高一数学校本教材《高中数学联赛初赛分类汇编》

目录

全国高中数学联赛试题规则和考试范围........................................2

第一部分江苏省高中数学联赛初赛试卷［2009-2016年］.............................4

试卷012009年江苏省高中数学联赛初赛试卷................................4

试卷022010年江苏省高中数学联赛初赛试卷................................8

试卷032011年江苏省高中数学联赛初赛试卷...............................12

试卷042012年江苏省高中数学联赛初赛试卷...............................16

试卷052013年江苏省高中数学联赛初赛试卷...............................20

试卷062014年江苏省高中数学联赛初赛试卷...............................24

试卷072015年江苏省高中数学联赛初赛试卷...............................28

试卷082016年江苏省高中数学联赛初赛试卷...............................32

第二部分江苏省高中数学联赛初赛分类汇编［2009-2016年］........................36

汇编01集合与简易逻辑...................................................36

汇编02函数...........................................................37

汇编03导数...........................................................39

汇编04三角函数.........................................................41

汇编05解三角形.........................................................42

汇编06平面向量.........................................................43

汇编07复数...........................................................45

汇编08数列...........................................................46

汇编09不等式..........................................................49

汇编10概率与计数原理...................................................51

汇编11立体几何.........................................................52

汇编12解析几何.........................................................54

汇编13平面几何........................................................59

汇编14初等数论........................................................61

汇编15其他...........................................................63

汇编16分类汇编参考答案.................................................65

全国高中数学联赛试题规则和考试范围

联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复

赛，，等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。

一试和加试均在每年9月中旬的第二个周日举行。

在江苏省入围参加全国高中数学联赛的环节：

环节时间备注

一般是4月中下旬或5月上旬

2009年-2016年，考试时间均是上午

[2009-5-3:2010-4-18；2011-5-15；

江苏省初赛8:00-10.00：通过初赛才能参加夏令营和

2012T-8；2013-5-5：2014-4-20；

复赛

2015-4-19；2016-5-8]

