第一节度量空间n维欧氏空间

第二章点集1第二章点集简介§1.度量空间，n维欧氏空间§2.聚点，内点，界点§3.开集，闭集，完备集§4.直线上的开集，闭集，完备集的构造2引言第一章叙述了集合的概念及其运算，那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限，可数无限，不可数无限等等），没有涉及集合各个元素之间的着某种关系，3距离”、“实数之间可以引进四则运算”等。都是集合内部的一种结构。所谓空间:是一类具有某种结构的集合。本章将研究一种特殊的集合--空间中的点集例如：实直线R构成一维空间、“任意两点间有是其中的结构。本章着重研究n维欧氏空间。4§1.度量空间，n维欧氏空间都有唯一确定的实数且满足12称为x与y的距离。两点间距离定义条件结论5设x是任意一个非空集合，唯一确定的实数d(x,y)与之对应且满足2（三点不等式）都有1（非负性）称d(x,y)是x,y之间距离。称(X,d)为度量空间（或距离空间）度量空间定义条件

结论X6间，称为(X,d)的子空间。设X是度量空间，则X中度量d具有对称性定义：如果(X,d)是度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也构成一个度量空事实上，在定义1中，令z=x，再由1）有d(x,y)≤d(x,x)+d(y,x)=d(y,x)由x,y次序是任意的,知d(y,x)≤d(x,y)所以,d(y,x)=d(x,y).7设X是度量空间，则X中度量d具有对称性已知：(X,d)是度量空间,求证：由1)可知，证明：在三点不等式中,取有由于x和y的次序是任意的，同理可证,即8下面我们举一些度量空间的例子。欧氏空间规定距离例1对中任意两点92由柯西不等式得到证明：由度量空间定义可知1显然成立。______10代入上式两边开方得令=d(x,z)+d(y,z)所以，即是度量空间。11距离的另两种表示法称为n维欧氏空间.d

称为欧几里得距离。1212邻域及其基本性质1邻域定义：的点的全体，即集合中所有和定点之距离小于定数称为点的邻域。记作称为邻域的中心，称为邻域的半径。其中132邻域的基本性质：显然成立。（1）和存在∪3(p),使得对于（2）取则使证明：设14对于存在证明：则U(Q)=U(Q,δ1)（3）因为Q∈取δ1:0<δ1<δ∈d(P,Q)∩U(P)PδQQδ115使由有取证毕。（4）时，和当存在证明：则PQPQδδ16中几个基本概念定义：记为或1收敛为中一点列，设如果当时有则称点列收敛于17有邻域语言使有的任意邻域对于语言18一个非空点集E的直径定义为2点集间距离定义：两个非空点集A,B的距离为3点集间直径定义：ABd(A,B)δ(E)E19例如则设E为中一点集,E有界,4有界集下面三个说法等价EKXY=20（1）开区间定义：称为一个(n维)开区间。称为一个(n)维闭区间(或左开右闭区间)。

（2）闭区间定义：5区间点集点集21称为区间I的第i个“边长”。称为区间I的“体积”。记作（3）区间的定义：区间的“边长”：区间的“体积”：开区间,闭区间统称为区间。记作.在R1,R2,R3中,|I|分别表为区间长度，矩形面积，立体体积22则d是例2记设定义上的距离。232对固定的n,和都是证明：1