（挑战压轴）专项27.1 相似三角形种8字型（2种类型）（解析版）

（挑战压轴）专项27.1相似三角形种8字型（2种类型）【方法技巧】基本模型：1.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（）A．2米 B．3米 C．米 D．米【答案】B【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CD＝3米，故选：B．2.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝2，OC＝5，AB＝4，则CD的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△AOB∽△DOC，∴＝，∴＝，∴CD＝10，故选：D．3.如图，DE∥BC，则下列比例式正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】A【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，故A符合题意；B．∵DE∥BC，∴＝，故B不符合题意；C．∵DE∥BC，∴∠D＝∠B，∠E＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，故C不符合题意；D．∵DE∥BC，∴∠D＝∠B，∠E＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，故D不符合题意；故选：A．4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝．（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD且AB∥CD，∴△AOE∽△CBO，∵AE：ED＝1：2，∴AE：AD＝1：3，∴AE：BC＝1：3，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以S△AOE：S△COB＝1：9，故选：D．5．（2022•丽江二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接AC、DE交于点F，S△AEF：S△CDF＝4：25，则为（）A．2：5 B．5：2 C．2：7 D．4：25【答案】A【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，∴△AEF∽△CDF，∴S△AEF：S△CDF＝，∵S△AEF：S△CDF＝4：25，∴＝，故选：A．6.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．（1）求证：BC＝CD+ED；（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴AE＝CD，∵AD＝AE+DE，∴BC＝CD+ED；（2）∵AF＝3，AC＝8，∴CF＝AC﹣AF＝8﹣3＝5，∵∠AEB＝∠EBC，∠AFE＝∠BFC，∴△AFE∽△CFB，∴＝＝，∴设AE＝3x，BC＝5x，∴AB＝AE＝3x，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴（3x）2+82＝（5x）2，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），∴AE＝3x＝6，∴AE的长为6．7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB延长线上一点，连接DE交AC于点F，交BC于点G．（1）求证：；（2）若DF＝6，FG＝4，求GE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠ADF＝∠DGC，∠DAF＝∠ACG，∴△ADF∽△CGF，∴；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，DC∥AB，由（1）得：△ADF∽△CGF，∴＝＝＝，∴＝，∴＝2，∵DC∥BE，∴＝＝2，∴GE＝＝＝5，∴GE的长为5．8.如图，点F为▱ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E．（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）若BC＝6，AF＝2EF，求CE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，∴∠D＝∠DCE，又∵∠DFA＝∠CFE，∴△ADF∽△ECF；（2）解：∵ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝6，∵△ADF∽△ECF，∴AF：FE＝AD：CE，又∵2EF＝AF，∴AD：CE＝2：1，∴CE＝AD＝3．9.已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，∴＝，∵∠ADB＝∠BEC，∴△DAB∽△EBC，∴∠DAB＝∠EBC，＝，∴AD∥EB，∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，∴△ADF∽△EBF，∴＝，∴；（2）∵BE2＝BF•BD，∴＝，∵∠DBE＝∠EBF，∴△BFE∽△BED，∴∠BEF＝∠BDE，∵∠DAF＝∠AEB，∴∠DAF＝∠BDE，∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，∴△ADF≌△DBE（ASA），∴DF＝BE．10．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1