概率论与数理统计课后习题答案-徐雅静版

习题答案

第1章

三、解答题

1.设尸(/3)=0,则下列说法哪些是正确的？

(1)4和3不相容；

(2)4和8相容；

(3)/3是不可能事件；

(4)AB不一定是不可能事件；

(5)尸⑷=0或尸⑻=0

(6)P(A-B)=PQ4)

解:(4)(6)正确.

2.设4,3是两事件，且P(/)=0.6,P(B)=0.7,问：

(1)在什么条件下取到最大值，最大值是多少？

(2)在什么条件下尸(/B)取到最小值，最小值是多少？

解：因为P(Z5)〈P(4)+P(8)-P(/U8),

又因为P(B)<P(AUB)即P(B)-P(A\jB)<0.所以

(1)当P(8)=尸(NUB)时尸(/B)取到最大值，最大值是P(N8)=P(4)=O.6.

⑵P(/U©=1时。(48)取到最小值，最小值是P(/8)=0.6+0.7-1=03

3.已知事件4,3满足产(/8)=尸(彳耳)，记。(4)=P，试求尸(8).

解：因为尸(/8)=尸(彳左)，

即P(AB)=P(AuB)=1一P(Zu8)=1-P(z)-P(B)+P(AB),

所以P(B)=l-P(4)=l-p.

4.已知尸(4)=0.7,P(A-B)=0.3,试求尸(方).

解:因为尸(4-3)=0.3,所以尸(Z)-P(4B)=0.3,P(45)=P(Z)-0.3,

又因为尸(4)=0.7,所以P(/3)=0.7-0.3=0.4,尸(而)=1一尸(Z8)=0.6.

5.从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概

率是多少？

解：显然总取法有〃=c：）种，以下求至少有两只配成一双的取法人

法一：分两种情况考虑：i=

其中：c；c：（c；）2为恰有1双配对的方法数

法二：分两种情况考虑：人=。；.号i+c；

其中：尹为恰有1双配对的方法数

2!

法三：分两种情况考虑：左=C；（C；-C：）+C；

其中：C；（C；-C：）为恰有1双配对的方法数

法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k=c；c；V

法五：考虑对立事件：

其中：C；（C；）4为没有一双配对的方法数

法六：考虑对立事件：1=

其中：c；°-c卜为没有一双配对的方法数

所求概率为k13

6.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其

纪念章的号码.求:

（1）求最小号码为5的概率；

（2）求最大号码为5的概率.

解：（1）法一：p=q='，法二:__1

P=---\•"-=—

Go12,12

⑵法二护法二:

420

7.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,

3的概率.

解：设必,〃2.必表示杯子中球的最大个数分别为1，2,3的事件，则

、团3D/..,9D/...C\1

尸（必）=不=§，2%）=＞一=记，°"）=不=记

8.设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求

取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：设分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和

没有合格品，则

c'c1c2

P（MJ==0.3,尸（卬=-^=0.6/（必）=请=0.1

9.口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同

的概率.

解：设M=”取到两个球颜色相同”，M尸”取到两个球均为白球"，此=“取

到两个球均为黑球"，则A/=M1）监且Mn%

cC；_13

所以尸（A/）=P（MUM2）=P（M）+P（M2）=---*T*-------

C；砥28

10.若在区间（0,1）内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率.

解：这是一个儿何概型问题.以％和y表示任取两个数，在平面上建立xOy

直角坐标系，如图.

任取两个数的所有结果构成样本空间。={（x,>）：0<x,^<1}

事件A="两数之和小于6/5"={（x,y）e事：x+y<6/5}

因此

i」x（4丫

»八Z的面积2（5）17

尸⑷=百丽=-1—=不

图？

11.随机地向半圆0<”而二?（。为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区

域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于弓的概率.

4

解：这是一个几何概型问题.以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，0

表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间

£2={（x,y）：0<x<2o,0<y<^lax-x1}

事件Z="原点和该点的连线与x轴的夹角小于工”

4

={(x,y)：0<x<2(7,0<y<^lax-x1,0<<9<^}

因此

1212

力的面积.5a+4®_1+1.

。的面积1"2万2

2

12.已知PG4)=：,P(B|4)=Lp(Z|B)=g,求尸(1UB).

