【数学】平面与平面平行-2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册

8.5.3平面与平面平行高一下学期1、掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用定理解决问题；2、掌握空间平面与平面平行的性质定理，并能应用定理解决问题；3、能正确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述平面与平面平行的判定定理和性质定理，进一步培养表达能力；4、通过本节学习培养直观现象、逻辑推理等素养.重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理难点：定理的探究发现即综合应用1、判断直线与直线平行的方法有哪些？①平行四边形的对边平行、三角形的中位线、棱柱的侧棱互相平行…②相似线段成比例③平行线的传递性④直线与平面平行的性质定理2、如何判定直线与平面平行？②判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.①定义法：直线与平面没有公共点直线与平面平行的性质定理是什么？3、平面与平面的位置关系有哪些？两个平面平行两个平面相交：没有公共点：有无数个公共点(在一条直线上)4、如何判定平面与平面平行？由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断．那么平面与平面平行的判定，是否有更简便的方法？

平面与平面平行两个平面没有公共点一个平面内任意一条直线都与另一个平面没有公共点一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面面面平行线面平行若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.思考：平面内的直线有无数多条，如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的方法？能否将“一个平面内任意直线平行另一个平面”中的“任意直线”减少？根据基本事实的推论2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面．由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？

思考：两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面.但为什么可以用两条相交直线判定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢？你能从向量的角度解释吗？

平面向量基本定理表明：平面内任意一个向量可以用平面内两个不共线的向量来表示.因此两条相交直线可以看成两个不共线向量，可以表示平面内的任意一条直线；而两条平行直线代表共线向量，不能表示平面上的任意直线.一、面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.①符号语言：

图形语言：直线与平面平行平面与平面平行直线与直线平行转化转化直线的条数不是关键，直线相交才是关键.生活实例：工人师傅将水平仪在桌面上交叉放至两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的找2次线面平行m与a,b相交相矛盾假设α，β相交于m定理证明一、面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点，求证：平面AMN//平面DBEF.

如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,点G和点H分别是CE和CF的中点.求证:平面BDGH∥平面AEF.ABCA1C1D1DEFMNB13、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点，求证：平面AMN//平面DBEF.教材P182ABCA1C1D1DEFMNB1解析：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，因为OA=OC，CH=HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为OH∩GH=H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.练习：如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,点G和点H分别是CE和CF的中点.求证:平面BDGH∥平面AEF.O思考：前面我们得到了平面与平面平行的判定方法，反过来，也就是以平面与平面平行为条件，可以推出哪些结论.根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系.探究1：若面α//面β，则α与β内的直线的位置关系是____________.平行或异面若面α//面β，则两个平面内的两条直线什么时候平行？设面α内的直线a与面β内的直线b平行，即a//b.由推论知：两条平行直线a和b可确定唯一一个平面γ,则面α∩面γ=a，面β∩面γ=b.当另一个平面γ分别与两平行平面α，β相交时，两条交线互相平行.

面面平行的性质定理：文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．

图形语言：平面与平面平行直线与直线平行探究2：若面α//面β，则α内的直线与β的位置关系是_______.平行a

两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

.直线与平面平行平面与平面平行（1）已知平面α，β和直线m，n，若m⊂α，n⊂β，m//β，n//α，则α//

β.（2）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α//β.（3）平行于同一条直线的两个平面平行.（4）平行于同一个平面的两个平面平行.（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.（6）如果一个平面内无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.××√1.判断下列命题是否正确，并说明理由．√√教材P142×

教材P142Ｄ例题：三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.证明：∵D，E分别是PA，PB的中点，∴DE//AB.又DE⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，∴DE//平面ABC，同理可得EF//平面ABC，且DE∩EF＝E，DE,EF⊂平面DEF，∴平面DEF//平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，∴NF//CM.法一：取BB1的中点为M，连接MC，连接MA交BE于点N，连接ND又因为E，F分别是A1A，C1C的中点，且ACC1A1为正方形，所以AE∥BM且AE=BM，B1M∥CF且B1M=CF即四边形AEMB和B1MCF均是平行四边形，所以MC∥B1F，N是AM的中点，又D是AC的中点，所以ND∥MC，所以ND∥B1F，又ND⊂平面BDE，B1F⊄平面BDE，所以B1F∥平面BDE练习：在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，D，E，F分别为棱AC，AA1，CC1的中点.求证:B1F∥平面BDE.MN练习：在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，D，E，F分别为棱AC，AA1，CC1的中点.求证:B1F∥平面BDE.法二：设A1C1的中点为D1,连接B1D1,D1D,D1F,∵D是AC的中点,∴DD1∥BB1,且DD1=BB1,∴四边形BDD1B1是平行四边形,∴BD∥B1D1,又B1D1⊄平面BDE,BD⊂平面BDE,∴B1D1∥平面BDE.∵E,F分别是A1A,C1C的中点,且ACC1A1为正方形,∴D1F∥ED.∵D1F⊄平面BDE,ED⊂平面BDE,∴D1F∥平面BDE,又D1F⊂平面B1D1F,B1D1⊂平面B1D1F,B1D1∩D1F=D1,∴平面B1D1F∥平面BDE,∵B1F⊂平面B1D1F,∴B1F∥平面BDE.二、平面与平面平行的性质①两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.②面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．③平行于同一平面的两个平面平行.思考：如果直线不在两个平行平面内，或者第三个平面不与这两个平面相交，以两个平面平行为条件，你还能得出哪些结论？⑥夹在两个平行平面间的平行线段相等.⑦两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.④若一条直线与两平行平面中的一个平面相交，则该直线与另一平面也相交⑤过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行.

推论：夹在两个平行平面间的平行线段相等.

BDbACa

教材P145

教材P145

教材P145

B15、如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值；(4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图(3)所示时，BE·BF是定值.其中所有正确命题的序号是_____________，为什么?①②④⑤A1D1//EH.V水=S底

高,V水为定值,高为定值,则S底为定值.面AB1//面DC1,侧棱平行.教材P145一、面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号语言：

图形语言：直线的条数不是关键，直线相交才是关键.二、面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．

图形语言：

平面与平面平行的性质①两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.②面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．③平行于同一平面的两个平面平行.⑥夹在两个平行平面间的平行线段相等.⑦两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.④若一条直线与两平行平面中的一个平面相交，则该直线与另一平面也相交⑤过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行.练习：如图所示,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G、F分别是线段EC，BD的中点（1）求证：GF//平面ABC.（2）线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH//平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由.(1)证明：连接AE交BD于点F.因为四边形ABED为正方形可知，F为AE中点，故GF//AC，又GF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以GF//平面ABC.练习：如图所示,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G、F分别是线段EC，BD的中点（