取决于夏令营的时间（夏令营最后一天复

2016年:7月19日上午8:00-12:00

江苏省复赛赛）；近些年夏令营都是在扬州；内容及

2015年：7月24日上午8:00-12:00

试卷格式同全国高中数学联赛

根据复赛成绩，划定参加决赛同学名单；

全国高中

每年9月中旬的第二个周日举行近些年江苏赛区的决赛地点都在邛江中

数学联赛

学

一、全国高中数学联赛试卷格式

一试

考试时间为上午8：00-9：20,共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120

分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。

加试（二试）

考试时间为9：40-12：10,共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后

两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。

依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。其中一等奖由各省负责阅卷评分，

然后讲一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中

国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。

各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（IMO）,

二、考试范围

一试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定

的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概

率和微积分初步不考」

二试

1、平面几何

基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。

儿个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离

的平方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。

几何不等式。

简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最

大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，

正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。

2、代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三

倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。第二数学归纳法。递归，一阶、二

阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。n个变元的平均不等式,

柯西不等式，排序不等式及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单

位根的应用。圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式•一元n次方程（多项式）

根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷速降法，同余，

欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格

点及其性质。

3、立体凡何多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体，欧拉

定理。体积证法。截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。二元一次不等

式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的事和根轴。

5、其它抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。

参考书目：

1.高中数学竞赛培优教程（第四版）（一试）李名德、李胜宏浙江大学出版社

2.高中数学竞赛培优教程（专题讲座）（第3版）李胜宏、李名德浙江大学出版社

3.全国重点大学自主招生数学教程（修订版）张天德贾广素山东科学技术出版社

4.高中新课标数学提优教程（第1、2、3、4册）（共四册）冯慧愚等著江苏教育出版社

5.金版奥赛教程——数学（高一分册）刘康宁主编浙江大学出版社

6.金版奥赛教程——数学（高二分册）刘康宁主编浙江大学出版社

7.金版奥赛教程——数学（高中综合分册）左宗明主编浙江大学出版社

8.高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）（每年一本）华东师范大学出版社

9.奥数小丛书（高中）（共14本）华东师范大学出版社

10.高中数学竞赛专题讲座（共十多本学校图书馆可以借）浙江大学出版社

11.启东中学奥赛：高中数学训练教程曹瑞彬南京师范大学出版社

12.新编高中数学奥赛指导葛军南京师范大学出版社

13.奥数教程（高一、高二、高三年级）华东师范大学出版社

14.奥数教程学习手册（高一、高二、高三年级）华东师范大学出版社

15.奥数教程能力测试（高一、高二、高三年级）华东师范大学出版社

16.数学竞赛研究教程（第3版，上下册）单博著江苏教育出版社

第一部分江苏省高中数学联赛初赛试卷［2009-2016年】

试卷012009年江苏省高中数学联赛初赛试卷

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上.）

1.已知sinacos尸=1,则cos（a+万）=.

2.已知等差数列｛恁｝的前11项的和为55,去掉一项秋后，余下10项的算术平均值为4.若

“1=-5,则上=.

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e=.

3"+11

=

4・已知77□।-A，则实数x=__________•

y—13

5.如图，在四面体A8CO中，P、。分别为棱8。与CO上的点，1.BP=2PC,CQ=2QD.

R为棱AO的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为.

6.设/（x）=log/一产G,则满足f（x）K）的x的取值范围是

7.右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10c机、体积为3OOOa”3的

长方体，长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20。%、

60c7%.若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水______________5?.

8.设点。是AABC的外心，AB=13,AC=12,则就•■=.

=

9.设数列{a.}“两足：nn+id„—2o„+1—2(〃=1,2,...)>^2009"V2>则此数列的前2009项的

和为.

10.设。是整数，0</?<1,若/=2以。+切，贝1］人=.

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

22

11.在直角坐标系xOy中，直线4—2y+4=0与椭圆/+：=1交于A,B两点，尸是椭圆

的左焦点.求以o,F,A,B为顶点的四边形的面积.

12.如图，设。、E是△ABC的边AB上的两点，已知/ACD=/2CE,AC=14,AD=7,

AB=28,CE=\2.求BC.

13.若不等式5+正矩而对于任意正实数x,y成立，求人的取值范围.

14.(1)写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，

请予以验证；

(2)是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方

数？请证明你的结论.

试卷022010年江苏省高中数学联赛初赛试卷

一、填空题(本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上.)

1.方程于+||—3'|=5的实数解为.

2.函数y=卜出％|+|cosx|(xeR)的单调减区间是.

3.在AABC中，已知AB-AC=4,ABBC=-12,则网=.

4.函数”X)=(X-2)(X+1)2在区间［0,2］上的最大值是,最小值是.

5.在直角坐标系，中，已知圆心在原点0、半径为R的圆与AABC的边有公共点，其

中A=(4,0),8=(6,8),C=(2,4),则R的取值范围为.

6.设函数f(x)的定义域为R,若f(x+l)与/(x-1)都是关于x的奇函数,则函数y=/(x)

在区间［0,100］上至少有个零点.

7.从正方体的12条棱和12条面对角线中选出〃条，使得其中任意■

两条线段所在的直线都是异面直线，则〃的最大值为_______-......

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色忆-------

中的一种.其中镀2金2银的概率是.(第7题)

9.在三棱锥A-BCD中，已知N4CB=NC8。，NACD=NADC=NBCD=NBDC=9,

且cosO=胆.已知棱43的长为6应，则此棱锥的体积为.

1().设复数列｛%,｝满足x,产a-1,0,且工用=合.若对任意〃eN*都有七+3=%，贝伯

的值是.

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)

11.直角坐标系xOy中，设A、B、M是椭圆C:土+yJl上的三点.若

4

34r2

OM=-OA+-OB,证明：线段AB的中点在椭圆一+2丁=1上.

552

12.已知整数列｛《,｝满足q=T，/=4,前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等

比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求出所有的正整数m,使得/+4“+i+am+2=amam+la„^2.

13.如图，圆内接五边形ABCOE中，4)是外接圆的直径，BE±AD,垂足

过点”作平行于CE的直线，与直线AC、OC分别交于点F、G.

