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文档简介
习题6.1
1.试说出下列各微分方程的阶数.
(1)x(y)2-2W+x=0;(2)yn+10y=3x2;
(3)盯'"+2y"+/y=0;(4)y⑸+cosy+4x=0;
(5)y⑷一5凸'=0;(6)ym++2y'+3yr+y=九?+1.
解:(1)为一•阶;(2)二阶;(3)三阶;(4)五阶;(5)四阶;(6)三阶.
2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解.
(1);(2)yn+y=0,y=3sinx-4cosx;
(3)yN-2yf+y=0,y=x2ex;(4)y"-2y'+y=0,y=e"+6一”.
解:
(1)由y=5/算得y=10x,因此xyf=xA0x=10x2;X2y=10x2,所以得到
xyf=2y,即表明y=5一是微分方程孙,=2y的解.
(2)由y=3sin尤一4cosx算得y'=3cosx+4sinx,y,r=-3sinx+4cosx.
因此得到y"+y'=(-3sinx+4cosx)+(3sinx_4cosx)=0,表明
y=3sinx-4cos冗是微分方程y"+y'=0的解.
(3)由2=自力算得y'=(x2+2x)ex,y»=(x2+4x+2).
因此得到yH-2y'+y=(x2+4x+2)ex-2(x2+2x)ex+x2ex=2*0,表明
y=/-不是微分方程-2y'+y=0的解.
(4)由丁="+*'算得)/=/一二,y"=ex+e-x.
因此得到y,-2y'+y=(ex+)-2(ex-)+(ex+e-x)=3e-x-0,表明
y=e'+不是微分方程y"-2y'+y=0的解.
3.在下列各题中,验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解.
(1)(x-2y)y'-2x-y,x2-xy+y2-C;
(2)(盯-x)y"+了+3-2了=0,y=ln(xy).
解:
(1)x2-xy+y2=C两边关于x求导得
2x-(y+xy')+2yy'=0,即得(x-2y)y'=2x-y.
上式即可说明x2-孙+V=。是(x-2y)y'=2x-y的解.
(2)方程y=ln(xy)可化为
y=Inx+lny①
①两边关于x求导得
,11,
y^—+—y
xy
即xyy'=y+xy'②
②两边关于x再求导得
+xy'y'+xyy"=+(/+xy")③
由③整理得到
(xy-x)y"+x(y,)2+yy'-2y'=0.
上式即可说明y=ln(xy)是(封一x)y"+x(yr)2+W-2y'=0的解
4.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的初始条件.
(1)x2-y2-C,y|-5;
x=0
(2)y=(a+Gx>2,,y|o=O,y[o=l;
(3)y=Cysin(x-C9),y|=Ly'|=0.
解:
(1)将初始条件y|=5代入方程/一丁=。中,立得。=02-52=一25.
x=0
(2)由y=(q+。2》好、①,得
2x
y=(C2+2C,+2C2x)e②
将初始条件y|=0,/|=1分别代入①、②式得
x=0x=0
(C,=0,
\1解得G=℃2=L
(3)由y=Gsin(x-G)①,得
r
y=Gcos(x-C2)②
将初始条件yI=l,y|=0.分别代入①、②式得
x=7tx,=n
GsinC2=1,TT
解得G=±1,C2=2kTV±—.
-C]cosC2=0,
5.验证y=C?R①(。为任意常数)是方程3y—孙,=o的通解,并求满足初始条件y|,=上1
-t=,3
的特解.
解:由了=3以2,故3),一孙'=3(。1)一乂3以2)=0,因此y=Cx3是方程3y—x/=0
的通解.又将初始条件y|、T=」代入①,解得c=;.所以,满足初始条件的特解
1,
为y=-x3.
习题6.2
1.求下列微分方程的通解.
(I)xyf-ylny=0;(2)31+5x-5yr=0;
(3)y/l—x2yr=J1-y2;⑷V-H=a(y2+4);
(5)(1+/历'-e'=0;(6)2x2yyr-y2-1=0;
(7)(l+x2)->>lny=0;(8)x2y'-(x-l)y=0;
(10)生=105;
(9)cosxsinydx+sinxcosydy=0;
dx
解:
(1)xyf-y\ny=0;①
①可化为x—=y\ny②
dx
②为可分岗变量型.分圜变量且两边积分得
{-—dy-f—Jx=>ln(lny)=lnx+InC
}y\ny}x
所以原方程的通解为丁二/,
(2)3x2+5x-5/=0;①
①可化为y'=jx2+X,所以原方程的通解为
y=x2+x卜--xi+^x2+C.
