2022届高中数学新人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质

2.1等式性质与不等式性质

内容标准学科素养

1.通过具体情境，感受日常生活中的不等关系.

_________________________________________________________数学抽象

2.初步学会作差法比较两实数的大小.

逻辑推理

3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.““'

课前•自主探究自主预习基础认知

授课提示：对应学生用书第18页

［教材提炼］

知识点一实数。、。大小

预习教材，思考问题

设“b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B,那么A、B的位置与a、b

的大小有什么关系？

知识梳理关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：

如果°一6是正数，那么a>b；如果°一6等于0,那么a=b；如果°一6是负数，那么g

<6.反过来也对,这个基本事实可以表示为a>b^a—b>0；a=b^q—b=0；a<b^>a—b<

0.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.

知识点二等式的基本性质

预习教材，思考问题

✓7h

如果〃=。，那么〃土c与匕土c、ac与be、］与工相等吗?

知识梳理等式有下面的基本性质：

性质1如果4=。，那么/?=〃；

性质2如果〃=。，b=c,那么a=c；

性质3如果a=b,那么〃土c三/?土c；

性质4如果a=b,那么ac^bc；

性质5如果a=4cWO,那么9=2

C--C

知识点三不等式的性质

预习教材，思考问题

如果a>b,那么。土c与b土c,ac与be有什么关系？

知识梳理

性质别名性质内容注意

1对称性a>b^b<ao

2传递性a>b,b>c$a>c今

3可加性a>b^a-\-c>b-\-c可逆

a>b]

\^ac>bc

c>0\—

4可乘性c的符号

a>b]

ac<bc

c<Oj—

a>b]

5同向可加性\^a+c>b+d同向

c>d]—

同向同正可a>b>0]

6\^ac>bd同向

乘性c>d>0\—

a>b>O^an>bn

7可乘方性同正

(〃£N*,〃22)

[自主检测]

1.实数加不超过也，是指（）

A.m>y[2B.

C.m<y[2D.

答案：D

2.已知a<6<0,c<d<0,那么下列判断中正确的是（）

A.a—c〈b—dB.ac>bd

c弁D.ad>bc

答案：B

3.设〃>Z?,c>d,则下列不等式成立的是（）

A.a—c>b—dB.ac>bd

「a、d

C.->TD.Z?+dV〃+c

cb

答案：D

4.若/cons%2—x+i,g（x）=2f+无一i,则与g（无）的大小关系是.

答案：j[x）>g（x）

课堂•互动探究以例示法核心突破

授课提示：对应学生用书第19页

探究一作差法比较大小

［例1］设》<了<0,试比较(/+;/)在一y)与(r—y2)(尤+y)的大小.

［解析］(jr+/)(x—j)—(^2—/)(x+j)

=(苫―》)(炉+j2)—(x-y)(x+y)2

=(x-y)［(x2+y2)-(x+y)2］

=(龙一〉)(一2斗).

由于x<y<0,所以无一yVO,—2ry<0,

所以(尤一y)(_2xy)>0,

即(f+y2)(x—y)>(%2—；/)(x+y).

—方法提升,,

作差法比较两个数大小的步骤及变形方法

(1)作差法比较的步骤：作差一变形一定号一结论.

(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分

子有理化；⑥分类讨论.

一变式训练培养应变能力

将本例中"x<y<0"变为“x>y>0"，这两个代数式的大小如何?

解析：(x^+y^x—y)—(%2—

=—2xy(x-y)

由x>y>0得一2孙<0,x—y>0

—2xy(x—y)<0

(x2+v2)(x—y)<(x2—j2)^+j)

探究二用不等式的性质证明不等式，教材探突

［例2］［教材P42例2拓展探究］

(1)已知a>6>0,c<d<0,e<0,求证：一■—>~C

a-cb-d

［证明］'：c<d<0,：.-c>-d>0,

又：a>b>0,：.a+(-c)>b+(-d)>0,

即2i°，为〈士〈占

(2)已知匕克糖水中含有。克糖再添加根克糖(徵>0)(假设全部溶解)，糖水变

甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

a♦+—+、)一/7(“+加)m(g—b)

"]bb+mb(b+m)b(b+m)'

V/?>«>0,m>0,.\a-b<Of

m(a—b)

Z?(Z?+/n)V°'

.a—

，，b<b+rrf

「■■方法提升■■

利用不等式的性质证明不等式注意事项

(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础

上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条

件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

探究三求表达式的范围

Y

［例3］已知30<xV42,16VyV24,分别求x+y,l3y及的范围.

［解析］因为30<x<42,16<y<24,

所以30+16<x+y<42+24,

故46Vx+yV66.

又30VxV42,-72<-3y<-48,

所以30-72<x-3y<42-48,

故一42Vx—3yV—6.

又30<xV42,—42Vx—3yV—6,

所以1〈士〈一表

所以。〈忍〈一士4

.30,x’42

所以石v——丁〈，

42x~3y7o"

u42>%>30

故―丁V一石，

TOV—x~3y42

x5

得一7『<方

「方法提升

根据某些代数式的范围求其它代数式的范围，要整体应用已知的代数式，结合不等式的

性质进行推理.

一同源异考重在触类旁通

已知1<〃<2,3<人<4,求下列各式的取值范围.

(1)2〃+力；(2)a—b；(3)*

解析：(l)Vl<tz<2,・・・2V24V4.又3V8V4,：.5<2a+b<S;

(2)V3</?<4,・・・一4〈一/7〈一3.又・・・1<〃<2,：.-3<a-b<-l;

1111a2

(3)3</?<4;.•.aVgV1.又「1V〃V2,••,[VgV?

课后•素养培优素养拓展能力提升

授课提示：对应学生用书第20页

一、借不等式性质之根“移花接木”——不等式性质的拓展》逻辑推理

\a>b11

1.由不等式性质4：a>b,c>0,那么拓展为倒数性质：若｛,，则三<%•

[ab>0a0

证明：；,2〉0

由a>b得aX*>bX9.

即耳

2.由性质7：如果。>6>0,那么〃>b".（aeN且”21）.

拓展为开方性质：如果