解:P(4B)=P(B)=W=J-」=L,

14312P(A\B)1226

产(ZUB)=尸(/)+P(8)—P(Z8)=；+：-\=；.

13.设10件广*品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件广一品中有

一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合

格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均

为不合格品的概率二

设4="所取两件产品中至少有一件是不合格品"，B="两件均为不合格品”；

P(/)=l-P(才=1-冬=2,p(B)=与=2,

Gi3Cf015

3=虫=皿=2心」

P(A)P(A)1535

14.有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个

红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取

出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，

则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：设/="从第1个箱子中取出的1个球是白球"，B="从第2个箱子中取

出的1个球是白球”，则P⑷咯=3,P(1)=2,由全概率公式得

C555

__3cl2cl23

P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIJ)=-x^-+-x^=—,

由贝叶斯公式得

15.将两信息分别编码为4和8传递出去，接收站收到时一，4被误收作3的

概率为0.02,而3被误收作力的概率为0.01,信息/与信息3传送的频繁程度为

2：1,若接收站收到的信息是4问原发信息是/的概率是多少？

解：设止“原发信息是4"，N="接收到的信息是力”，

已知

__2

P(NIM)=0.02,IA/)=0.01,P(M)=g

所以

———1

P(NI")=0.98,P(NIM)=0.99,P(")=§,

由贝叶斯公式得

P(M)P(N\M)2…,2…1八八八196

P(M'N)=-------------------------=---------..——x0.98+(—x0.98~\—x0.01)-

P(M)P(N\M)+P(M)P(N\M)333197

16.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为2一」，问三

534

人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解：设4="第，个人能破译密码”，，=1,2,3.

已知尸(4)=(尸(42)=：，P(4)=：，所以P(4)=:，尸(4)=：尸(4)=：，

至少有一人能将此密码译出的概率为

________4233

l-P(^J2J3)=l-P(J,)P(^2)PU2)=l--x-x-=-.

17.设事件力与3相互独立，已知尸(/)=0.4,尸(/UB)=0.7,求尸(耳/).

解：由于/与8相互独立，所以。(48)=P(/)P(B),且

P(AUB)=P⑷+P⑻-P(AB)=尸(4)+P(B)-P(A)P(B)

将尸(/)=0.4,尸(/U3)=0.7代入上式解得尸⑻=0.5,所以

P®Z)=1-P(B|J)=1-=1-=1-P(8)=l-0.5=0.5.

或者，由于4与8相互独立，所以/与否相互独立，所以

P(B\A)=P(5)=1-P(B)=1-0.5=0.5.

18.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已

知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？

解：设/="甲射击目标"，8="乙射击目标”，止“命中目标”，

已知P(A)=P(B)=1,P(M\A)=0.6,P(M\B)=0.5,所以

尸(A/)=P(ABU彳8UAB)=P(AB)+P(AB)+P(AB).

由于甲乙两人是独立射击目标，所以

P(M)=P(A)P(B)++P(A)P(B)=0.6X0.5+0.4x0.5+0.6x0.5=0.8.

P(AM)_P(A)P(MIA)_1x0.6

P(A1M)=

P(M)-P(M)0.8

19.某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品

的概率分别为0.3,0.2,0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概

率分别为0.3,0.2,试问：

(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？

(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？

解：设4=''第1种工艺的第，•道工序出现合格品"，z=l,2,3;5="第2种工

艺的第z•道工序出现合格品"，i=l,2.

(1)根据题意，尸(1)=0.7,尸(生)=0.8,尸(4)=0.9,尸(囱)=0.7,?(32)=0.8,

第一种工艺加工得到合格品的概率为

(/3)=0-7X0.8X0.9=0.504,

P{AXA2A^=尸(/])尸(42)尸

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(B[B2)=0(31)0(82)=0.7x0.8=0.56,

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

(2)根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而尸(3])=尸(4)=0.7,

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(5|52)=)P(52)=0.7x0.7=0.49.

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1.设两两相互独立的三事件/,3和。满足条件/3C=0,P(4)=P(B)=P(C)

2

且已知尸(NU8UC)=\，求尸(4).

