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文档简介

宣城市2023届高三年级第二次调研测试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简集合,根据交集的定义求解即可.【详解】因为,所以,又,所以故选:B.2.设复数满,则=()A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用复数四则运算及复数的模计算可得结果.【详解】方法1:因为,所以.方法2:因为,所以.故选:C.3.已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,且,则()A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】由抛物线的焦半径公式求解.【详解】由题意可得,解得.故选:B.4.中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子,桌子上放一个装满粮食的升斗(如图),斗面用红纸糊住,斗内再插一杆秤、一把尺子,寓意为粮食满园、称心如意、十全十美.如图为一种婚庆升斗的规格,把该升斗看作一个正四棱台,下底面边长为25cm,上底面边长为10cm,侧棱长为15cm,忽略其壁厚,则该升斗的容积约为(参考数据:,)()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】计算高,由体积公式得出答案.【详解】上下底面对角线长度分别为,则高.上底面的面积,下底面的面积.则.故选:C5.将5个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别求出将5个1和2个0随机排成一行的种数和2个0不相邻的种数,利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】将5个1和2个0随机排成一行,总的排放方法有种.要使2个0不相邻,利用插空法,5个1有6个位置可以放0,故排放方法有种.所以所求概率为.故选:D.6.已知,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式及诱导公式,结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】由题意可知,,所以.故选:C.7.已知圆锥的底面半径为,高为,当其内接正四棱柱的体积最大时,该正四棱柱的外接球的表面积(单位:)为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设正四棱柱底面边长为a,高为h,运用相似三角形可得a与h关系,运用导数研究正四棱柱体积的最大值,计算此时正四棱柱的外接球半径,进而可得结果.【详解】圆锥的轴截面如图所示,为正四棱柱上底面的正中心,为圆锥底面的圆心,正四棱柱外接球的球心O,半径为R,则,设正四棱柱底面边长为a,高为h,则,,,,∵,∴,即:,∴,又∵,∴正四棱柱的体积为,()∴,,,∴在上单调递增,在上单调递减,∴当时,取得最大值,此时,∴,,∴,∴正四棱柱的外接球的表面积为.故选:A.8.已知函数及其导函数的定义域均为,记.若为奇函数,为偶函数,且,,则()A.670B.672C.674D.676【答案】D【解析】【分析】运用抽象函数的奇偶性表达式及导数运算可得的一个周期为3,再运用赋值及周期性计算可得一个周期内的和,进而可求得结果.【详解】∵为奇函数,∴,∴,即:,又∵,∴,①又∵为偶函数,∴,②∴将②中换成得:,③∴将③中换成得:,④由①④得:,∴的一个周期为3,∴,将代入③得:,∴又∵,∴.故选:D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知,则实数满足()A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】把指数式改写为对数式,再结合对数运算法则、换底公式变形,利用基本不等式判断各选项.【详解】因为,所以,,,,易知,所以,A正确;,C错;显然,,,B错;,D正确.故选:AD.10.下列命题中,正确的命题是()A.数据1,3,4,5,6,8,10的第60百分位数为5B.若随机变量,,则C.若随机变量,则取最大值时或4D.某小组调查5名男生和5名女生的成绩,其中男生成绩的平均数为9,方差为11;女生成绩的平均数为7,方差为8,则该10人成绩的方差为【答案】BCD【解析】【分析】对于A:直接求出第60百分位数,即可判断;对于B:由正态曲线的对称性直接求解;对于C:表示出,利用二项式系数的性质即可判断;对于D:由分层随机抽样中方差的计算公式直接求解.【详解】对于A:数据1,3,4,5,6,8,10一共有7个.因为,所以其第60百分位数为第5个,为6.故A错误;对于B:因为随机变量,由正态曲线的对称性可得:,所以,所以.故B正确;对于C:因为随机变量,所以.所以要使最大,只需最大.由二项式系数的性质可得:当或4时,最大.故C正确;对于D:由题意可得男生成绩的平均数为9,方差为11,记为.女生成绩的平均数为7,方差为8,记为.所以全部10名学生的成绩的平均数为.由分层随机抽样中方差的计算公式可得:.故D正确.故选:BCD11.已知点,,且点在圆上,为圆心,则下列结论正确的是()A.直线与圆相交所得的弦长为4B.的最大值为C.的面积的最大值为2D.当最大时,的面积为1【答案】ABD【解析】【分析】由圆的方程得圆C是以为圆心,以2为半径的圆,根据圆上点与两定点及直线MN的位置关系,分析选项正误.【详解】圆C:,即,所以圆C是以为圆心,以2为半径的圆.对于A,直线MN的方程为,过圆心,所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4,故A项正确;对于B,,当点P为MN的延长线与圆的交点时,等号成立,故B项正确;对于C,设点P到直线MN的距离为d,则,因为直线MN过圆心,所以当时,最大为,故C项错误;对于D,当MP与圆C相切时,最大,不妨设,此时,故D项正确.故选:ABD.12.已知函数,下列关于该函数的结论正确的是()A.的图象关于直线对称B.的一个周期是C.在区间上单调递增D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式判断与是否相等判断A,判断与是否相等判断B,利用三角函数及复合函数的单调性判断C、D.