八年级数学（下册）（全册）(北师大版)导学案

第一章三角形的证明

第一节等腰三角形（一）

【学习目标】

1、理解证明基础的几条公理的容，用这些公理证明等腰三角形的性质定理；

2、熟悉证明的基本步骤和书写格式；

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】

重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。

难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、两边及其_______对应相等的两个三角形全等（SAS）；

2、两角及其对应相等的两个三角形全等（ASA）；

3、对应相等的两个三角形全等（SSS）；

4、及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；

5、全等三角形的对应边，对应角。

6、有的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做两腰的夹角叫做,

腰与底边的夹角叫做________,的三角形叫做等边三角形。

7、阅读教材：第1节《等腰三角形》。

二、教材精读

8、已知：AABC是等腰三角形，AB=AC

求证：ZB=ZC（提示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？）

归纳：1、等腰三角形性质定理：（简称”等边对等角

推理格式：：AB=AC,二（等边对等角）

2、推论（三线合一）：;

推理格式：

①,.,AB=AC,AD_LBC,②•；AB=AC,BD=DC,③：AB=AC____平分

.,.BD=DC,AD平分二一±—,—平分二

实践练习：1、等腰三角形的两边分别是7cm和3cm,则周长为..

2、如图在△ABC中，AB=AC,AD±AC,ZBAC=100°。求：/I、NB的度数。

模块二合作探究

9、如图，已知ND=NC,ZA=/B,且AE=BFo求证：AD=BCo

10、如图，在AABC中，D为AC上一点，并且AB=AD,DB=DC,若/C=29°,求/A。

模块三形成提升

1、填空：AA

（1）如图，在4ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD„/\

请找出所有的等腰三角形______________________________。/\

（2）等腰三角形的顶角为50°,则它的底角为__________________。/\D

（3）等腰三角形的一个角为40。，则另两个角为________________。AX\

（4）等腰三角形的一个角为100°,则另两个角为。B”------

（5）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于度。

2、如图，在AABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，且DE_LAB,DF±AC„

求证：Z1=/2。

模块四小结反思

一、本课知识：

1、等腰三角形性质定理：（简称“等边对等角”）；

2、推论（三线合一）：；

二、本课典例：利用等腰三角形的性质和定理和三角形的全等，求角和边。

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第一节等腰三角形（二）

【学习目标】

1.经历“探索一发现一猜想一证明”过程，用三角形全等证明等腰三角形的一些线段相等。

2.借助等腰三角形的三线合一推论解决实际问题。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：证明等腰三角形的一些线段相等。

难点：能够用综合法证明等腰三角形的有关性质和定理。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、等腰三角形性质定理：（简称“等边对等角”）；

2、推论（三线合一）：；

3、阅读教材：第1节《等腰三角形》

二、教材精读

4、证明：等腰三角形的两底角的角平分线相等

已知：如图，ZXABC中，AB=AC,BD、CE是AABC的角平分线，求证：BD=CE

证明：,.'AB=AC()

二(等边对等角)

又：BD、CE是aABC的角平分线,

二ZDBC-1ZABC,NECB=________,

2

/.ZDBC=ZECB

...在aBCE与△弓»中，

5、推理论证：等腰三角形两腰上的中线（高）相等；（画图、写出已知、求证、证明过程）

已知：如图，

求证：

证明：

归纳：等腰三角形两腰上的中线（高线）、两底角的平分线

6、已知：如图，在aABC中，AB=AC=BC,求证：ZA=ZB=ZC

归纳：等边三角形的三个角都,并且每个角都等于

模块二合作探究

6、在如图的等腰三角形ABC中，（1）如果NABD=|NABC,ZACE=|ZACB,A

•Jtj1

那么BD=CE吗？由此，你能得到一个什么结论？/

（2）如果AD=1AC,AE=1AB,那么BD=CE吗？由此你得到什么结论？

7、如图，△ABC中，BDLAC于D,CELAB于E,BD=CE,求证：ZV1BC是等腰三角形。

模块三形成提升

1、如图，E是4ABC的一点，AB=AC,连接AE、BE,CE,且BE=CE,延长AE,交BC边

于点D。求证：ADIBCo

2、已知：如图，点1）,E在三角形ABC的边BC上，AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE

模块四小结反思

一、本课知识：

1、等腰三角形两腰上的中线（高线）、两底角的平分线

2、等边三角形的三个角都______,并且每个角都等于____°。

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第一节等腰三角形（三）

【学习目标】

1、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。

2、运用等腰三角形的判定定理解决一些实际问题。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：等腰三角形的判定定理。

难点：灵活运用等腰三角形的判定定理和性质解决实际问题。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、等腰三角形性质定理：（简称“等边对等角”）；

2、推论（三线合一）：；

3、证明三角形全等的方法：SAS、、、.