证明：(1)点4、8、F、H共圆；

(2)四边形BFCG是矩形.

AD

B

G

14.求所有正整数x、y,使得d+3y与y?+3x都是完全平方数.

试卷032011年江苏省高中数学联赛初赛试卷

一、填空题(本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上.)

1.复数(1+/)4+(1-/-)4=.

2.已知直线x-my+1=0是圆C:x2+y2-4x+4y-5=0的一条对称轴，则实数m=.

3.某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概

率是(结果用最简分数表示).

4.已知COS40=L则sin"O+cos"。.

5

5.已知向量a,6满足同=W=2,<a,Z>>=U,则以向量2a+8与3a表示的有向线段

为邻边的平行四边形的面积为.

6.设数列｛斯｝的前"项和为S”若｛S,｝是首项及公比都为2的等比数列，则数歹U｛飙3｝的前

n项和等于.

7.设函数/。)=,-2].若/(a)=fS),且0<a<b,则她的取值范围是.

8.设/（附为数列｛”“｝中小于根的项的个数，其中q=〃2,〃eN*,则f"（2011）］=

9.一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角

形的斜边长是.

10.已知，〃是正整数，且方程2x—mJl0—x—m+10=0有整数解,则m所有可能的值

是.

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11.已知圆f+V=l与抛物线y=有公共点，求实数〃的取值范围.

12.设/(x)=x2+6x+c3,ceR).若可22时，f(x)》O,且/(x)在区间(2,3］上的最大值

为1,求户+。2的最大值和最小值.

13.如图，P是△A8C内一点.

(1)若P是AABC的内心，证明：ZBPC=90+gz84C；

(2)若NBPC=90+-ZBACKZAPC=90+-ZABC,证明：尸是△ABC的内心.

22

14.已知a是实数，且存在正整数a。，使得册不£为正有理数.

证明：存在无穷多个正整数〃，使得而£为有理数.

试卷042012年江苏省高中数学联赛初赛试卷

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上.）

1.当XG[-3,3]时,函数/（x）=|x3-3x|的最大值为.

2.在A4BC中，已知AC3C=12,ACJ5A=-4,则AC=.

3.从集合｛3,4,5,6,7,8｝中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为

4.已知a是实数，方程/+（4+，口+4+山=0的一个实根是匕（i是虚部单位），贝+加|

的值为.

5.在平面直角坐标系初中，双曲线的右焦点为F,一条过原点。且倾斜

角为锐角的直线/与双曲线C交于A8两点.若的面积为，则直线的斜率为

6.已知a是正实数，%=的取值范围是.

7.在四面体ABCD中，AB=AC=AD=D函,BC=3,C£>=4该四面体的体积为

8.已知等差数列｛叫和等比数列也｝满足：q+4=3,/+瓦=7,0,+4=15,%+%=35,

则an+bn=.(〃eN*)

9.将27,37,47,48,55,71,75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样

的排列有种.

10.三角形的周长为31,三边。也c均为整数，B.a<b<c,则满足条件的三元数组(a,仇。)

的个数为.

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)

n.在&4BC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明:

(1)bcosC+ccosB=a；

2sin_一

c、cosAA+cosBD_2

(2):=•

a+bc

12.已知口矢为实数,a>2,函数f(x)=Hnx-g|+6(x>0).若/⑴=e+lJ(2)=W-ln2+l.

x2

(1)求实数a力；

(2)求函数“X)的单调区间；

(3)若实数c,d满足c>d,cd=l,求证：/(c)<f(d).

13.如图，半径为1的圆。上有一定点"为圆。上的动点.在射线OM上有一动点B,

AB=],OB>\.线段AB交圆。于另一点C,。为线段的。B中点.求线段C。长的取值范

围.

14.设是a,Ac,d正整数，。力是方程x2-（d-c）x+cd=0的两个根.证明：存在边长是整

数且面积为曲的直角三角形.

试卷052013年江苏省高中数学联赛初赛试卷

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上.）

1.设方程x2-2,nx+/-1=0的根大于-2,且小于4,则实数，”的范围是.