(3)yll-x2y'=yl\-y2;①
①为可分离变量型.分离变量且两边积分得
f,1dy=f,1dx=>arcsinx=arcsiny+C.
(4)y'-xy'a(y2+y,);①
①可化为上办,=---dx
y\-x-a
上式两边积分得\\dy=af—!—dx^--=-aln|l-x-a|-C
JyJl-x-ay
1
所以原方程的通解为y=--------------
ciln|l-x-a]+C
(5)(\+ex)yy'-ex=0;①
①可化为ydy=——dx
e+1
上式两边积分得「由=/谈三公=(:/=]n(i+/)+;inC,
所以原方程的通解为e'2=C(l+ex/.
(6)2x2yy'-y2-1=0;①
2〉,1,
①可化为-Ydy=dx
l+yx
上式两边积分得jp-Jx=>ln(l+y2)--^+lnC,
1
所以原方程的通解为l+y2=CeG.
(7)(l+x2)y,-ylny=0;①
①可化为一--dy=-二dx
y\nyl+x
上式两边积分得力=2clx=>ln(lny)=arctanx+InC,
J)'InyJj
所以原方程的通解为iny^CearMnx.
(8)x2y-(x-l)y=0;①
1x—1
①可化为-dy^^-dx
yx
上式两边积分得---dx=>Iny=In尤4--FInC,
X
I
所以原方程的通解为y=Cxex.
(9)cosxsinydx+sinxcosydy=0;①
-cosy.cosx,
①可化为——-dy=------dx
sinysinx
rcosy]rcosx,..[.[厂
上式两边积分得―—-ay=-———dxnInsin=-lnsinx4-lnC,
JsinyJsinx
所以原方程的通解为sinxsiny=C.
(10)生=10";①
dx
①可化为WvJy=10v^
上式两边积分得flO-vJy=[10vJx=>--=—+—C,
JJIn10In1010
所以原方程的通解为10'+10-v=c.
2.求下列微分方程满足初始条件的特解.
(1)了=/1,):|=0;
x=0
(2)cosxsinydy=cosysinxdx,y|=一
A=o4
(3)y'sinx=ylny,y|»=e;
x=2
x
(4)cosydx+(1+e~)sinydy=0,y|()~~
(5)xdy+2ydy^0,y\=1.
x=2
解:
(1)y'^e2x-y,y\=0;①
x=0
①可化为"力=e2xdx
上式两边积分得
^eydy==#'+#
故原方程的通解为2ey=e2x+C②
将v|=0代入②解得。=1.所以原方程的特解为2e>'=e2*+l
x=O
(2)cosxsinyay=cosysinxdx,y\=;①
A-O4
cmALsiny.sinx,
①可化为一-dy=-------dx
cosycosx
上式两边积分得
fsiny,rsinx,..
----ay=-------Incosy=-Incosx+lncosC
Jcosy.Jcosx
故原方程的通解为cosx=Ccosy②
将v|=;代入②解得C=J2.所以原方程的特解为cosx=J2cosy
x=o4
(3)亦inx=yIny,y\k=e;①
r=
2
①可化为」一办;Jx
ylnysinx
上式两边积分得
[―5—flX
dy=------dxln(lny)=Intan—+InC
JylnyJsinx2
X
tan-
故原方程的通解为y=Ce2②
(注意:
sec2-]./\
\-^—dx=[-----------------dx=f-------—dx=f-------d\tan—=Intan—+C)
Jsinx.%xJx22J2
2sin—.cos—tan—tan-v7
2222
X
将4=e代入②解得C=1.所以原方程的特解为y=丁方.
x=—
A
(4)cosydx+(1+e-)sinydy=0,y|①
Msiny,
①可化为——^-dy=-————dx
cosyl+e-x
上式两边积分得
O=一号公n-,nCOSy=一J三公
=>Insecy=-ln(l+ev)+lnC
故原方程的通解为secy(l+e')=C②
jr
将乂=二代入②解得C=2&.所以原方程的特解为sec),(1+/)=2V2.
x=04
(5)xdy+2ydx=0,y\=1.
x=2①
12
①可化为-dy=--dx
yX
将v|=1代入②解得C=4.所以原方程的特解为x2y=4.
x=2
3.质量为1g的质点受外力作用做直线运动,该外力的大小和时间成正比,和质点的速度成
反比.在f=10(s)时,速度等于50(cm/s),外力为4g.(cm//).问从运动开始经过了一分
钟后的速度是多少?