解：因为所以尸(/30=0,

因为4B,。两两相互独立,口(4)=尸(5)=4(。),所以

P(/B)+P(BC)+P(AC)=P(Z)P(B)+P(B)P(C)+P(N)P(C)=3fP(J)]2

由加法公式尸(ZU8UC)=P(⑷+P(3)+P(C)-P(AB)—P(BC)-P(/C)+P(ABC)得

,9

3P(A)-3[P(A)]2=-即[4P(^)-3][4P(J)-l]=0

16

考虑到p(m<L得尸(⑷=L

24

2.设事件/,B,C的概率都是L>P(/15C)=P(J5C),证明：

2

2P(ABC)=P(AB)+P(JC)+P(BC)-1.

证明：因为P("C)=P(7前),所以

P(ABC)=1一尸(/U8UC)=1—[P(N)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(JC)+P(ABC)]将

P(N)=P(B)=P(C)=-代入上式得到

2

3

P(ABC)=1-[1-P(4B)-P(BC)_P(AC)+P(ABC)]

整理得

2P(ABC)=P(AB)+P(BC)+P(AC)-g

3.设O<P(/)<1,0<P(B)<1,P(A\B)+P(A\B)=1,试证/与3独立.

证明：因为。(/⑻+P(彳旧)=1,所以

P(AB)P(AB)P(AB),

-----------1———=----------1--------------------=]

P(B)P⑧P(B)1-P(5)

将P(AU8)=尸(4)+P(B)-P(AB)代入上式得

P(AB)1-P(4)-P(B)+P(4B),

-----+--------------------=1,

P(B)1—

两边同乘非零的P(8)U-P(3)]并整理得到

P(AB)=P(A)P(B),

所以/与3独立.

4.设43是任意两事件，其中/的概率不等于。和1,证明P(8IN)=尸(川彳)

是事件Z与3独立的充分必要条件.

证明：充分性，由于P(8IZ)=P(8l1),所以及竺2=「(理)即

P(N)P⑷

P(AB)_P(B)—P(AB)

P(J)-l-P(J)-，

两边同乘非零的尸⑷"-尸⑷]并整理得到P(/8)=尸(Z)P(B),所以A与B独立.

必要性：由于Z与3独立，即P(A8)=尸(4)P(8),且。(4)。0,尸(彳),0,所以

一方面

另一方面

P(彳8)_P⑻-P(AB)_P(B)-P(A)P(B)

尸⑻牙）==P(B),

P(A)P(A)P(A)

所以「(BIZ)=尸(Bl1).

5.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p,若第一次

及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为g

（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率.

（2）若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率.

解：设4="第，次及格",，=1，2.已知P（4）=P，P（，2I4）=P，P（414）=3

由全概率公式得

P⑷=尸（4）尸（414）+P（4）P（414）=/+（1—p号

（1）他取得该资格的概率为

p（4U4）=尸（4）+24）一4）=尸（4）+）一尸（4）P（414），

=/?+/?2+（l-7?）y-p2=3p2P.

（2）若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为

）=-（44）尸（4*（414）=

P（A]Apxp:2P

'2°⑷尸⑷.2+（1一吗P+/

6.每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取

一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收.由于检验误差，一件正

品被误判为次品的概率为2%,一件次品被误判为正品的概率为10%.求检验一箱

产品能通过验收的概率.

解：设4="一箱产品有，件次品"，z=0,1,2.设M=”一件产品为正品"，N=

“一件产品被检验为正品”.

已知P（4）=P（4）=P（4）=|，尸川IM）=0.02,尸（NIM）=0.1,

由全概率公式

1QQO

P（M）=尸（4）P（M14）+P（4）尸（〃I4）+P（J2）P（A/IJ2）=-（1+—+—）=—,

91T7—

P(M)=1-P(M)=1—.=自，又P(NIA/)=1—尸(NIM)=1—0.02=0.98,

由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

——91

P(N)=P(M)P(NIM)+P(M)P(NIM)=,x0.98+点x0.1=0.892.

7.用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真含有杂质检

验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以

往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6.今独立地

对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质,而有一次认为不含有杂质,

求此产品真含有杂质的概率.

解：4="一产品真含有杂质"，氏="对一产品进行第/•次检验认为含有杂质”,

z=l,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假

设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即囱，&发生了，而

§3未发生.