【详解】已知,对于A,,故A正确;对于B,,故B正确;对于C,,则,又函数连续,故C错误;对于D,因为,当时,所以的最大值为,当时,,,也取得最大值,所以的最大值为,故D正确;故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中二项式系数最大的一项是________(用数字作答).【答案】70【解析】【分析】利用二项式系数的性质直接求得.【详解】的二项展开式有9项,其每项的二项式系数为.由二项式系数的性质可得:当时,最大.故答案为:70.14.已知向量满足,对任意的的最小值为,则与的夹角为________.【答案】【解析】【分析】利用模的计算得到恒成立,判断出取等号的条件,即可求出与的夹角.【详解】因为向量满足,所以向量满足.设与的夹角为所以因为任意的的最小值为,所以恒成立,配方后可得:恒成立,所以当时,取得最小值3,此时,解得:.又因为,所以.因为,所以.故答案为:.15.已知函数,则不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】令,判断的奇偶性与单调性,则问题转化为,即,即可得到自变量的不等式,解得即可.【详解】因为,令,则,则函数为偶函数,又,当时,,,所以,所以在上单调递增,又,由可得,即,即,所以,解得,即不等式的解集是.故答案为:16.设双曲线的两个焦点为、,点是圆与双曲线的一个公共点,,则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】运用双曲线的定义、向量加法及数量积、余弦定理计算可得结果.【详解】由题意知,点P在双曲线E上,不妨取设,则由双曲线的定义知,,①因为O为的中点,所以,所以,又因为点P在圆上,所以,所以,即:,②又因为在△中,由余弦定理得:,即:,③由①②③得,所以.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是首项为1的等差数列,公差,设数列的前项和为,且,,成等比数列.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用等比中项的意义、等差数列前n项和公式求解作答.(2)令,判断数列的单调性,确定正数项、负数项,再结合等差数列前n项和公式分段求和作答.【小问1详解】因为成等比数列,则有,即,而,解得,则,所以的通项公式是.【小问2详解】由(1)知,令,则数列为递增数列,其前4项为负值,从第5项开始为正值,设的前项和为,则,若,,若,,所以.18.如图,在四棱锥中,底面是正方形,,,二面角的大小为.(1)证明:平面平面;(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据已知条件及等腰三角形的三线合一定理,利用线面垂直的判定和性质定理及二面角的平面角的定义,结合余弦定理、勾股定理的逆定理及面面垂直的判定定理即可求解;(2)根据(1)的结论,建立空间直线坐标系,求出相关点的坐标及直线的方向向量和平面的法向量,利用向量的夹角公式,结合线面角与向量的夹角的关系即可求解.【小问1详解】设的中点分别,连接,因为底面是正方形,,所以,,又,平面,所以平面,又平面,所以.所以是二面角的平面角,即,又,所以,解得,因为,所以,又,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面PBC.【小问2详解】由(1)知平面平面,以为坐标原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示则,,,,,,.设平面的一个法向量为,则,即,令,则,所以.设与平面所成角为,则,所以与平面所成角的正弦值为.19.某校在一次庆祝活动中,设计了一个“套圈游戏”,规则如下:每人3个套圈,向,两个目标投掷,先向目标掷一次,套中得1分,没有套中不得分,再向目标连续掷两次,每套中一次得2分,没套中不得分,根据累计得分发放奖品.已知小明每投掷一次,套中目标的概率为,套中目标的概率为,假设小明每次投掷的结果相互独立,累计得分记为.(1)求小明恰好套中2次的概率;(2)求的分布列及数学期望.【答案】(1);(2)分布列见解析;期望为.【解析】【分析】(1)分析出小明恰好套中2次包括:套中,各一次和未套中,套中两次.分别求概率即可得到答案;(2)由题意可得:的可能取值为0,1,2,3,4,5.分别求概率,得到分布列,求出数学期望.【小问1详解】小明恰好套中2次包括:套中,各一次和未套中,套中两次.所以套中,各一次的概率为,未套中,套中两次的概率未,所以小明恰好套中2次的概率.【小问2详解】由题意可得:的可能取值为0,1,2,3,4,5,,,,,.所以的分布列为012345所以.20.设的内角、、的对边分别为、、,已知.(1)判断的形状,并说明理由;(2)求的最小值.【答案】(1)钝角三角形,理由见解析(2)【解析】【分析】(1)利用二倍角公式得到,即可得到,即可得到或,从而得到或,再说明,即可得解;(2)利用正弦定理将边化角,再根据(1)中的结论可得,再利用基本不等式计算可得.【小问1详解】解:为钝角三角形,证明如下:由,则有,所以,因为,所以,则为锐角.所以,所以或,则或,由题意知,所以,所以,所以,故为钝角三角形.小问2详解】由(1)知,,由正弦定理,有当且仅当时等号成立,由为锐角,则,所以当时取最小值.21.已知椭圆的长轴长为4,且离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆交于,两点,为坐标原点,直线,的斜率之积等于,求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由椭圆的性质列出方程,求解得出椭圆的标准方程;(2)联立直线和椭圆方程,利用韦达定理结合得出,再由距离公式、弦长公式得出的面积,最后由基本不等式得出的面积的取值范围.【小问1详解】解:椭圆的离心率为,即,长轴长为4,,,,故椭圆的方程为.【小问2详解】设,,联立,得,则,,,所以,,,原点到的距离,当时,.当时,,当且仅当时等号成立.综上,所以的面积的取值范围是【点睛】关键点睛:解决问题(2)时,关键在于由得出,结合基本不等式求出的面积的取值范围.22.已知函数.(1)若,求.(2)证明:,.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用换元法,把题意转化证明.令,,分类讨论:和,利用导数判断

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