第04讲 平行线和垂线（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年七年级数学上册（苏科版）

第第页第4讲平行线和垂线1.理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．知识点1：垂线1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．注意：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．图如图4所示，m的垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离。注意：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．知识点2：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.知识点3：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性【题型1垂线的定义和性质】【典例1】（2022春•平泉市期末）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（）A．B． C．D．【答案】C【解答】解：∵三角板有一个角是直角．∴三角板的一条直角边与直线AB重合．∵过点P作直线AB的垂线．∴三角板的另一条直角边过点P．∴符合上述条件的图形只有选项C．故选：C．【变式1】（2022春•都江堰市校级期中）已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】A【解答】解：∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴点P画直线l的垂线，只能画一条．故选：A．【典例2】（2022春•东莞市校级期中）如图，点P到直线公路MN共有四条路，若要从点P到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是（）A．PA B．PB C．PC D．PD【答案】B【解答】解：∵从点P到公路，用相同速度行走，最快到达，∴需要点P到公路MN的距离最短，∵垂线段最短，∴PB是最快到达的路径．故选：B．【变式2-1】（2022春•思明区校级期中）某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作AB⊥CD，垂足为B，CD为河岸，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（）A．两点之间线段最短 B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．垂线段最短【答案】D【解答】解：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，故选：D．【变式2-2】（2022春•交城县期中）如图，为了解决村民饮水困难，需要在河边建立取水点，下面四个点中哪个最方便作为取水点（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】B【解答】解：如图，设村庄为点E，由于EB⊥AD，点B到村庄的距离最近．故选：B．【典例3】（2022春•巨野县期中）直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P点到直线l的距离是（）A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm【答案】C【解答】解：∵PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，∴P点到直线l的距离不大于2cm．故选：C．【变式3-1】（2022春•浦北县期末）如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为6cm，若点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是（）A．5.5cm B．6.2cm C．7.5cm D．8cm【答案】A【解答】解：直线l外一点P到l的距离PB的长为6cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长最短等于6cm，故不可能是5.5cm，故选：A．【变式3-2】（2022春•逊克县期末）如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（）A．8cm B．6cm C．4.5cm D．无法确定【答案】C【解答】解：根据垂线段最短，则P到M的最短距离为不小于4.5cm，故选：C．【变式3-3】（2022春•南平期末）如图，在三角形ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列线段的长度可以表示为点B到直线AC距离的是（）A．BD B．BC C．AB D．CD【答案】B【解答】解：点B到直线AC距离的是线段BC的长度，故选：B．【题型2平行线的定义】【典例4】（2021春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；故选：D．【变式4】（2022春•长沙期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是．【答案】相交和平行【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行和相交．【题型3：平行线公理及推论】【典例5】（2022秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线 B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．平角是一条直线 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线【答案】B【解答】解：A．应强调在同一平面内，错误；B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；C．直线与角是不同的两个概念，错误；D．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．故选：B．【变式5】（2022秋•奉化区校级期末）下列说法正确的是（）A．两点之间，直线最短 B．永不相交的两条直线叫做平行线 C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点 D．两点确定一条直线【答案】D【解答】解：A、两点之间，线段最短，故本选项说法错误；B、同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故本选项说法错误；C、若AC＝BC且点A、B、C共线时，则点C为线段AB的中点，故本选项说法错误；D、两点确定一条直线，故本选项说法正确．故选：D．【典例6】（2022春•麒麟区期末）下列说法正确的是（）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c【答案】A【解答】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：根据所画图形可知：A正确．故选：A．【变式6-1】（2022春•阳春市校级月考）下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个A B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；（2）根据平行公理的推论，正确；（3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；（4）应该是“在同一平面内”，故错误．正确的只有一个，故选A．【变式6-2】（2022春•饶平县校级期中）若AB∥CD，AB∥EF，则∥，理由是．【解答】解：∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，故答案为平行于同一条直线的两条直线互相平行．1．（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】B【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如图所示：根据图形可以看出OB是反射光线，故选：B．2．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】见试题解答内容【解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．3．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26° B．36° C．44° D．54°【答案】B【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故选：B．4．（2021•杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【答案】C【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，∴PT≥PQ，故选：C．5．（2020•乐山）如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解答】解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，∴，∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，故选：B．6．（2020•河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】D【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线m的垂线，可作无数条．故选：D．7．（2020•陕西）如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝35°，则∠2的大小为（）A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】B【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故选：B．1．（2023秋•埇桥区期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【答案】C【解答】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选：C．2．（2023•滨湖区一模）如图，在同一平面内，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【答案】B【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，即与直线a相交的直线至少有3条，故选：B．3．（2023春•泸县校级期中）下列说法正确的是（）A．经过一点有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】D【解答】解：根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确．故选：D．4．（2023春•冠县期中）同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．没有确定关系【答案】B【解答】解：如图，∵a∥b，a⊥c，∴c⊥b，又∵b⊥d，∴c∥d．故选：B．5．（2022春•连平县校级期中）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交【答案】B【解答】解：∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，∴b与c的位置关系是相交，故选：B．6．（2022春•库车市校级月考）过直线l外一点A作l的平行线，可以作（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：因为平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故选：A．7．（2022春•海淀区校级期中）下列说法正确的是（）A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c【答案】D【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c，故本选项错误；B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误；C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误；D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确；故选：D．8．（2022秋•江北区期末）在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，∴线段PQ是P到直线MN的垂线段，PQ⊥MN，选项B，C，D中PQ与MN不垂直，选项A符合题意．故选：A．9．（2023春•顺德区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，若∠BOE＝40°，则∠AOC等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠BOE＝40°，∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°，∴∠AOC＝∠BOD＝50°．故选：C．10．（2023•长春模拟）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（）A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直【答案】A【解答】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项合题意．B、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；C、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意；故选：A．11．（2022秋•榆树市期末）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【答案】D【解答】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．故选：D．12．（2023春•千山区期中）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（）①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP是A点到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距