7.3.1复数的三角表示式7.3.2复数乘除运算的三角表示及其几何意义课件高一下学期数学人教A版

7.3*复数的三角表示复数的三角表示式复数乘、除运算的三角表示及其几何意义[目标导航]课标要求1.了解复数的模和辐角的定义.2.会求复数的模和辐角的主值.3.能求出复数的三角形式.4.会进行复数三角形式的乘除运算.素养达成通过复数的三角表示的学习,使学生养成数学运算与逻辑推理的核心素养.1新知导学素养启迪1.复数的辐角与模(1)任何一个不为0的复数的辐角有无限多个值,这些值相差2π的整数倍.(2)规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值叫做辐角的主值,通常记作argz,即0≤argz<2π.思考1:复数0有辐角吗?答案:对于复数0,它所对应的向量缩成一个点(零向量),这样的向量没有确定的方向,所以复数0没有确定的辐角.思考2:如何表示坐标轴上的复数的辐角的主值?答案:设a是一个正实数,那么有:2.复数的三角形式r(

+i

)(其中,r为复数的模,θ为复数的辐角)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.

cosθsinθ思考3:在复数的三角形式中,辐角θ的值应如何表示?答案:在复数的三角形式中,辐角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是辐角的主值,也可以是辐角的主值加2kπ或k·360°(k为整数),但为了简便,复数的代数形式化为三角形式时,一般将θ写成辐角的主值.3.复数三角形式的运算法则设z,z1,z2的三角形式分别是:z=r(cosθ+isinθ),z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2).复数的乘法z1z2=

[cos(

)+isin(

)]复数的乘方zn=[r(cosθ+isinθ)]n=

(cos

+isin

)复数的除法

[cos(

)+isin(

)]r1r2θ1+θ2θ1+θ2rnnθnθθ1-θ2θ1-θ2思考4:进行复数三角形式的运算时,主要在哪些量上进行?需要注意什么问题?答案:复数三角形式的乘除运算主要针对辐角和模进行运算,运算时要确保每一个复数都是三角形式的标准形式.(1)复数的辐角的主值0≤argz<2π.(2)复数三角形式的乘法法则:模数相乘,辐角相加;复数三角形式的乘方法则:模数乘方,辐角n倍;复数三角形式的除法法则:模数相除,辐角相减.2课堂探究素养培育[例1]将下列复数化为三角形式:题型一复数的三角形式代数形式化为三角形式的步骤(1)先求出复数的模.(2)决定辐角所在的象限.(3)根据象限求出辐角.(4)求出复数的三角形式.[变式与拓展1-1]把下列复数表示成三角形式:(1)6;解:(1)由题意可得6=6(cos0+isin0).[变式与拓展1-2]把下列复数表示成代数形式:(1)9(cosπ+isinπ);解:(1)9(cosπ+isinπ)=-9.题型二复数的辐角的主值及应用√复数z的辐角的主值的取值范围是[0,2π),即argz∈[0,2π).题型三复数三角形式的乘除运算在进行复数三角形式的乘法、除法运算时,注意先将复数化为三角形式,再按法则进行运算,当不要求把计算结果化为代数形式时,也可以用三角形式表示.[变式与拓展3-1]计算:√√2.复数(sin10°+icos10°)3的三角形式为(

)A.sin30°+icos30°B.cos240°+isin240°C.cos30°+isin30°D.sin240°+icos240°解析:(sin10°+icos10°)3=(cos80°+isin80°)3=cos240°+isin240°.故选B.3.复数sin50°-isin140°的辐角的主值是(

)A.150° B.40°C.-40° D.320°√解析:sin50°-isin140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°)=cos320°+isin320°.故选D.4.若z=cos30°+isin30°,则argz2等于