

第七讲定积分应用定积分的元素法定积分在几何学上的应用一、定积分的元素法一、元素法实施条件二、元素法实施步骤(1)选取积分变量x，确定它的变化区间[a,b];(2)相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]，写出部分量的近似值所求量的元素dU=f(x)dx(3)以dU为被积表达式，在[a,b]上作定积分，得:(1)所求量Ｕ与一个变量x的变化区间[a,b]有关；(2)Ｕ对区间[a,b]具有可加性；(3)部分量的近似值可表示为。平面图形的面积体积平面曲线的弧长Ｏxy二、定积分在几何学上的应用一、直角坐标情形Ｏxy定积分几何应用之一平面图形的面积问题：求由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)>g(x))与直线x=a,x=b(a<b)所围图形的面积。aby=f(x)y=g(x)xx+dx(i)取x为积分变量，则(ii)相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]的小窄条面积近似值，即面积元素(iii)所求面积(i)求交点(ii)相应于[0,1]上任一小区间[x,x+dx]的小窄条面积的近似值，即面积元素(iii)所求面积解

yxo例１

求由抛物线所围图形之面积。xx+dx(i)求交点(ii)相应于[-2,4]上任一小区间[y,y+dy]的小窄条面积的近似值，即面积元素(iii)所求面积解

yxo例２

求由抛物线与直线所围图形面积。yy+dy方法1yxo(i)取x为积分变量，则(ii)面积元素(iii)所求面积方法2比较方法1和方法2知：适当选择积分变量可以简化计算过程。(i)两切线交点为(ii)面积元素(iii)所求面积解yxo练习

求由抛物线及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围图形面积。则点(0,-3)和(3,0)处的切线方程分别为y=4x-3y=-2(x-3)(3/2,3)二、极坐标情形(ii)面积元素(iii)所求面积设由曲线与射线，围成一图形,求该图形的面积。(i)取极角为积分变量，则xo面积元素所求面积例３

求由阿基米得螺线上相应于的一段弧与极轴所围图形面。解xo设曲线弧由参数方程给出，求由这曲线弧所围图形的面积。(i)取t为积分变量，则(iii)所求面积(ii)面积元素三、参数方程情形椭圆参数方程为面积元素所求面积例４

求由椭圆所围图形面。解xyo-aa-bb练习

1.求由曲线所围图形面积。2.求由曲线及所围图形的公共部分的面积xyoaa-a-axS1S2答案

1.所求面积2.所求面积所求面积S1S2Ax体积定积分几何应用之二旋转体：由一平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体。

一、旋转体的体积定直线－旋转轴旋转体体积的计算(i)取x为积分变量，则(ii)相应于[a,b]上任一小区间[x.x+dx]的小旋转体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积旋转轴为x轴：曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体体积。yabxoxx+dx例１

求由连接坐标原点O及P(h,r)的直线及x=h,x轴所围三角形绕x轴所成旋转体之体积。(i)取x为积分变量，则(ii)相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]的小旋转体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积解OP的方程为yxoP(h,r)旋转体体积的计算(i)取y为积分变量，则(ii)相应于[c,d]上任一小区间[y,y+dy]的小旋转体体积近似值，即体积元素(iii)所求体积旋转轴为y轴：曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体体积。yxocddy解:（１）取y为积分变量，则（２）相应于[0,1]上任一小区间[y,y+dy]的体积元素（３）所求体积例２求由曲线

和及x轴所围图形绕y轴旋转所成旋转体的体积。(1,1)yo1x解:（１）旋转轴为x轴体积元素：（２）旋转轴为y轴例３求由曲线和直线所围图形分别绕x轴和y轴旋转而成旋转体的体积。所求体积:体积元素：2yox所求体积：如图，在距坐标原点为x处取一底边长为dx的小曲边梯形ABCD,易知它绕y轴旋转所得的旋转体体积近似值，即体积元素例4证明：由平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为于是,所求体积为：（这是一个底面积为，高为的圆柱体的体积）ABCDxyoab证明解:（１）旋转轴为x轴（２）旋转轴为y轴练习

求由曲线和直线x=1

所围图形分别绕x

轴和

y

轴旋转而成旋转体的体积。所求体积：所求体积：yox1或(1,1/e)(1,e)体积元素：体积定积分几何应用之二二、平行截面面积已知的立体体积若立体不是旋转体，但立体垂直于某定轴的各截面面积已知，该立体体积亦可用定积分计算。１.过点x而垂直于x轴的平面截立体得截口面积为则立体体积为2.过点y而垂直于y轴的平面截立体得截口面积为则立体体积为yocdyB(y)在所围立体上，作平行于坐标面yoz的截面KLMN，由于NM=ML，所以KLMN为正方形，其面积为例5求及两圆柱面所围立体的体积。所求体积:NLMKyozx解:所求立体体积为例6

一平面经过半径为Ｒ的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角（如图）。计算这平面截圆柱体所得立体的体积。如图建立坐标系，则底圆的方程为截面积为xyyxR-RO立体中过点x且垂直于x轴直角的截面为直角三角形，直角边长分别y为及ytana，解一、平面曲线弧长的概念定理：若且均缩为一点时ＡＢＯxy定积分几何应用之三平面曲线的弧长定义：设A、B为曲线弧上两端点，在AB上任取分点光滑曲线弧是可求长的。的极限存在，称此极限为曲线弧的弧长；并称该曲线弧是可求长的。１.直角坐标情形xx+dxdy定积分xyoaby=f(x)曲线弧由方程y=f(x)给出，其中f(x)在[a,b]上具有连续一阶导数，求该曲线(如图)的长度。(i)取x为积分变量,则(iii)所求弧长(ii)弧长元素（弧微分）二、光滑曲线弧长的计算设曲线弧由参数方程给出，其中、在上具有连续导数，求这曲线(i)取t为积分变量，则(iii)所求弧长(ii)弧长元素２参数方程情形的长度。曲线弧由极坐标方程给出，其中在上具有连续导数，利用所求弧长３极坐标情形有求该曲线弧长。解从而弧长元素所求弧长例1求由曲线相应于