解:(一)设在时刻,质点的速度为v(。,加速度为。《),质点所受的外力为F(f).
由题意知
F=k-(其中女>0为常数)①
v
又据题意,当f=10(5)时,u=50(cm/s),外力为4g.em/d.故将=10,v=50,F=4
F.v4x50
代入①式,可求得k---=-----=20
t10
因此F=20-②
V
(二)由根牛二定律,有F=ma(机=1),即
dv„
20-=—,(3)
vdt
③为可分离的,分离变量且两边积分,得:
1,,1
2Qtdt^-v2=10t2+-C
22
即v2=20产+C④
将初始条件v|=50代入④,得C=5()2-20x102=500,所以
7=10
v=720r+5xl02⑤
(三)当f=l(min)=60(s)时,由⑤式可算得
v=420x6()2+500=772500~269.3(c〃?/s)
4.已知曲线在任一点处的切线斜率等于这个点的纵坐标,且曲线通过点(0,1),求该曲线的方
程.
解:设此曲线方程为y=y(x),山题意知
y'=y,y|c=i①
x=0
①为可分离的,分离变量且两边积分,得:
j—ify=jt/x=>Iny=x+InC
所以方程①的通解为
y=Cex②
将初始条件y|=1代入②,解得C=1.所以所求曲线方程为y=".
x=0
5.求下列微分方程的通解.
(1)—+y^e~x;(2)xyf+y=x2+3x+2;
dx
(3)y'+ycosx=e-";(4)y'+ytanx=sin2x;
生+2xy=4x;
(5)(6)y--=xsinx;
dxX
?+3y=2;
(7)yr+ay=hsinx;(8)
ax
解:
虫+y=e:;
(1)
dx
原方程为一阶线性微分方程,由公式其通解为
e~xexdx+C
=e-v.[jjx+c]=^-v[x+c]=xe~x+Ce~x.
(2)孙'+),=/+3x+2;
原方程即为y'+,y=x+3+2工②
XX
②为一阶线性微分方程,由公式其通解为
%+3+2—+c
X
x+3+2—卜dx+C=X23
-1「X31—3x~+22xC+C----1—x+2+C-
x132J32
(3)+ycosx=e-sinx;
原方程为一阶线性微分方程,由公式其通解为
y=一如"[卜』Z+C=e-s'nx[\e-<,n'e<,n'dx+c]
=e-sint.[px+c]=e-sinx[x+C]=xe-sinx+Ce-sinx.
(4)y'+ytanx=sin2x;
原方程为一阶线性微分方程,山公式其通解为
y=[kin2xe^nxd'dx+C=elncost[jsinlxe^xdx+c]
=cosx.fsin2x----dx-\-C
Jcosx
=cosx[-2cosx+C]
dy
(5)—+2xy=4x;
dx
原方程为一阶线性微分方程,由公式其通解为
_|2xdxx
y=eJj*4xJ+C=e~+c]
=ex.卜卜'dQ2)+(7]=e'2/+c]=2+Ce'.
(6)yr--=xsinx;
x
原方程为一阶线性微分方程,由公式其通解为
y=e.JxsinxJ,dx+C=^lnv[jxsinxe-lnvJx+c]
=x.[jsinxdx+c]=x[-cosx+C]=-xcosx+Cx.
(7)y'+纱=/?sinx;
原方程为一阶线性微分方程,山公式其通解为
y=e[历sinxe"dx+C=。一以[p?sinxeaxdx+c]
—-sinxeax----cosxeax+C.
ci4-1a~+1
其中
jsinxeaxdx=—jsinxd(eax)=—[sinxeax-^eaxcosxt/x]
所以(sinxe^dx=〃—sinxe~ax-'cosxeax
J1+tz\_a
----sinxeax——COSV.
a2+1a24-1
(8)虫+3),=2;
dx
原方程为一阶线性微分方程,山公式其通解为
y=eJ?工+C=[J2e"dx+C]
=e—3x.W/x+c=*+。6一3)
[3J3
6.求下列微分方程满足初始条件的特解.
