2021年中考数学专题训练-正方形综合(含答案)

/2021中考数学专题训练正方形综合一、选择题1.下列条件不能判断▱ABCD是正方形的是 ()A.∠ABC=90°且AB=ADB.AB=BC且AC⊥BDC.AC⊥BD且AC=BDD.AC=BD且AB=BC2.下列说法错误的是 ()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形3.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了 ()A.1次 B.2次 C.3次 D.4次4.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF= ()A. B. C.5 D.25.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为()A.eq\r(2)B.2eq\r(2)C.eq\r(2)＋1D.2eq\r(2)＋16.（2020·威海）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形 B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形 C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形 D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形7.（2020·温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为A．14B．15C．D．8.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()

A.eq\f(\r(3)＋3,18)B.eq\f(\r(3)＋1,18)C.eq\f(\r(3)＋3,6)D.eq\f(\r(3)＋1,6)

二、填空题9.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD=.(结果保留根号)

10.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是.

11.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是.

12.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则eq\f(S正方形MNPQ,S正方形AEFG)的值等于________．13.如图，正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．

14.如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是________．三、解答题15.【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题:如图①，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路:思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数;思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数.请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数.

16.如图，AB是☉O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交☉O于点C，过点C作☉O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF.(2)连接AF并延长，交☉O于点G.填空:①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形;

②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形.

