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文档简介
2.1等式性质与不等式性质
内容标准学科素养
1.通过具体情境,感受日常生活中的不等关系.
_________________________________________________________数学抽象
2.初步学会作差法比较两实数的大小.
逻辑推理
3.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.““'
课前•自主探究自主预习基础认知
授课提示:对应学生用书第18页
[教材提炼]
知识点一实数。、。大小
预习教材,思考问题
设“b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A、B,那么A、B的位置与a、b
的大小有什么关系?
知识梳理关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实:
如果°一6是正数,那么a>b;如果°一6等于0,那么a=b;如果°一6是负数,那么g
<6.反过来也对,这个基本事实可以表示为a>b^a—b>0;a=b^q—b=0;a<b^>a—b<
0.
从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小.
知识点二等式的基本性质
预习教材,思考问题
✓7h
如果〃=。,那么〃土c与匕土c、ac与be、]与工相等吗?
知识梳理等式有下面的基本性质:
性质1如果4=。,那么/?=〃;
性质2如果〃=。,b=c,那么a=c;
性质3如果a=b,那么〃土c三/?土c;
性质4如果a=b,那么ac^bc;
性质5如果a=4cWO,那么9=2
C--C
知识点三不等式的性质
预习教材,思考问题
如果a>b,那么。土c与b土c,ac与be有什么关系?
知识梳理
性质别名性质内容注意
1对称性a>b^b<ao
2传递性a>b,b>c$a>c今
3可加性a>b^a-\-c>b-\-c可逆
a>b]
\^ac>bc
c>0\—
4可乘性c的符号
a>b]
ac<bc
c<Oj—
a>b]
5同向可加性\^a+c>b+d同向
c>d]—
同向同正可a>b>0]
6\^ac>bd同向
乘性c>d>0\—
a>b>O^an>bn
7可乘方性同正
(〃£N*,〃22)
[自主检测]
1.实数加不超过也,是指()
A.m>y[2B.
C.m<y[2D.
答案:D
2.已知a<6<0,c<d<0,那么下列判断中正确的是()
A.a—c〈b—dB.ac>bd
c弁D.ad>bc
答案:B
3.设〃>Z?,c>d,则下列不等式成立的是()
A.a—c>b—dB.ac>bd
「a、d
C.->TD.Z?+dV〃+c
cb
答案:D
4.若/cons%2—x+i,g(x)=2f+无一i,则与g(无)的大小关系是.
答案:j[x)>g(x)
课堂•互动探究以例示法核心突破
授课提示:对应学生用书第19页
探究一作差法比较大小
[例1]设》<了<0,试比较(/+;/)在一y)与(r—y2)(尤+y)的大小.
[解析](jr+/)(x—j)—(^2—/)(x+j)
=(苫―》)(炉+j2)—(x-y)(x+y)2
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=(龙一〉)(一2斗).
由于x<y<0,所以无一yVO,—2ry<0,
所以(尤一y)(_2xy)>0,
即(f+y2)(x—y)>(%2—;/)(x+y).
—方法提升,,
作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤:作差一变形一定号一结论.
(2)变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④对数与指数的运算性质;⑤分母或分
子有理化;⑥分类讨论.
一变式训练培养应变能力
将本例中"x<y<0"变为“x>y>0",这两个代数式的大小如何?
解析:(x^+y^x—y)—(%2—
=—2xy(x-y)
由x>y>0得一2孙<0,x—y>0
—2xy(x—y)<0
(x2+v2)(x—y)<(x2—j2)^+j)
探究二用不等式的性质证明不等式,教材探突
[例2][教材P42例2拓展探究]
(1)已知a>6>0,c<d<0,e<0,求证:一■—>~C
a-cb-d
[证明]':c<d<0,:.-c>-d>0,
又:a>b>0,:.a+(-c)>b+(-d)>0,
即2i°,为〈士〈占
(2)已知匕克糖水中含有。克糖再添加根克糖(徵>0)(假设全部溶解),糖水变
甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.
a♦+—+、)一/7(“+加)m(g—b)
"]bb+mb(b+m)b(b+m)'
V/?>«>0,m>0,.\a-b<Of
m(a—b)
Z?(Z?+/n)V°'
.a—
,,b<b+rrf
「■■方法提升■■
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础
上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条
件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
探究三求表达式的范围
Y
[例3]已知30<xV42,16VyV24,分别求x+y,l3y及的范围.
[解析]因为30<x<42,16<y<24,
所以30+16<x+y<42+24,
故46Vx+yV66.
又30VxV42,-72<-3y<-48,
所以30-72<x-3y<42-48,
故一42Vx—3yV—6.
又30<xV42,—42Vx—3yV—6,
所以1〈士〈一表
所以。〈忍〈一士4
.30,x’42
所以石v——丁〈,
42x~3y7o"
u42>%>30
故―丁V一石,
TOV—x~3y42
x5
得一7『<方
「方法提升
根据某些代数式的范围求其它代数式的范围,要整体应用已知的代数式,结合不等式的
性质进行推理.
一同源异考重在触类旁通
已知1<〃<2,3<人<4,求下列各式的取值范围.
(1)2〃+力;(2)a—b;(3)*
解析:(l)Vl<tz<2,・・・2V24V4.又3V8V4,:.5<2a+b<S;
(2)V3</?<4,・・・一4〈一/7〈一3.又・・・1<〃<2,:.-3<a-b<-l;
1111a2
(3)3</?<4;.•.aVgV1.又「1V〃V2,••,[VgV?
课后•素养培优素养拓展能力提升
授课提示:对应学生用书第20页
一、借不等式性质之根“移花接木”——不等式性质的拓展》逻辑推理
\a>b11
1.由不等式性质4:a>b,c>0,那么拓展为倒数性质:若{,,则三<%•
[ab>0a0
证明:;,2〉0
由a>b得aX*>bX9.
即耳
2.由性质7:如果。>6>0,那么〃>b".(aeN且”21).
拓展为开方性质:如果
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