1\
z)-jtanx=secx,y\=0;
x=0
\
2z)
⑶今+3y=8,)L=2;
dy2-3x2
(4)dx+x3>=1,九=o;
⑸y'-y^2xe\y\=1;
x=0
(6)@+ycotx=5eC|.=-4.
dx
解:
(1)--ytanx=secx,y\-0;
dxr=0
原方程为一阶线性微分方程,由公式其通解为
y=/卜13ns.[卜ecxe「Wx+C=e,8s.[jsecxeln,;<,SA^+c]
secx[jrfx+C=secx[x+C]=xsecx+Csecx.
又将初始条件y\=0代入上式解得C=0.所以原方程的特解为y=xsecx.
x=0
,八dyysinx.,
(2)—+-=-----,y\=1;
dxxx
原方程即为y'+-y^—①
XX
①为一阶线性微分方程,由公式其通解为
y=喏m+C=喏龈Zx+C
=—.[fsinxA-4-c]="[-cosx+C]=-C°SX+C—.②
xJxxx
又将初始条件y|=1代入②式解得C=»-1.所以原方程的特解为
x=n
y=—(7T-I-cosx).
X
(3)农+3y=8,y|=2;①
dxx=0
①为一阶线性微分方程,由公式其通解为
y=ej>8+C=[j8e"dx+c]
_-3.r8c3*t6
=e.—e+C②
33
又将初始条件v|=2代入②式解得C=-W.所以原方程的特解为
x=03
82_3x2(._3x)
y=----e、=—\4—eI
333、r
/,、dy2-3x2.।„
(4)+*y=Lyl=0;①
dxx3日
①为一阶线性微分方程,由公式其通解为
-产咨X.J智)-4+3InAr--^--31n.t
y=e3x.Adx+C=e「\erdx+C
=xV'2.x2dx+C=“HT+C
4「1,1-
=x3ex~.—eJ+C=Cx3exJ+-X3.②
22
又将初始条件y|=0代入②式解得C=所以原方程的特解为
X=12e
y=---1x3ex7+-1x3.
2e2
(5)yf-y=2xex,y\=1;①
J=0
①为一阶线性微分方程,由公式其通解为
y=eJ".ji2xe*eJdx+C==e"[j2Wdx+c]
=ex\x2+c]=x2ex+Cex.②
又将初始条件y|=1代入②式解得C=1.所以原方程的特解为
x=0
y=x2ex+ex.
(6)—+ycotx=5ecos(,y|万=一4.①
dx户3
①为一阶线性微分方程,由公式其通解为
-[cotxdxJ56cos7+C=e,叫佟8szi公+
y=eJc
=.[j5ecosxsinxdx+c]=\-j5eCOSAJ(cosx)+c]
sinx
=-\-5ecmx+c]②
sinx
又将初始条件y|.=-4代入②式解得。=1.所以原方程的特解为
x=—
2
y=—!—[-5^COSJf+l],即ysinx+5ec°sx=l.
sinx
7.已知一阶微分方程生=3x①,求
dx
(1)它的通解;
(2)过点(2,5)的特解;
(3)与直线y=2x-1相切的曲线方程.
解:
(1)由①得方程的通解为y=hxdx=-x2+C.②
J2
3
(2)yl、=2=5代入②解得C=—1,所以特解为y=1x2-l.
(3)设曲线丁=//+。与直线),二2%一1相切于点(%,%),则由题意应有
2
—x+|=3x0=2③
l2)E0
且为=2%-1④
21]
将③、④联立解得/=±,凡=-上・故得到初始条件田2=-一,
333
3I
将条件其代入②,易算得。=一1.所以,所求曲线为y=-x2--.
23
8.写出山下列条件确定的曲线所满足的微分方程.
(1)曲线在点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方;
(2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为。,且线段PQ被y轴平分.
解:
(1)y'=x2;
(2)曲线上点P(x,y)处的法线为
一旧-x)①
令丫=0,解得X=x+yy',故°(x+yy',O).由题意知
(x+W)+x=0,即y=_2x
2y
9.-质量为机的质点做直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与
时间成正比(比例系数为匕)的力作用于它,此外,还受一与速度成正比(比例系数为期)
的阻力的作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.
