【数学】平面与平面垂直的判定第一课时课件-2023-2024学年高一下学期人教A版（2019）必修第二册

8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定第八章立体几何初步课程目标

1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？

直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a'//a，b'//b，我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.

2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

范围：(0o,90o]．范围：[0o,90o]．复习

AOBBBBBBB

角两个面组成的图形二面角

像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义,那么，该如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程.

在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直.所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础.

在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.(1)半平面的定义1.二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．半平面半平面(2)二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱面面①平卧式：②直立式：l

lAB

(3)二面角的画法和记法：面－棱－面点－棱－点二面角

－l－

二面角

－AB－

二面角C－AB－DABCD①我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？

（4）二面角大小的刻画②把书打开，相邻两页书也构成二面角，随着打开的程度不同，得到不同的二面角受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢，能否转化为两相交直线所成的角

AOlB

二面角的平面角A'B'O'以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，

，则∠AOB成为二面角的平面角.

它的大小与点O的选取无关.二面角的平面角必须满足：③角的边都要垂直于二面角的棱①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？=

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）ABA’B’二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。结论：二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。.二面角的范围：[0o,180o]．①二面角的两个面重合：

0o；②二面角的两个面合成一个平面：180o；③平面角是直角的二面角叫直二面角．OAB(5)二面角的平面角的作法：1、定义法：根据定义作出来。2、作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。

注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。

oABoAoABB角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—

或二面角—AB—

图形(6)角与二面角的比较例1、已知二面角

－l

－

，A为面

内一点，A到

的距离为,到l的距离为4.求二面角

－l

－

的大小.D

lA.

OA.O

DBA.O解：则由三垂线定理得AD⊥.∵sin∠ADO=

∴∠ADO=60°.∴二面角

－l－

的大小为60°或120°.在Rt△ADO中，AOAD

例1、已知二面角

－l

－

，A为面

内一点，A到

的距离为2，到l

的距离为4。求二面角

－l

－

的大小。

lD过A作AO⊥

于O，过O作OD⊥l

于D，连AD，l

就是二面角

－l

－

的平面角.分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个角就是所求的平面角,最后求出这个角的大小。正方体ABCD—A1B1C1D1中，

二面角B1-AA1-C1的大小为_____，

二面角B-AA1-D的大小为______，

二面角C1-BD-C的正切值是_______.45°90°二面角C1-BD-A的平面角是哪个角练习1一“作”二“证”三“计算”求二面角大小的步骤1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角（垂直于棱）3、计算所求的角βααβ图形表示

2.平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作α⊥β思考:如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.类似的结论也可以在长方体中发现.如图8.6-26,在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面ABB'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ABB'A'垂直于平面ABCD.

3.平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.αβaA简记：线面垂直，则面面垂直符号语言:面面垂直线面垂直线线垂直图形语言:例1.如图，在正方体中，求证：平面证明：是正方体又例2：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆o所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC证明：∵PA⊥平面ABCBC在平面ABC内∴PA⊥BC∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB是圆O的直径∴∠BCA=90°即BC⊥AC又PA∩AC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC中∴BC在平面PBC内∴平面PAC⊥平面PBC(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.判定两平面垂直的常用方法例1如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:(1)求二面角D′-AB-D的大小;(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.解析(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.所以二面角D′-AB-D的大小为45°.(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.所以二面角M-AB-D的大小为45°.(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.求二面角的常用方法(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(4)射影面积法:设二面角的平面角为θ，则1.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．解：由已知PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内∴PA⊥BC∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC又∵PA∩AC=A,PA,AC在平面PAC内，∴BC⊥平面PAC又PC在平面PAC内，∴PC⊥BC又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形∴∠PCA=45°，即二面角P-BC-A的大小是45°练习2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的正切值．AA1BB1CC1DD1E思路分析：①找基面平面BCD②作基面的垂线过E作EF⊥CD于FF③作平面角作FG⊥BD于G，连结EGG解：过E作EF⊥CD于F，于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．∵BC=1，CD=2，而EF=1，在△EFG中∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（为什么？）∴M练习

(2)如图,取AB的中点F,连接PF.因为PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,又平面PAB∩平面AB