又知尸(用l/)=0.8,P(瓦1彳)=0.9,P(4)=0.4,所以

产(314)=02,/(与17)=。1,0(4)=0.4,尸(彳)=0.6,

P(AB】B耳)_P(A)P(B]B2瓦I/)_________

所求概率为P(/l4与瓦)=

P(8也瓦)一。(/)尸(男82瓦1“)+。(彳)。(分82瓦1彳)

由于三次检验是独立进行的，所以

P(4)P(B]IA)P(B?IN)P(瓦M)______________

P(A\BBB)=

{23P(A)P(BJA)P(B?iZ)P(瓦i万+P(1)P(B]I彳)尸(昌I7)P(瓦i万

0.4x0.8x0.8x0.2八“

------------------------------------------------=0.905.

04x0.8x0.8x0.2+0.6x0.1x0.1x0.9

8.火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火

炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于

0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁.试问

(1)火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？

(2)都不被击毁的概率等于多少？

解：设4="第，•次射击目标被击毁"，/=1,2,3,4.

已知P⑷=P(4)=0.3,P(A2)=P(4)=0.35,所以

p(4)=P(4)=0.7,P(4)=P(4)=0.65,

(1)火炮被击毁的概率为

p（44U4444）=P（44）+P（4）

=P（4）P（^2）+P（4）P（J2）P（^3）P（J4）=0.7x0.35+0.7x0.65x0.7x0.35=0.356475

坦克被击毁的概率为

P（4U猛a）=P（4）+P（4A2A3）

=p（4）+P（4）P（4）尸⑷=0.3+0.7x0.65x0.3=0.4365

（2）都不被击毁的概率为

p（4444）=P（4）P（4）P（4）尸（4）=0.7x0.65x0.7x0.65=0.207025.

9.甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依

次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都

是工，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率.

2

解：4=”甲第，局获胜”，8尸“乙第，局获胜"，5="丙第，局获胜”，z=l,2,....,

已知P（4）=P（8,）=P（C）=g"=l,2,…，由于各局比赛具有独立性，所以

在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为

P（AtC2C3UAiC2BiA4C5C6UA[C2BiA4C5B6A-!CsC9U...）=+（][+]/）+…=5_'同样，在甲

乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为L

7

丙得冠军的概率为2xL2,甲、乙得冠军的概率均为工（1二）=』

772714

第二章

2

一、填空题:

1.P[X<x\,F(X2)-F(X,)

2.P{X=k}=C：pk(l-p)"4,k=0,1,…，n

1k

3.尸{X=左}=为参数，左=0,1,...

k\

1

4.

1+4

1

5・y(x)=，-a'a<x<b

其它

](X-

6.f(X)=I——e2b,-oo<X<4-00

7.(p{x)=叵—e28<x<+8

不力一〃、小/。一〃、

8.

a

9.

X-112

Pi0.40.40.2

分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函

数求法，可观察出随机变量的取值及概率。

9

10.

64

分析：每次观察下基本结果“XW1/2”出现的概率为亡/(X心=『2xdx=(,而本题

对随机变量X取值的观察可看作是3重伯努利实验，所以

尸{y=2}=c；,)2(i广2=,

11.尸{X<2.2}=彳>=<D(弓>=0.7257,

尸{—1.6<X<5.8}=P(T,6T<=①一①(T'T)

11222J22

=①(2.4)-<D(-1.3)=0(2.4)+0>(l.3)-1=0.8950,

同理，尸{1XI<3.5}=0.8822.

12.G(y)=P{y=3X+l<y}=p\x<=尸-

13.竺，利用全概率公式来求解：

48

P\Y=2}=Pfy=2|X=1}尸{X=1}+P\Y=2|X=2}尸{X=2}

+P{Y=2|X=3}尸{x=3}+p{y=2|x=4}p{x=4}

111111113

=0x—+—X-+-X-+-X—=—.

424344448

二、单项选择题：

1.B,由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导

H-a)=工'f(x)dx=£f{x}dx-£f(x)dx=£f(x)dx=；一//(x世

2.B9只有B的结果满足尸(+©o)=limF(x)=1

XT+oo

3.C,根据分布函数和概率密度的性质容易验证

4.D,Y=[2,X-2,可以看出y不超过2,所以

X,X<2

1,y>2

1,共21,y>2

3(y)=p{y4歹}=<u,e>o,

P{X<y},y<21-e0,y<2

可以看出，分布函数只有一个间断点.