解:设在时刻/质点的速度为v(f),则由牛二定律有
k.t-kv-m—①且=0.
12
dt-=o
①可化为
dvk[/
——+二y="②
dtmm
②为为一阶线性微分方程,由公式其通解为
。=勺?.所以原方程的特解为
又将初始条件1,L,=0代入③式解得
k2
10.求下列齐次方程的通解.
(1)X—=y+xsec—;(2)(x+y)dx+(y-x)dy=0;
dxx
yyy
(3)xy-y-xex=0;(4)xysin---ysin—+x=0.
xx
11.求贝努利方程的通解.
(1)—+y=y2(cosx-sinx);(2)—~3xy=xy2;
dx
⑶崇2x)y4;(4)--y=xy5.
dx
解:
(1)—+y=y2(cosx-sinx);①
dx
令Z(X)=y「2=yT,则呸=_尸包,①可化为
dxdx
--z=(sinx-cosx)②
dx
②为一阶线性微分方程.由公式,有
z=e[j(sinx-cosx)e,"5+(?=[j(sinx-cosx)e~xdx+C
x—cosx-cosxM(eT)(分部)
x-cosx)-je-A(cosx+sinx)dx\
-e~x(sinx-cosx)+Je-A(cosx+sinx)dx
cosx+sinx"("x)(分部)
=-e~x(sinx-cosx)-\e~x(cosx+sinx)-je”(<cosx-sinx词
=-(sinx-cosx)-e"x(cosx+sinx)-『,(sinx-cos无(兜圈子)
故J(sinx-cosx)eTdx=-g"'sinx,所以
z-ex--e~xsinx+C=Cexsinx.
22
所以,原方程的通解为-=Ce'--sinx.
y2
(2)———3xy-xy;①
dx
令Z(x)=/2=/,则以=—y-2dy,①可化为
dxdx
—+3xz=-x②
dx
②为一阶线性微分方程.由公式,有
r——133
-©drr1,-Q*f)1
Z-e」,l-xe1dx+—C-e--\xe-dx+—C
J3J3
12/11
22
-e+-C^-C.e2
3333
aa
所以,原方程的通解为-x2+lnl+-=C.(C=lnC.)
2y
⑶华+=;(l-2x)y4;①
ax33
令z(x)=yi=y-3,则在=_3y-4包,①可化为
dxdx
--z=2x-l②
dx
②为一阶线性微分方程.由公式,有
z-e।J(2x-l)eJ""dx+C=e'[j(2x-l)e-vJx+c]
=e*1J(2x-1)+c]=e'(2x-Ip*-21+C]=-1-2x+C.ex.
即\=-\-2x+C.ex.
y
(4)^--y=xy5.①
dx-
令z(x)=y-5=yY,则也=_4y-5包,①可化为
dxdx
—+4z=-4x②
dx
②为--阶线性微分方程.由公式,有
z=eJ4".[卜4xe"%x+C=e~4x[j-4xe4'dx+C]
4x
=e<1—Jxd(e4x)+c]=e-4'-xe^+Le^+C=1-x+C.^.
即——=—x+C.e八.
y44
12.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解.
⑴孚=卜+4;
ax
(2)生=」一+1;
dxx-y
(3)xyr+y=y(lnx+Iny);
(4)yr=y2+2(sinx-l)y4-+sin2x-2sinx-cosx+l.
解:
(1)生=(x+y)2;①
ax
令〃(x)=x+y,贝ij—=1+—,HP—=--1,
dxdxdxdx
①化为—-1=«2②
dx
②为可分离的,分离变量且两边积分,得:
—二du-\dx=>arctanu=x+C
l+M2」
即u=tan(x+C),所以原方程的通解为x+y=tan(x+C),即
y=tan(x+C)-x.
(2)生=」一+1;①
dxx-y
令M(x)=x-y,则也=1-电,即立=-也+1,
dxdxdxdx
①化为一生+1=工+1②
dxu
②为可分离的,分离变量且两边积分,得:
udu=-|jx=>^w2=-x+C
即U2=-2X+C,所以原方程的通解为仁一丁丫二一21+C.
(3)孙,+y=y(inx+lny);
原方程可化为xy'+y=y.In(孙)①
令w(x)=x.y,贝ij—=xy'+y,①可化为
dx
duu.
