广西百所名校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（含答案解析）

高一年级2024年春季学期入学联合检测卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在木试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合.则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可知，.【详解】由题可知，.故选：A.2.设，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确．【详解】因，所以，则，则A选项错误；因为，所以，又0，则，即，所以，即，则B选项正确；当时，，则C选项错误；因为，由B选项可知，所以，则D选项错误.故选：B3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用集合的包含关系可得正确的选项.【详解】由，解得或，因为为或的真子集，则“”是“”的充分不必要条件．故选：A.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、余弦函数的性质，结合中间量即可比较大小.【详解】因为，所以．故选：D5.若.则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式，同角三角函数基本关系式及二倍角正切公式可得结果.【详解】因为，所以，所以，则.故选：D.6.已知，，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题干等式变形得出，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得最小值.【详解】因为且，，所以，则，当且仅当时，即当，时，等号成立.因此，的最小值是.故选：C.7.桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（）A.米 B.米 C.50米 D.米【答案】B【解析】【分析】利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，,,设米，则在中，米，在中，米.由余弦定理可得，即，解得.因为米，所以米.故选：B.8.已知函数在上有且只有一个最大值点（即取得最大值对应的自变量），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数最值性质列式求解即可.【详解】由，得，由题意可得，解得，即的取值范围是.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.若函数，则B.“”的否定是“”C.函数为奇函数D.函数且的图象过定点【答案】ABD【解析】【分析】代入求值判断AD，根据全称量词命题的否定是特称量词命题判断B，根据奇偶性的定义判断C.【详解】令，则，A正确；由全称量词命题否定是特称量词命题知，“”的否定是“”，B正确；的定义域为，且，故函数是偶函数，C错误；令，则，D正确.故选：ABD10.已知函数的部分图象如图所示，若，，则（）A.B.的单调递增区间为C.图象关于点对称D.图象关于直线是对称【答案】AD【解析】【分析】由锐角三角函数求出，即可得到最小正周期，从而求出，再将代入解析式中，求出，最后根据正弦函数的性质计算可得.【详解】根据图象可得，因为，，所以，则，解得.又，所以将代入，得，则，解得，因为，所以，所以，故A正确；令，解得，即函数的单调递增区间为，故B错误；因为，所以图象关于直线是对称，故C错误，D正确.故选：AD11.在中，，则的值可能是（）A.0 B.2 C.4 D.13【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理及向量的线性运算，再利用向量的极化恒等式及圆的特点即可求解.【详解】因为，所以，则外接圆的半径为2.如图所示，圆的半径为是圆的一条弦，点在圆的优弧上，是线段的中点，连接并延长交圆于点.因为，所以.因为点在圆的优弧上，所以，所以的取值范围是.故选：BC【点睛】关键点睛：利用平面向量的极化恒等式及圆的特点即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是幂函数，则__________.【答案】4【解析】【分析】利用幂函数解析式的特点及函数值的定义即可求解.【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以函数的解析式为,故.故答案为：.13.一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧长为分米，弧长为分米，此扇环形砖雕的面积为__________平方分米.【答案】【解析】【分析】利用大扇形面积减去小扇形的面积，可得扇形砖雕的面积.【详解】设圆心角，则，解得分米，所以分米，则此扇环形砖雕的面积为平方分米.故答案为：14.已知是上的单调函数，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】函数分单调递增和单调递减两种情况结合分段函数单调性列不等式求解.【详解】若在上单调递增，则解得.若在上单调递减，则解得.故的取值范围是.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向是满足，且.（1）求向是的夹角；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律及向量的夹角公式即可求解；（2）根据（1）的结论及数量积的运算律，利用向量的模运算即可求解.【小问1详解】因为，所以.因为，所以，即.因为，所以，又因为，所以.【小问2详解】由（1）知，，且，所以，所以.16.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在上的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）解不等式可求得所求函数的单调递增区间；（2）先求的取值范围，再结合正弦函数的图象和性质求函数的值域.【小问1详解】令，解得，则的单调递增区间为.【小问2详解】因为，所以，所以.又因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以：当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值.故在上的值域为.17.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若是边的中点，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再借助三角函数的性质求解即得.（2）由已知可得，再利用向量数量积的运算律计算得解.【小问1详解】在中，由正弦定理及，得，而，即，则，又，因此，所以.【小问2详解】由是边的中点，得，又，所以.18.已知定义在上的奇函数.（1）求的值；（2）证明：在上单调递增；（3）若对任意的，都有，求的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）4【解析】【分析】（1）利用奇函数定义赋值得的方程组求解即可；（2）利用函数单调性定义证明；（3）利用函数奇偶性和单调性解不等式，转化为二次函数在上恒成立求解.【小问1详解】题意可得，解得.因为，所以，解得.经验证，符合题意.【小问2详解】证明：由（1）可知.任取，则.因为，所以，则，即.故在上单调递增.【小问3详解】不等式等价于.因为为奇函数，所以.因为在上单调递增，所以，即.因为，所以，解得，即的最大值为4.19.已知函数.（1）求的解析式；（2）求不等式的解集；（3）若存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用换元法可求得函数的解析式；（2）利用二次不等式的解法可得出不等式的解集；（3）由已知可得出，令，，可得出，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最大值，根据可求得实数的取值范围.【小问1详解】设，则.因为，所以，则.【小问2详解】不等式，即，即，则，解得，即不等式的解集为.【小问3详解】因为，所以，则不等式等价于不等式，即，即.设，则函数.故二次函数图象的对称轴方程为.当，即时，在上单调递增，则，解得，故符合题意；