符号意识的再培养及促进学生核心素养再提升的研究

摘

要：符号意识是小学阶段十一大核心素养之一，也是核心素养中数学表达和数学思考的重要表现形式。文章对六年级毕业班学生符号意识培养情况进行研究，发现在复习阶段，教师可通过数学习题进一步发展学生的符号意识。教师可以此为契机，借助知识梳理，让学生体会符号的普遍性和简洁性，系统感知符号意识;借助习题特征，让学生体会符号的直观性和独特性，体验符号意识的培养过程;借助类比变式，让学生感悟符号的构建性和拓展性，深化发展符号意识。让学生在温故知新的同时，形成良好的思维品质，发展数学核心能力，实现核心素养的发展和进阶。关键词：符号意识;数学核心素养;小学数学英国著名数学家、逻辑学家伯特兰·罗素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”所以，符号作为用于数学表达、理解和运用的工具，在数学学习中显得尤为重要。“符号意识”一词的内涵在小学数学中一直难以界定，现行《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课标2022年版”）指出：“符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能。知道符号表达的现实意义;能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律;知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性;初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。”从中可以看出，前半句是对符号意识的描述性叙述，明确数学符号既具有一般符号的功能，又具有数学的特征，后半句指出随着符号意识发展，对学生产生了的积极影响。“课标2022年版”在“核心素养构成”中也明确指出，数学眼光主要表现为：抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。从中能看出符号是一种抽象化的语言和能力，学生的整个核心素养养成具有整体性、一致性和发展性。具体来说，在小学阶段渗透发展学生的符号意识，能为发展学生的抽象能力和逻辑推理能力奠定基础，并能为初中的抽象能力、推理能力、模型观念以及高中的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的养成提供助力。六年级是小学阶段的最后一年，也是小中衔接的过渡年，在最后的复习阶段，教师可借助数学书总复习中的已有习题，让学生复习符号的产生、运用与建模的过程，深入促进学生符号意识发展，使学生具备主动理解、表达和运用符号的意识和能力，进一步发展了学生数学应用能力。一、借助知识梳理，系统感知符号意识意识普遍存在但很难通过直接讲授传达给学生，只有学生在学习过程中自己感知、领悟与发展才能逐步形成。六年级学生在现阶段有意识或者无意识中，已经学会了应用很多不同的符号，而每一种符号本身所包含的特定含义和它的产生都有一定的联系，提高对符号的认识和理解，感受不同符号的含义和其所表达的丰富现实意义，是学生能正确运用符号的基础，也是学生符号意识发展的基石。（一）丰富符号语言，增强符号的感知学生通过收集、整理和分类不同符号，增强对不同符号的感知，有利于学生对符号的再认识，以及后期运用符号熟练表示数量、关系和一般规律。在六年级下册总复习开始时，教师可以借助整册书进行知识梳理，让学生通过整理表述已经了解的各种符号，正确认识学过的符号的含义，并把各种数学符号进行分类与归納，增强对各类符号的感知，丰富符号语言，建立符号体系。比如，有运算类符号，如“+-×÷”等;有结合类符号，如小括号“（）”、中括号“[]”、大括号“{}”;有关系类符号，如“>”“<”“=”、比号“∶”等;有性质类符号，如百分号“%”、负号“-”、正号“+”等，教师可以让学生通过制作数学小报、思维导图等形式梳理已掌握的符号，适当查漏补缺。（二）感受符号内涵，建立符号的表象学生在感受不同符号的丰富内涵，深入了解符号所代表的意义和象征的含义后，更容易透过符号看到更深层次的数学意义，并合理应用这些数学符号。在学生整理、归纳的过程中，教师可以有意识地帮助学生寻找丰富素材作为载体，让学生体会同一符号在不同情境下的不同含义，例如：面积和路程符号“S”、速度和体积符号“V”等。还可在复习例题中，让学生感受字母符号所表示的不同规律和意义，有意识地丰富学生对各种符号的理解和认识，感受符号在数学和生活中存在应用的概括性和普遍性，使学生建立符号的表象。（三）学会符号表达，增强符号的运用数学符号是数学语言的重要组成部分，是数学思维和表达的重要工具，数学符号可以帮助学生更加准确、清晰、简洁地进行恰当的表达和无障碍的交流。通过总复习中的习题，能让学生感受到恰当的符号表达，学习让繁复的文字和图像表述更简洁;能让具体数量和变量之间的内在关联更清晰;能让复杂、深奥的概念、公式等更精确、直观;能让学生体会到符号表达的简洁性和科学性，增强学生主动运用符号表述和解决数学问题的内驱力。