——=—.Inw②
dxx
②为可分离的,分离变量且两边积分,得:
1,
.一du—=>ln(lnw)=lnx+lnC
u
即lnu=Cx=>u=ecx,所以原方程的通解为肛=e5.即y^-ecx
X
(4)y'=y2+2(sinx-l)y++sin2x-2sinx-cosx+l.
2
由①得y'=[y+sin/-l『一cosx+l,故y'+cosx=[y+sinx-1]②
令u[x}=y+sinx-l,贝ij—=xyf+y②可化为
dxf
du2
—=u②
dx
②为可分离的,分离变量且两边积分,得:
i
=J"”U1+C
」一.即・
所以原方程的通解为y+sinx-l=-y=1I-sinx----1--
x+Cx+C
习题6.3
1.求下列各微分方程的通解.
(1)y"=x+sinx;(2)yy"+y'2=y'
(4)y"=y'+x;
(5)孙"+y'=0;(6))」(1+e')+y,=0;
(7)丁"=1+产(4)y3y“_]=o
解:⑴y"=x+sinx;
y'=j(x+sinx)rfx=^x2-cosx+C,;
y'=—x2-cosx+G上x=-sinx+Gx+G.
⑵》"+42=y,;
令p(y)=V则),"=〃亚,原方程化为:y.p包+/=〃,即
ayay
小*一1]
o①
IdyJ
当〃*0时,①可化为
dp,„
y.f+〃-1=0②
dy
②为可分离的.当P"时,分离变量且两边积分,得:
^Y~-dp=^—dy=>-ln(l-p)=\ny-InC{
即y(l-p)=G
所以③
③仍为可分离变量的.分离变量且两边积分,得:
(y-G)+Gdy%
小=>/=
y-G।
ny+Gln(y-G)=x+C2.④
(3)y"-—二";
-1+x2
y'=[-^rdx-arctanx+C,;
Jl+x21
X
y=J(arctanx+G2=Jarctanx6k+C|X=x.arctanx-2dx+C}x
2
=x.arctanx-ln(l+x)+C1x+C2.
(4)y"=y'+x;
令p(X)=yWy〃=农,原方程化为:虫—p=x①
axax
①为一阶线性微分方程.由公式,有
p=eJkA.JxJ"dx+G=e'[卜/'dx+cj=ex(-xe~x-e~x+Cj)
=Ge'~I~x
即y^C^-l-x
x1
所以'=J(Ci,-1-x)dx-C}e-x-^x+C2.
(5)xy"+y'=O;
令p(x)=)/则上半,原方程化为:x半+p=0①
dxax
①为可分离的.分离变量且两边积分得
即
所以>>=jci-^/x=C1ln|x|+C2.
(6)y”(l+e*)+y'=O:
令P(x)=V则y"=包■,原方程化为:—.(l+ev)+p=0①
dxax
①为可分离的.分离变量且两边积分得
Inp=ln(l+e-A)+InC,=>p-G.(1+e-*)
即y'=G(l+e-x)
所以y=G"+
2
(7)/=i+y;
令p(x)=y'则y"=包■,原方程化为:—=l+p2①
axdx
①为可分离的.分离变量且两边积分得
f一二"dp=\dx=>arctanp-x+Ct=>p-tan(x+C,)
即y'=tan(x+C,)
所以y=Jtan(x+G》x=-lncos(x+G)+C2.
(8)y3/-l=0.
令p(y)=y'则y"=,原方程化为:
dy
/.p宓—1=0
dy
①为可分离变量型.分离变量且两边积分得
JpdP
11.21.
=>-p2=——y+-C..
2221
=P=x-----
y
即n鱼二叵H
dxy
③为可分离变量型.分离变量且两边积分得
=^-.2“]),2-1=x+C2
Gy2_]C2「
化简得=(Gx+(C2=C,C2)
2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解.
(1)y'"=e2x,y\=yf|=y"\=0;
%=1X=\A-l
(2)y"=e2y,y\=y'\=0;
A-0A-0
(3)y"=36,)L=i,y'lLI;
(4)y"+y'2I,MJ儿。*
解:
(1)y'"^e2x,y\=y,|=)”|=0;
X=IX=Ix=\
y"—^e2'dx-ge“'+G;
①
#;故y"=/x.12
将条件y"\=0代入①,得G=dx=—e2x—e
A=122
11,2lrx=^e2xe2x+C;②
-e2x—e2
y=22
将
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