4、阅读教材：第1节《等腰三角形》

二、教材精读

5、已知：如图，在AABC中，NB=NC,求证：AB=AC（提示：构造两个全等三角形证明）

A

归纳：1、有两个角相等的三角形是三角形。（简称”等角对等边”）

推理格式：♦；NB=/C,二（等角对等边）

2、反证法证明问题的一般步骤：

从结论的一出发,先假设命题的结论,然后推出与定义、公理、已证定理或已

知条件相的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为0

实践练习：1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个角小于或等于60°。

2、如图，在4ABC中，ABAC,DE〃BC,求证：Z\ADE是等腰三角形。

BC

模块二合作探究

1、如图，在△ABC中，NABC的平分线交AC于点D,DE〃BC。

求证：4EBD是等腰三角形。

2、如图，一艘船从A处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到达B处。分别从A、

B望灯塔C,测得/NAC=42°,ZNBC=84°。求B处到灯塔C的距离。

模块三形成提升

1、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点且

DB=CE,DE交BC于M.求证：MD=ME.

2、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。

模块四小结反思

一、本课知识：

1、等腰三角形的判定定理：（简称”等角对等边”）；

2、反证法：；

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第一节等腰三角形（四）

【学习目标】

1、能够用综合法证明等边三角形的判定定理，进一步学习证明的基本步骤和书写格式。

2、运用等边三角形的性质和判定定理证明直角三角形的有关性质。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质。

难点：运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、三边都的三角形是等边三角形。

2、等边三角形的三个角都并且都等于o

3、等腰三角形的判定：有相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）

4、等腰三角形的性质：等腰三角形两底角（简称“”）

5、阅读教材：第1节《等腰三角形》

二、教材精读

6、已知：如图，在AABC中，ZA=ZB=ZC»求证:

证明：VZA=ZB,ZB=ZC

.'.AC=_____,AB=,

7、一个等腰三角形满足什么条件便称为等边三角形？

8、已知：如图AABC是直角三角形，ZBAC=30°,求证：BC=-AB

2

证明：延长BC到D,使CD=BC,再连接AD二在AABC和中,

「△ABC是直角三角形，

二/1=______°

又Nl+N2=180°,所以N2=_______

归纳：1、等边三角形的判定

1）三条边都的三角形是等边三角形。

2）三个都相等的三角形是等边三角形。

3）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。

2、等边三角形是特殊的三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还

具有每个角都是的特殊性质。

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的.

模块二合作探究

9、填空：(1)如图1,BC=AC,若,则aABC是等边三角形。

(2)如图2,AB=AC,AD1BC,BD=4,若AB=,则AABC是等边三角形。

(3)如图3,在RIA46C中，NB=30°,AC=6cm,贝ijAB=；若AB=7,贝UAC=

BC

图3

10、已知：如图，aABC是等边三角形，DE〃BC,交AB、AC于D、E„

求证：4ADE是等边三角形。

证明：：DE〃BC

11、如图，在RtAABC中，ZB=30°,BD=AD,BD=12,求DC的长。

DC

模块三形成提升

1、已知：A4BC中，ZACB=90°,CD1AB,ZA=30°,AB=40,求DB的长。

2、如右图，已知AABC和4BDE都是等边三角形，求证：AE=CD（＞

模块四小结反思

一、本课知识：

1、三条边都的三角形是等边三角形。

2、三个都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角等于°的等腰三角形是等边三角形。

4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的—

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第二节直角三角形（一）

【学习目标】

1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法。

2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不

一定成立。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：勾股定理及其逆定理。

难点：结合具体例子了解逆命题的概念。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、直角三角形：有一个角是____的三角形叫做直角三角形。

2、边的关系：直角三角形两条直角边的等于斜边的平方。

角的关系：直角三角形的两个锐角。

3、有两个角的三角形是直角三角形。

4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的o

5、阅读教材：第2节《直角三角形》

二、教材精读

6、用两种不同的方法表示右图梯形的面积。

解：①S产g（上底+下底）乂高=

②S2=

因为s,=s2,所以

归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的等于斜边的平方。

7、已知:如图，在△ABC,AB2+AC2=BC2,求证：ZlkABC是直角三角形。

证明：作出RtZXA'B'C',使NA=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则

B,C'2=（勾股定理）

VAB2+ACMC2,A'B，=AB,A'C'=AC,

.\BC2=B'C，2

；.BC=_______

.•.在△ABC和AA'B'C'中,

.•.NA=NA'=90°（全等三角形的对应角相等）

.,.△ABC^AArB'C'（）

因此，^ABC是直角三角形。

归纳：1、勾股定理的逆定理：：AB'+AC^BCZ，,二/—=90°（△ABC是直角三角形）

2,互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的

和,那么这两个命题称为,其中一个命题称为另一个命题的o

3、互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却是真命题。如果一个定理的逆命题

经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为,其中一个定理称为

另一个定理的O

模块二合作探究

8、已知：如图，△胸中，CD1AB于D,AO\,除3,般2。

5

（1）求的长；（2）求4。的长；（3）求力6的长；（4）求证：△48C是直角三角形.