比如在“乘法的分配律”的复习中，教师可以让学生回忆、整理学过的运算律，引导学生遵循“具体事物—个性化的符号表示—数学的表示”的符号化表述过程，通过“直观感受—文字描述—图形描述—字母描述”的对比，如图1所示，让学生直观感受符号的简洁性。学生在知识梳理、感知符号的普遍性和简洁性的过程中，丰富感知了符号表象，并在应用中培养了自己的符号意识。二、借助特征习题，感悟符号的直观表达和作用数学符号是数学的语言，其只有在实际运用中才能更直观地表现出它的数学价值。在总复习过程中，教师要引导学生运用符号进行运算与推理，进一步体会符号的直观性和独特性。（一）深刻体会符号的直观表达教师要让学生注重理解和掌握数学知识的基本原理，深入理解数学符号的运用和内涵，从而培养其对符号直观表达的深刻认知。教师可以在复习中注重实践和应用，通过大量的练习和实践，让学生体会符号的意义，例如，通过加、减、乘、除、约分、等列式运算等数学符号的使用;通过复习数学公式，掌握符号的含义，注重公式的表达和应用;通过恰当的符号进行替换数学语言描述，让内在逻辑和规律更加明显等例子，让学生深刻体会符号的直观表达。比如，在复习题中让学生体会运用数学符号的直观性可以快速判断两个相关联的变量间的关系——正比例、反比例或是不成比例（“课标2022年版”中将反比例内容调整至了初中数学教学）。学生通过“语言描述”和“符号描述”两种不同递进的表达方式，感悟运用数学符号可以直观、快速判断两个相关联变量之间的关系，且用字母符号运算和推理得到的结论更具有一般性。通过对比，教师可以让学生整理、归纳出正比例关系的一般性符号表达，如x和y两个相关联的变量，当y：x=k（k是常数，且一定）其中x≠0，则x、y成正比例关系，清晰表示某两个量之间长期依存和变化的关系，为初中函数的学习奠定基础。（二）普遍感受符号的独特作用数学符号的独特性表现为其在情境下的特定意义，它的意义一旦被赋予，就会在特定的意义下被应用和演算，不会产生歧义。数学符号的独特作用和不可替代性能进行不同意义的表达以及呈现思考过程。数学符号的独特性在总复习的题目里有大量体现，教师可以在练习中有意识地引导，如例题：546+785-146=（546-146）+785=400+785=1185，应用运算律加上括号，便能实现简便计算。此外，教师还需教会学生运用字母表示学过的一些公式和规律，在看图列方程，解方程和不等式等习题中，也需要使用一系列被赋予意义的数学符号。学生在复习过程中充分认识到符号应用的独特、严谨和便利，并能逐渐学会灵活运用各种符号，提高了学习和解题的效果。三、借助类比变式，深化发展符号意识布鲁纳在《教育过程》一书中曾指出，向成长中的儿童提示难题，激励他向下一阶段发展，这样的努力是值得的。教师根据学生已经掌握的习题进行类比变式，挖掘知识之间的符号勾联并进行延展，在学生已有经验和认知的基础上进行拓展，深化学生的数学思考能力，能让学生根据问题解决的需要对符号进行演算和变换，感悟符号的构建性和拓展性，深化发展符号意识。教师在复习课中，要注重以“数学符号”为载体，沟通数学条件和数学问题之间的关系，引导学生把具体数量符号化，直观地表现数量关系和变化规律，便于学生形成一种整体感知和对应分析以及思考问题的方式和方法，并借助类比形成相应的思维模式，建构对应的解题模型，启发学生展开深度思考，形成解题经验。如用小棒摆正方形的题目，需要摆n个正方形，学生发现摆第1个正方形用4根小棒，摆两个正方形用7根小棒，每增加一个正方形增加3根小棒，在第一个正方形的基础上增加了（n-1）个正方形，需要小棒（n-1）×3，得出小棒的总根数“4+（n-1）×3”。学生经历“形象—表象—符号”的思维过程后感悟规律，通过字母参与运算，4+（n-1）×3=3n+1，启发找到另一种解决问题的方式，即把第一个正方形最左边的一根小棒先拿开，第一个正方形就是“3+1”根小棒，第二个正方形就是“3×2+1”即每增加一个正方形对应增加了3根小棒，所以n个正方形一共是需要3n+1根小棒。随后学生可以自编题目，将小棒摆正方形问题迁移到摆正三角形、正五边形等问题上，学生在自主创造后同构，建立一般化模型，得到此類问题的一般思考和符号表达的一般性规律，深入发展了符号意识。在学生掌握了基础的正方形的内切圆相关题目的解题步骤后，教师可以将题目进行适当拓展，如图2所示，让学生勾联圆和外接正方形面积以及内接正方形面积之间的关联，并通过推导得出一般结论S内接小正方形=2r2，S圆=3.14r2，S外接小正方形=4r2，通过面积公式符号的推导求解，让学生清晰地发现三个相关图形的面积关系，得到符号的一般性结论并应用，让符号意识得到延展和持续地发展。如学生将已经学过的立体图形体积公式进行对比，会发现“长方体”“正方体”和“圆柱”的体积公式均是“V=Sh”，S表示底面积，h表示高，结合“圆柱的体积”一课，学生可以通过“叠硬币”的方法推导出圆柱的体积公式，类比迁移，进一步得到“长方体”“圆柱”等这类立体图形的体积公式V=Sh，即“底面积×高”来表示，迁移类比得到三棱柱、四棱