2.从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为.

3.设实数x,y满足/一4光+/+3=0,则/+丁的最大值与最小值之差是.

4.若存在正实数-人满足（4+初）"=（。-协，（i是虚数单位，neN*）,则〃的最小值

是.

5.若三角形A8C的三边A8,BC,AC成等差数列，则4的取值范围

是.

6.若数列｛4｝满足%=9,（a„+l-«„-l）（a„+l-3a„）=0（〃eN*）,则满足条件的q的所有

可能值之积是.

7.已知/(x)=f-94x+2013,则£(/(")+『(")|)=.

“=30

8.设x,ye[0,2句，且满足2sinxcosy+sinx+cosy=-；,则x+y的最大值

为_______

9.已知正四面体ABC。的棱长为9,点尸是面ABC上的一个动点，满足尸到面

DARDBC,DCA的距离成等差数列，则P到面DCA距离的最大值是.

10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全

平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完

全平方数，小王现在的年龄是.

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11.设k为实数，0<k<6,椭圆耳：攵二殳_+丁=1与椭圆与：三+/=1交于点A和C,

月的左顶点为8,马的右顶点为。（如图），若四边形A8CZ）是正方形，求实数k.

12.如图，梯形A8CD中，B、。关于对角线AC对称的点分别是9、A、C关于

对角线BO对称的点分别是A、C.证明：四边形是梯形.

13.设实数。，方满足1.证明：2(b-a)<cosTia-cosTib.

2

14.正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明：必存在四个同色点，恰为某等

腰梯形的顶点.

试卷062014年江苏省高中数学联赛初赛试卷

一、填空题(本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上.)

1.若x>2,则函数f(x)=x+—।—的最小值是.

2.已知函数f｛x)=e'.若/(a+A)=2,则f(3a)"(3b)的值是.

3.已知数列｛%｝是各项均不为0的等差数列，公差为d,S,,为前〃项和，且满足a；=$21,

〃eN",则数列｛4｝的通项a.=.

9_r~—3TX20

4,若函数/(x)=,''是奇函数，则实数a的值是__________.

-2x2+ax,x<0

5.已知函数f(x)=lg|x-?|.若关于x的方程/(划一5f(x)-6=0的实根之和为机,则

f(m)的值是.

6.设a、夕都是锐角，且cosa=1-,sin(a+y0)=-.则cos夕等于.

7.四面体ABCO中，48=3,CO=5,异面直线AB和C£>之间的距离为4,夹角为60°,

则四面体ABCD的体积为.

8.若满足ZABC=工，AC=3,BC=m的448。恰有一解，则实数的取值范围

3

是.

9.设集合5={1,2,,8},A,3是S的两个非空子集，且A中的最大数小于8中的最小

数，则这样的集合对(AB)的个数是.

10.如果正整数m可以表示为9-4/(x,yeZ),那么称优为“好数问1,2,3,

2014中“好数”的个数为.

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)

11.已知a,b,c为正实数，a'=by=c:,1+1+1=0,求"c的值.

xyz

22

12.已知耳，鸟分别是双曲线C:鼻-当=13>0,6>0)的左右焦点，点3的坐标为(0,6),

直线耳8与双曲线C的两条渐近线分别交于p,2两点，线段尸。的垂直平分线与x轴交

于点、M.若Mg=g耳鸟，求双曲线C的离心率.

13.如图，已知&4BC是锐角三角形，以43为直径的圆交边AC于点。，交边上的高

CH于点E.以AC为直径的半圆交3£)的延长线于点G.求证：AG=AE.

AH

14.(1)正六边形被3条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成4个三角形.将每个三

角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样分割并涂

色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？

(2)凸2016边形被2013条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成2014个三角形.将

每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同.在上述

分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明

你的结论.

试卷072015年江苏省高中数学联赛初赛试卷

一、填空题(本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上.)

1.已知点P(4,1)在函数/(x)=log“(x-%)S>0)的图象上，则必的最大值是.

2.函数f(x)=，5sin(2x—/在尸号^处的值是

3.若不等式kr+l|W3的解集为{x|-2SXS1},则实数a的值是

4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红

球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是.

