专题22双曲线(解析版)

专题22双曲线(解析版)易错点1：焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：易错点2：双曲线的几何性质，渐近线,离心率,焦半经,通径；易错点3：直线与双曲线的位置关系忽视直线斜率与渐近线平行的情况；在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).题组一：定义与方程1.(20161)已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,EQ\R(3))C.(0,3)D.(0,EQ\R(3))【解析】由题意知c=2,,]因为方程EQ\F(x2,m2+n)表示双曲线，所以解得故选A.2.(2012)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为()A.B.C.D.【解析】设等轴双曲线C:，的准线因为与抛物线的准线交于两点，，所以,将A点代入双曲线方程得，故选C.3.双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为()A.B.或—C.D.【解析】当焦点在x轴时，渐进线方程为，所以，解得，所以双曲线的方程为.焦点在y轴时，渐进线方程为，所以，解得，所以双曲线的方程为.故选D.4.(2010)已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为()A.B.C.D.【解析】由双曲线的中心为原点，是的焦点可设双曲线的方程为，设，即@则，则，故的方程式为．应选B．5．(20173)已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为()A． B． C． D．【解析】双曲线的一条渐近线方程为，得=1\*GB3①，椭圆的焦点为，所以c=3=2\*GB3②,又=3\*GB3③，联立=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③得，则C的方程为，故选B题组二：焦点三角形6.(20151)已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是()A.(-，) B.(-，)C.(，)D.(，)【解析】法1：根据题意的坐标分别为，\所以所以所以.故选A.秒杀法2：当由等面积得：因为，所以为钝角，根据变化规律，可得故选A.是双曲线右支上的一点，F1,F2分别是左,右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为.【解析】如图所示：，设内切圆与x轴的切点是点H，PF1,PF2与内切圆的切点分别为M,N，由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|,所以|MF1|-|NF2|=2a,即|HF1|-|HF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，所以(x+c)-(c-x)=2a,得x=a.性质:双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；当P点在双曲线左支时，切点为左顶点；当P点在双曲线右支时，切点为右顶点.#8.已知F1,F2为双曲线C：的左,右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为________.【解析】法1：设，可知,根据双曲线定义=1\*GB3①，在ΔPF1F2中，根据余弦定理=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②得，设P到x轴得距离为h，则秒杀法2：由等面积得：设P到x轴得距离为h，故答案为：—性质:.双曲线上任意一点与两焦点,构成的三角形:，9.如果分别是双曲线的左,右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是．【解析】由题意.由双曲线得定义知，所以的周长是，故答案为：28性质：分别是双曲线的左,右焦点，是双曲线左支上过点的弦，则的周长是题组三：渐进线10．(2018全国卷Ⅱ)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A． B． C． D．,【解析】解法一由题意知，，所以，所以，所以，所以该双曲线的渐近线方程为，故选A．解法二由，得，所以该双曲线的渐近线方程为．故选A．11.(20131)已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为()A.B.C.D.【解析】由题意，所以的渐近线方程为故选C.12.(20141)已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为()A.C.D.【解析】由C:得即，则点F到C得一条渐近线得距离故选A.性质：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.$13.设F1,F2分别为双曲线的左,右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为____________.【解析】法1：因为|PF2|＝|F1F2|=2c,由双曲线的定义得|PF1|=PF2|+2a=2c+2a,过点F作F2Q⊥PF1于Q点，则|F2Q|=2a,等腰ΔPF1F2中，所以即可得，双曲线的渐近线方程为，即法2：因为|PF2|＝|F1F2|，所以ΔPF1F2是等腰三角形，点F在直线PF1的投影为中点，由勾股定理得|PF2|=4b,又根据双曲线得定义知：4b-2c=2a,即c=2b-a=1\*GB3①,又因为=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②得，双曲线的渐近线方程为，即14．(20193)双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为A．B．C．D．【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为：,故选A．，题组四：离心率15．(2011)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为____.【解析】通径|AB|=得，选B16.(20152)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_____.【解析】根据题意，设双曲线，不妨设点M在第一象限，所以|AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH⊥x轴于点H，则∠MBH=600，故|BH|=a,将点M代入得a=b,所以17.(20162)已知F1，F2是双曲线E的左，右焦点，点M在E上，MF1与轴垂直，,则E的离心率为_____.【解析】设双曲线方程为EQ\F(x2,a2)–EQ\F(y2,b2)=1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MD⊥x轴，垂足为D．在Rt△BMD中，|BD|=a，|MD|=EQ\R(,3)a，故点M的坐标为M(2a,EQ\r(,3)a)，代入双曲线方程得EQ\F(4a2,a2)–EQ\F(3a2,b2)=1，化简得a2=b2，∴e=EQ\r(,\F(c2,a2))=EQ\r(,\F(a2+b2,a2))=EQ\r(,2)．：18.(20172)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为___.【解析】双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，圆心到弦的距离也为，所以，又，所以得，所以离心率

19．(20171)已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若，则的离心率为________.【解析】由题意A到渐近线得距离为：可得：20．(20183)设F1，F2是双曲线C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|=eq\r(6)|OP|，则C的离心率为_____.【解析】法1：不妨设一条渐近线的方程为，则到的距离，在中，，所以，！所以，又，所以在与中，根据余弦定理得，即，得．所以．法2：选C设P(t,-eq\f(b,a)t),∵PF2与y=-eq\f(b,a)x垂直，∴eq\f(-bt,a(t-c))=eq\f(a,b)，解得t=eq\f(a2,c)即P(eq\f(a2,c),-eq\f(ab,c))∴|OP|=eq\r((\f(a2,c))2+(-\f(ab,c))2)=a，|PF1|=eq\r((\f(a2,c)+c)2+(-\f(ab,c))2)，依题有(eq\f(a2,c)+c)2+(-eq\f(ab,c))2=6a2，化简得c2=3a2，即21．(20191)已知双曲线的左,右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为．【解析】如图，，，∴OA⊥F1B，则F1B：=1\*GB3①，渐近线OB为=2\*GB3②|联立=1\*GB3①=2\*GB3②，解得B，则，，又，所以整理得：，故的离心率为22．(20192)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为_____.【解析】法1：由题意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故选A．，法2：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径，所以，代入得，所以，解得.故选A．法3：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A．题组五：距离23.(20181)已知双曲线C：eq\f(x2,3)-y