5.C,事件的概率可看作为事件A(前三次独立重复射击命中一次)与事件B(第

四次命中)同时发生的概率，即

P=PWP(A)P(B)=C；p(l-p)3<.p.

三、解答题

(A)

1.(1)

X123456

1197531

Pi363636363636

分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=l,

则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有0x6-1(这

里C；指任选某次点数为1,6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次

均为1的情形，因为C；x6多算了一次)或C；x5+1种，故

P[X=1}=支生!==11，其他结果类似可得.

363636

⑵

0,x<1

P{X=1},1Wx<2

P{X=l}+P{X=2},24x<3

F(x)=IP{X=1}+P{X=2}+P{X=3},3Wx<4

P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}+P{X=4},4<x<5

P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5},5<x<6

1,x>6

0,x<l

—,l<x<2

36

—,2<x<3

36

27

—,3<x<4

36

32

—,4<x<5

36

35〜/

—,5Wx<6

36

1,x>6

2.

注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1,显然p{x=99}=W=士.

Cn126

OO光

3.Za一=ae~x=1,所以a=e，

4=0k\

’0,x<-l

0,x<-1

—1<x<2

P{X=-l},-lWx<2

4.(1)/(x)4

尸{X=—1}+尸{X=2},2Wx<33

-,2<x<3

1,x>34

1,x>3

；、六；、

(2)wg>=p{X=-l}=Pxw|=P{X=2}=

3

P{2<X<3}=P{{X=2}U{X=3},,}=P{X=2}+p{x=3}=—4;

偶数}=*+*

5.(1)P{x=

⑵P{X25}=l_P{XW4}=l-j|=A，

.‘81万力到1

(3)P{X=3的倍数}=X了7=hm---j----=~.

/11--------

23

6.(1)X~P(0.57)=P(1.5)尸{X=0}=eT5.

(2)0.5/=2.5P{x>l}=l-P{x=0}=l-e-25.

7.解：设射击的次数为X,由题意知万~8(400,0.2)

P{X22}=1-P{XW1}=1-

«l-y'驾*=「028=0.9972,其中8=400X0.02.

k]

8.解：设X为事件4在5次独立重复实验中出现的次数，X~5(5,03)

则指示灯发出信号的概率

p=P{X>3}=1-P{X<3}=l-(Cf0.3°0.75+CjO.3'0.74+C；0.320.73)

=1-0.8369=0.1631；

9.解：因为X服从参数为5的指数分布，则E(x)=l-Q,P{JT>10}=l-F(10)=e-2,

Y~B(5,e-2)

则尸{y=灯=C；(e-2)“i_e-2)5-*,k=01,...5

p{r>i}=i-p{r=o}=i-a-e-2)5=0.5167

兀1

10.(1)>由归一■性知：1=1/(X心=RQCOSMXUZQ,所以Q=一.

22

_\1巧

(2)、P{0<X<—}=^―cosxdx=—sinxl^=.

11.解(1)由F(x)在x=l的连续性可得lim产(x)=lim尸(%)=尸⑴,即A二L

XT1+X->1-

(2)尸{0.3<X<0.7}=/(0.7)-F(0.3)=0.4.

(3)X的概率密度/(%)=/⑴=<X<1.

12.解因为X服从(0,5)上的均匀分布，所以/(%)=标1

0其他

若方程4/+4心2+x+2=0有实根，贝!]A=(4工)2-16工一3220,即

X>2X<-],所以有实根的概率为

p=p{x>2\+p[x<-\\=/京+£'(Wx=|x|2=|

13.W：(1)因为X〜N(34)所以

P{2<X45}=尸(5)—尸(2)

=①(1)一①(0.5)-1=0.8413+0.6915-1=0.5328

尸{一4<XW10}=/(10)-F(-4)

=①(3.5)-①(一3.5)-1=20>(3.5)-1

=2x0.998-1=0.996

尸{用>2}=1—尸{X《2}=l_P{—2KXK2}

=1一[网2)--(-2)]=1-[①(-0.5)-①(—2.5)]