2222

5.在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆计卓=1(40>0)与椭圆£+》=1有

相同的离心率e,则e的值是.

6.如图，在长方体ABCD-A|B|C|Di中，对角线8。与

平面48G交于E点.记四棱锥E—A8C0的体积为V,,

长方体ABCD-A^C^的体积为V2,则卷的值

是.

7.若实数集合4={31x,65用与8={5工丫，403}仅有一个公共元素，则集合AUB中所有

元素之积的值是.

8.设向量a=(cosa,sina),》=(—sina,cosa).向量M，x2,X7中有3个为a,其余

为出向量yi，)2...J7中有2个为a,其余为从则£x%的可能取值中最小的为.

(=1

9.在3x3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图，三个

方格中的数分别为1，2,2015,则幻方中其余6个数之和为

10.在平面直角坐标系xOy中，设。是满足於0,龙0,x+y+[x]+WW19的点(x,y)形成

的区域(其中㈤是不超过x的最大整数).则区域。中整点的个数为.

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)

11.在等比数列｛册｝中，。2=2,4是公比.记S.为｛斯｝的前〃项和，7；为数列｛$｝的前“

项和.若$2“=27；,求q的值.

12.如图，ZVIBC中，A8>4C,点£）、E分别在边AB、AC上，且8£>=CE./BAC的外

角平分线与AAOE的外接圆交于A、P两点.求证：4、P、B、C四点共圆.

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆01、圆。2

都与直线/：y=匕及x轴正半轴相切.若两圆的半径

之积为2,两圆的一个交点为P（2,2）,求直线/的方

程.

（第12题图）

（第13题图）

14.将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色.

(1)当k=2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；

(2)k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由.

试卷082016年江苏省高中数学联赛初赛试卷

一、填空题(本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上.)

1.若关于x的不等式|x+a|〈人的解集为"|2<x<4},则必的值是.

2.从123,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是.

3.已知/(x)是周期为4的奇函数，且当xe(0,2)时，/(x)=x2-16x+60,则.f(2版)的

值是.

4.已知直线/是函数f(x)=21ar+/图象的切线，当/的斜率最小时，/的方程

是.

5.在平面直角坐标系xOy中，如果直线/将圆¥+/-2%-4)，=0平分，且不经过第四象

限，那么/的斜率的取值范围是.

6.已知等边aABC的边长为2,若A尸=g(A8+4C),AQ^AP+^BC,则AAP。的面积

是.

7.已知正方体ABCQ-AiBiGR的棱长为1,点P在棱BC上，点。为棱CG的中点.若

过点A,P,。的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP的取值范围为.

8.已知数列｛斯｝的奇数项依次构成公差为4的等差数列，偶数项依次构成公差为42的等

差数列，且对任意〃CN*,都有斯＜斯+].若0=1,42=2,且数列｛斯｝的前10项和$0=

75,贝!）麴=.

9.己知正实数满足更电+@±空=16,贝IJx+y=___________.

yx

10.设M表示满足下列条件的正整数〃的和："整除20162,且2016整除〃2,那么M的所

有不同正因子的个数为.

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11.已知-^―+-^—=史，6»e(0,-),求tan®,

sin。cos。122

12.如图，点尸在△人5。的边AB上，且A8=4AP,过点尸的直线MN与AABC的外接圆

交于点M,N,且点A是弧MN的中点.求证：

(1)〉ABNs〉ANP・,

⑵BM+BN=2MN.

13.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：=-工=1的右焦点为F,过点F的直线/与

a~h~

双曲线C交于A,B两点,若OFAB=FAFB,求双曲线。的离心率e.

14.已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值2.

若九个内角中有一个角等于120。，试求常数义的值.

第二部分江苏省高中数学联赛初赛分类汇编12009-2016年］

汇编01集合与简易逻辑

1.［2011UZ为夏森-T1］已知集合"={x||x-l|<3},"=卜卜,<l,xez),则MN的

子集的个数是.

2.［2006・任％新赛-17］集合4=岂仇=3〃，"GN,0<n<10}，B={y\y=5m,mWN,

0<n<6}则集合AU8的所有元素之和为.

