第七讲正态分布

第七讲正态分布第一节正态分布一、中心极限定理对于任何变量，不管其分布如何，如果把它们几个加在一起，当n大于一定数之后，那么其和的分布必然接近正态分布。1思考：用生活中的事例来理解中心极限定理2二、正态分布（常态分布、高斯分布）1、分布密度曲线特征：1）曲线是单峰，有一个最高点2）曲线在高峰处有一个对称轴。在轴的左右两边是对称的。（对称轴x=µ）3）曲线无论是向左或向右延伸，都会愈来愈接近横轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐进线。2、正态分布的众值、中位值和均值三者是重叠的。33、正态分布的概率密度

（µ和σ为两个变量）

44、两个参数µ与σ对曲线形态的影响一定：µ增大，图形右移；µ减小，图形左移。但形状不变。µ不变，值改变：σ越小，图形越尖瘦。5µ的影响µ增大，图形右移；µ减小，图形左移。但形状不变。6σ的影响σ越小，图形越尖瘦75、µ与σ的含义µ（数学期望）

σ（标准差）8三、正态曲线下的面积9面积的概率分析10取值区间的概率值任意两点x1x2间的概率为：正态分布的几个典型取值区间的概率值：之间：0.6827之间：0.9545之间：0.9973

（σ为组距）

11第二节标准正态分布一、标准分——Z值：概率密度：当，时因此，标准正态分布可以看作一般正态分布的一个特例。当，时，记做一般正态分布记做，标准分以均值基点，以标准差为度量12某地家庭平均娱乐费支出为120元，标准差为5元，如果某家庭的娱乐费支出为130元，标准分为多少？13二、正态分布和标准正态分布面积之间的对应关系二者分布图的区别只在于对称轴不同，前者以µ为轴，后者以0为轴。三、几个典型取值区间14比较：15例：例1：σ相同而µ不同。学习成绩：甲位于一班，乙位于二班。一班平均成绩80分，二班平均成绩60分，甲成绩80分，乙成绩80分。σ相同，为10，比较二者在班上的成绩。例二：µ相同而σ不同：如果，比较甲、乙的成绩。16社会经济研究中的应用如：比较两地的人口综合素质（全国水平；两地的各指标水平；简化为标准分比较）17第三节标准正态分布表的使用一、查表方法：附表4，1、3、5、7列z的不同取值，2、4、6、8列给出的是对应式的面积1819例：1、已知ξ服从标准正态分布，求1）2）3）2、ξ满足，，求λ值。3、ξ满足，求20第四节常用统计分布一、X2分布（卡方分布）1、设随机变量，，……相互独立，且都服从N(0,1)，其平方和：的分布密度为：当当将其称为自由度为K的X2分布，记做X2(k)21卡方分布图分布图形：随自由度的增加，图形渐趋对称。22性质1如果随机变量，，……相互独立，且服从同一正态分布，则随机变量：

仍然服从自由度为k的X2的平方分布。23性质2：如果随机变量和独立，并且分别服从自由度为K1与K2的X2分布，则其和服从自由度为K1+K2的X2分布。24查表（附表六）求值2526已知：k=10，a=0.05，求X2

0.05(10)=?已知：k=9，a=0.025，求满足p(X2＜X2

1-a)=a中的X2

1-a27二、t分布（学生分布）1、设随机变量与独立，且服从标准正态分布，服从自由度为K的X2的分布，则随机变量t的分布密度为：称之为：自由度为k的t分布28t分布图292、性质：t分布的分布曲线是关于z=0对称的，当k=时，t分布将趋于标准正态分布（当k>30时，分布曲线就差不多相同了）。正态分布是其极限分布。3、查附表5，对不同自由度k及不同的数α（0<α<1)给出满足等式的tα值3031已知：k=10，a=0.05，求t0.05(10)=32三：F分布1、设随机变量与独立，且都服从X2分布，自由度分别为k1及k2。则随机变量的分布密度为：当z>0当F（k1，k2），k1为第一自由度（分子），k2为第二自由度（分母）。33F分布图342、F分布的性质：为非对称分布。3、查附表7，对不同自由度（k1，k2）及不同的数α（0<α<1)，给出了满足等式的Fα值3536另一性质已知：a=0.05，求：F0.95(1015)37第五节大数定理与中心极限定理1、大数定理：研究在什么条件下，随机事件可以转化为不可能事件或必然事件，即阐明大量随机现象平均结果稳定性的一系列定理。2、中心极限定理：研究在什么条件下，随机变量之和的分布可以近似为正态分布，称中心极限定理。38一、切贝谢夫不等式：定义：如果随机变量，有数学期望和方差，则不论的分布如何，对于任何正数，都可以断言，和的绝对离差大于等于的概率，不超过，即或39例：某地进行了收入情况的调查，收入分布不清楚，但知道平均收入为80元，标准差为10元，问60—100元之间的概率为多少？40二、贝努里大数定理1、定义：设m是n次独立观察中事件A出现的次数，而p是事件A在每次观察中出现的概率。那么，对于任何一个正数，有2、含义：在相同条件下进行多次观察时，随机事件的频率有接近其概率的趋势。意义：为用抽样成数来估计总体成数p奠定了理论基础。41三、切贝谢夫大数定理1、定义：设随机变量，…是相互独立服从同一分布，并且有数学期望及方差，那么对于任何一个正数，有：为，…n个随即变量的平均值2、含义：当实验次数n足够大时，n个随机变量的平均值与单个随机变量的数学期望的差可以任意的小，这个事实以接近于1的很大概率来说是正确的，即趋近于数学期望3、实际:意义可以用抽样的均值做为总体均值的近似值。42四、中心极限定理1、表述方式：设，，…