=1-[4>(2.5)-<&(0.5)]=1-0.3023-0.6977

P{X>3}=1-P{%<3}=1-F(3)=1-0(0)=1-0.5=0.5

⑵P{X>c}=i-P{X<c},则尸{x<c}=；=尸⑹=0(啜)=g,经查表得

①(0)=L,即±二=0,得c=3；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

22

(3)P{X><7}=l-P{X<i/}=l-F(^)=l-<D(^^)>0.9,

则①(立曰)40.1,即①(一上2)20.9,经查表知①(1.28)=0.8997,

22

故1.28,即d<0.44；

2

14.解:尸何>%}=1-尸{%"}=1-尸{一1WX"}=1-中(七)+①(一与

(7(7

k

=2-2(D(—)=0.1

(J

所以中昌=0.95,P{X<Z:}"(%)=①(4=0.95;由对称性更容易解出；

OG

15.解X~N(//,cr2)则p-{jx-//|<cr}=p{jj-(y<X</J+a]

=F1/i+cr)--(T)

小,4+cr一〃、小,〃一(7一4、

=0>(^--------<-)--------—)

ao

=0)⑴—①(―])

=20(1)—1=0.6826

上面结果与。无关，即无论。怎样改变，p{x-”<。}都不会改变；

16.解：由X的分布律知

1(X-〃)2

17.解因为服从正态分布N(4，/),所以

A/2^CT

x

贝ljF(x)=——?——Pe2，cbc,Fy(y)=p\e<

/，J-oo

兀o

当歹《0时，33)=0,则人(力=0

当y>0时，耳o)=p{e"Wy}=p{x<Iny]

]](In)-4一

力0)=3'00=(b(1"))'=--------e2"

-V

](Iny-//)2

]------e2。？V>0

所以Y的概率密度为/y(y)=(y后0；

b

y<0

Ic八f10<X<1

18.解x~u((),i),/(x)=jo,

与3)=。{丫My}=p{l_xWy}=l-尸(l—y)

所以加……=｛；、「1,0<y<1

0,其他

19.解：X~U(1,2),则/(X)=[：1：工2

0具他

2X

FY{y}=P\Y<y\=P^<y\

当y40时,4(y)=p\e2x<jr}=0,

当y>0时，

6(y)=尸，X<—\ny>=Fx(—Iny),

_4(y)=K,(y)=(E(，ny))'=.5/x(51ny)e<i<

20其他

—e2<x<e4

=<g其他

20.解：(1)Fy](j^)=P{y,<^}=P{3X<y}=Fx(1^)

力。）=F%oo=（/（］）Y=；人（1y）

32

x—1<x<1

因为/*(x)=<2

0其他

1,112

所以40）=；人（；7）=<——y2,-1<—y<1—y-3<》<3

18-3'=，18"

0,其他0其他

(2)FY：(y)=P{Y2<y}^P{3-X<y}^P{X>3-y}^l-Fx(3-y),

右。)=FY2(x)=)一弓(3-州'=fx(3-y)

32

X-1<X<1

因为/*(x)=<2

0其他

所以人,（y）"（3­）=产3娟-1<3-”1士3（3-»,2<”4

0,其他0,其他

2

(3)FYSy)=P\Yi<y}=p{x<y}

当旌。时，&3)=P{X2K/=O,々3)=凡(X)=0

当歹>0时,FY)(y)=<X<77}=Fx旧)—FX(—6)，

A(歹)=片a)=[/(6)-尸(-77)1=5r[力(⑸+于x(-77)1

⑷+/x(S]，歹>。,

所以fy,=

0'y~Q

-x2-1<x<1

因为/x（X）=

0其他

将，。<"1

所以人（歹）=，2

0，其他

四.应用题

1.解：设X为同时打电话的用户数，由题意知工~8（10,0.2）

设至少要有左条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99,则

kk>

P{X"}=ZC；o0208g=0.99,其中4=2,

/•=0/=0l・

查表得k=5.

2.解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能

正常工作这一基本结果的概率为1-e-0-4,记X为10块组件中不能正常工作

的个数，则

X-5(10,1-e-04),

5小时后系统不能正常工作，即{X22},其概率为

P{X22}=1—P{XW1}

404-041

=1-^(1-e-°-)(e-0-)">_c；o(1-e-)(e-4严

=0.8916.

3.解：因为X~N(20,402),所以

P[\X\<30}=P{-30WXW30}=尸(30)-尸(—30)

30-20-30-20

=①()—中(

40-16-

=0>(0.25)+0(1.25)—