3.［2016.fa笏裒卷-T1］已知集合A={(x,y)|(x-2)2+(y-l)2<l},

B={(x,y)|2|x-l|+|y-l|<«},AcB,则实数a的取值范围是.

4.［2008.(2%法赛-T6］设集合A={x\x2-［幻=2}和B={x||x|<2},其中符号［x］表示不大

于x的最大整数，则AB=.

5.［2O15Y2笏历卷-T7］若实数集合A={31x,65田与8={5冲，403}仅有一个公共元素，

则集合AUB中所有元素之积的值是.

6.［2008・仁名意卷+丁<4，，是“肛+4>2x+2y”成立的().

(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件

(C)既不充分也不必要条件(D)充分必要条件

7.［2。09,2人妻卷-T2］若集合A=k|JTb=ax+l,xeR}为空集，则实数a的取值范围

是.

汇编02函数

8.[2010-疗分石赛-T1]方程9'=5的实数解为.

9.[2015Y2%勃卷-T1]已知点P(4,1)在函数f(x)=10g“(x-b)(b>0)的图象上，贝的

最大值是.

10.[2014正名法赛-T2]已知函数/(x)=e'.若f(a+份=2,则/(3。)/(为的值

是.

11.[2016-au<-T3]已知f(X)是周期为4的奇函数，且当XG(0,2时，

/(x)=i-16x+6则八2回)的值是.

3"+1]

12.[2009,《23初赛-T4]已知示7Ti7v>则实数X=____________.

9-13—3------------

2十一3xx20

13.[2014•值冬法赛-T4]若函数f(X)=「「'’是奇函数，则实数。的值

-2x~+ax9x<0

是.

14.[2014-f2券法卷-T5]已知函数f(x)=lg|x-y|.若关于x的方程/2(X)-5/(X)-6=0

的实根之和为m,则f[m)的值是.

15.[2009」2苏法赛-T6]设f(x)=logM—产彳，则满足fW>0的x的取值范围

是.

16.[2015f2笏初卷-T6]设函数外力的定义域为/?,若/(x+1)与f(x-l)都是关于x的奇

函数，则函数y=〃x)在区间[0,100]上至少有个零点.

17.[2012-£2%荡霖-T6]已知a是正实数，&=a"的取值范围是.

18.[2011•鳌笏勃赛-T7]设函数/(x)=|N—2].若f(a)=/(b),且0Va<6,则一的取值范

围是.

19.[2014♦仁劣法套一T11]已知a,b,c为正实数，ax=by=cz,—+—+—=0,求Me的

xyz

值.

☆2008-2016年江荻高考我T9-T14^

20.［2016•日芳金湾-T11］设〃x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1)上

x+a,T”x<0,

f(x)=-2_x0x<i，其中"R,若［-］卜敢'则/(M的值

是.

0,0<x<l,

21.［2015・£3冬需老-T13］已知函数/(X>|1巾，g(x)=<II则方程

Ix2_412,x>1,

|/(x>g(H实根的个数为.

22.［2014,2名每湾-T13］已知/(X)是定义在R上且周期为3的函数，当xe［0,3)时，

/(x)=炉-2x+1.若函数y=/(x)-a在区间［-3,4］上有10个零点(互不相同)，则实

数a的取值范围是.

23.［2014立冬需号-T1O］已知函数/。)=犬+/HT-1,若对于任意［见机+1］,都有

/(x)<0成立，则实数机的取值范围是.

24.［2O13Y2笏离老-T11］己知/(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，/(x)=f-4x,则

不等式f(x)>x的解集用区间表示为.

25.［2012,2笏,老-T1O］设/(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上,

ar+l,-lWx<0,,、zx

hx+2八一「其中a"eR.若/（彳卜/、］,则a+3。的值

/W=•

---------,0WxWl,\2.j\2.J

x+1

为________

2x+a,x<l,什八八

［2O11Y2多需存-T11］已知实数aR0,函数/(x)=-1若/…="+办

则。的值为.

27.［201。・夏舒石老-T11旧知函数