17.（2020·河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图1，当=60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为；(2)当0°＜＜360°且≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值.18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？2021中考数学专题训练正方形综合-答案一、选择题1.【答案】B[解析]A.▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，再由AB=AD可得是正方形，故此选项错误;B.▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD是菱形，再由AC⊥BD仍可得是菱形，不能判定为正方形，故此选项正确;C.▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，再由AC=BD可得是正方形，故此选项错误;D.▱ABCD中，若AC=BD，则▱ABCD是矩形，再由AB=BC可得是正方形，故此选项错误.故选B.2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D[解析]由旋转的性质可知，△ADE≌△ABF，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故选:D.5.【答案】B【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\r(（\f(1,2)）2＋（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，则正方形EFGH的周长为4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2).6.【答案】：∵O为BD的中点，∴OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OE＝OF，∴四边形DEBF为平行四边形，故A选顶结论正确，若AE＝3.6，AD＝6，∴，又∵，∴，∵∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴AED＝∠ADB＝90°．故B选项结论正确，∵AB＝10，AE＝5，∴BE＝5，又∵∠ADB＝90°，∴DEAB＝5，∴DE＝BE，∴四边形DEBF为菱形．故C选项结论正确，∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形，∴AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．故D不正确．故选：D．7.【答案】A【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP∽△CBQ，所以，即，解得：BC＝2CD，所以CQ＝2CP，则CP＝5，CQ＝10，由于PQ∥AB，所以∠CBA＝∠BCQ＝∠DCP，则tan∠BCQ＝tan∠DCP＝tan∠CBA＝，不妨设DP＝x，则DC＝2x，在Rt△DCP中，，解得x＝.∴DC＝2，BC＝4，所以AB＝10，△ABC的斜边上的高＝,所以CR＝14，所以因此本题选A．8.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，0))D解析：过小正方形的一个顶点D3作FQ⊥x轴于点Q，过点A3作A3F⊥FQ于点F.∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B3C3E4＝60°，∠D1C1E1＝30°，∠E2B2C2＝30°，∴D1E1＝eq\f(1,2)D1C1＝eq\f(1,2)，∴D1E1＝B2E2＝eq\f(1,2)，∴cos30°＝eq\f(B2E2,B2C2)＝eq\f(\f(1,2),B2C2)，解得：B2C2＝eq\f(\r(3),3).∴B3E4＝eq\f(\r(3),6)，cos30°＝eq\f(B3E4,B3C3).解得：B3C3＝eq\f(1,3).则D3C3＝eq\f(1,3).根据题意得出：∠D3C3Q＝30°，∠C3D3Q＝60°，∠A3D3F＝30°，∴D3Q＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，FD3＝D3A3·cos30°＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6).则点A3到x轴的距离FQ＝D3Q＋FD3＝eq\f(1,6)＋eq\f(\r(3),6)＝eq\f(\r(3)＋1,6).二、填空题9.【答案】-1[解析]∵四边形ABCD为正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF=，∠CFE=45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=-1.故答案为-1.10.【答案】8[解析]∵四边形ACDF是正方形，∴AC=AF，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，又∠CAE+∠ECA=90°，∴∠ECA=∠BAF，则在△ACE和△FAB中，∵∴△ACE≌△FAB(AAS)，∴AB=CE=4，∴阴影部分的面积=AB·CE=×4×4=8.11.【答案】8[解析]如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF=2，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE=DF=BE=BF，∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE===2，∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8，故答案为:8.12.【答案】eq\f(8,9)【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(3,2)a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a×eq\f(3,2)a＝eq\f(9,8)a2，∴eq\f(S正方形MNPQ,S正方形AEFG)＝eq\f(a2,\f(9,8)a2)＝eq\f(8,9).13.【答案】eq\f(\r(5),5)【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，∵AM⊥BE，∠AFO＝∠BFM，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOF＝∠BOE,AO＝BO,∠FAO＝∠EBO))，∴△AFO≌△BEO(ASA)，∴FO＝EO，∵正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，E是OC的中点，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝2，∴在Rt△BOE中，BE＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得△BFM∽△BEO，∴eq\f(FM,EO)＝eq\f(BF,BE)，即eq\f(FM,1)＝eq\f(1,\r(5))，∴FM＝eq\f(\r(5),5).14.【答案】eq\f(\r(6),2)≤a≤3－eq\r(3)【解析】∵ABCD是正方形，∴AB＝a＝eq\f(\r(2),2)AC，∴a的取值范围与AC的长度直接相关．如解图①，当A，C两点恰好是正六边形一组对边中点时，a的值最小，∵正六边形的边长为1，∴AC＝eq\r(3)，∴AB＝a＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(6),2)；如解图②，连接MN，延长AE，BF交于点G，∵正六边形和正方形ABCD，∴△MNG、△ABG、△EFG为正三角形，设AE＝BF＝x，则AM＝BN＝1－x，AG＝BG＝AB＝1＋x＝a，∵GM＝MN＝2，∠BNM＝60°，∴sin∠BNM＝sin60°＝eq\f(\f(BC,2),BN)＝eq\f(\f(a,2),1－x)，∴eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))＝a，∴eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－a))＝a，解得，a＝eq\f(2\r(3),\r(3)＋1)＝3－eq\r(3).∴正方形边长a的取值范围是eq\f(\r(6),2)≤a≤3－eq\r(3).三、解答题15.【答案】[解析]将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△P'BA，连接PP'，得到等腰直角三角形BP'P，从而得到PP'=2，∠BPP'=45°，又AP'=CP=3，AP=1，∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°，从而求出∠APB=45°+90°=135°.将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'，方法和上述类似，求出∠APB=45°.解:【问题解决】如图①，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'.①∵P'B=PB=2，∠P'BP=90°，∴PP'=2，∠BPP'=45°.又AP'=CP=3，AP=1，∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=45°+90°=135°.【类比探究】如图②，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'.②∵P'B=PB=1，∠P'BP=90°，∴PP'=，∠BPP'=45°.又AP'=CP=，AP=3，∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=90°-45°=45°.16.【答案】解:(1)证明:连接OC.∵CE是☉O的切线，∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB，∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO，∴∠B+∠CFE=90°.∵OC=OB，∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.(2)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠DCF=90°.∴∠DCE+∠ECF=90°，∠D+∠EFC=90°.由(1)得∠ECF=∠CFE，∴∠D=∠DCE.∴ED=EC.∴ED=EC=EF.即点E为线段DF的中点.①四边形ECFG为菱形时，CF=CE.∵CE=EF，∴CE=CF=EF.∴△CEF为等边三角形.∴∠CFE=60°.∴∠D=30°.故填30°.②四边形ECOG为正方形时，△ECO为等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D+∠DCE，∴∠D=∠DCE=22.5°.故填22.5°.17.【答案】解：(1)等腰直角三角形，.(2)①两个结论仍成立.证明:连接BD.∵AB=AB′，∠BAB′=，∴∠AB′B=90°-，∵∠B′AD=a-90°，AD=AB′，∴∠AB′D=135-，∴∠EB′D=∠AB′D-∠AB′B=45°.∵DE⊥BB′，∴∠EDB′=∠EB′D=45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴=.∵四边形ABCD为正方形，∴=，∠BDC=45°.∴=，∵∠EDB′=∠BDC，∴∠EDB′+∠EDB=∠BDC+∠EDB，即∠BDB′=∠CDE.∴△B′DB∽△EDC，