9、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，ZACB=90°,AC=80

米，仁60米，若线段G9是一条小渠，且〃点在边力6上，已知水渠的造价为10元/米，

问〃点在距/点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

10、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

（1）如果ab=0,那么a=0,b=0；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角;

11,找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。

（1）如果x>y,则/>y2（2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等

模块三形成提升

1、直角三角形的两直角边为9、12,则斜边为；直角三角形的两边分别为13和5,

则另一条边为o如果三角形的三边长是6、10、8,则这个三角形是三角形。

2、如图，ABVBC,DCLBC,£是比1上一点，NBAE=NDK=60°,4?=3,上4,求：AD

模块四小结反思

一、本课知识：

1、勾股定理：直角三角形两条直角边的等于斜边的平方。

2、如果三角形两边的平方—等于第三边的,那么这个三角形是—三角形。

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？

第一章三角形的证明

第二节直角三角形（二）

【学习目标】

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】直角三角形全等“HL”判定定理。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、一般三角形全等判定方法有：。

2、直角三角形的判定：①有一个角是的三角形叫做直角三角形。

②有两个角互余的三角形是_____三角形。

③如果三角形两边的平方—等于第三边的,那么这个三角形是—三角形。

3、阅读教材：第2节《直角三角形》

二、教材精读

4、已知：如图，AABC和AA'B'C'中/C=NC'=90°,且AB=A'B',BC=B'C',

求证：AABC丝ZXA'B'C'

证明：RtZXABC和Rt^A'B'C'中，

AC=A'C'J2,(勾股定理)

VAB=A,B',BC=B'C,,'

AAC2=；.AC=_______

.,.△ABC丝A'B'C'()

归纳：斜边和一条对应相等的两个三角形全等。(“斜边、直角边"或

推理格式：在RtZ\ABC和RtZ\A'B'C'中，NC=NC'=90°

VfAB=A*B'

[BC=B'c，

.♦.△ABCA'B，C，(HL)

实践练习：

如图，ZB=ZE=90°,AC=DF,BF=EC。求证：BA=ED„

BFCE

模块二合作探究

5、在RtZXABC中，ZC=90°,且DEJ_AB,CD=ED,求证：AD是/BAC的角平分线。

6、如图，ZACB=ZADB=90",AC=AD,E是AB上的一点，求证：CE=DE«

7、用三角尺可以作角平线，如图，在已知NA0B的两边上分别取点\1、N,使0M=0N,再过

点M作OA的垂线，过点N作0B的垂线，两垂线交于点P,

那么射线0P就是/A0B的平分线。

证明：

模块三形成提升cb______X

1、如图，和Rt△瓦F,NC=NP=90°。

(1)若/月=/〃，BOEF,则屋Rt△应尸的依据是.

(2)若N4=/〃，AODF,则Rt△四修Rt△田:'的依据是.

(3)若A0DF,小无，则Rt△力8华1的依据是.

2、如图，AD是NBAC的角平分线，DE±AB,DF±AC,BD=CD。

求证：EB=FC。

模块四小结反思

一、本课知识：

1、斜边和一条对应相等的两个三角形全等。(“斜边、直角边"或“―")

二、本课典例：

三、我的困惑：(你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？)

第一章三角形的证明

第三节线段的垂直平分线（一）

【学习目标】

1、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

2能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用。

难点：线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、段的垂直平分线：垂直且_____一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

2、线段垂直平分线上的一到这条线段两个端点的距离。

3、阅读教材：第3节《线段的垂直平分线》

二、教材精读

4、已知：如图，直线MNJ_AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点。

求证：PA=PB。M

证明：p

ZPCA=_______=90。

•.•在APC和4PCB中，/\

{

.,.△PCA^APCB（）'

...PA=PB（全等三角形的对应边相等）N

归纳：线段垂直平分线上的—到这条线段两个端点的距离。

推理格式：VPC±AB,AC=（点P在线段AB的垂直平分线MN上），

二=PB

5、这个定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点，

它是命题。如果是真命题请证明。A

已知：如图，AB=ACA

求证：点A在线段BC的垂直平分线上

证明：（提示：利用等腰三角形三线合一）/\

-------\

归纳：定理：到一条线段两个端点距离的点，在这条线段的线上。

推理格式：：配=AC,点在线段BC的。

模块二合作探究

6、已知：线段AB解：作图如下:

求作：线段AB的垂直平分线CD。

作法：（1）分别以点A、B为圆心，以大于gAB

的长为半径作瓠，两弧相交于点C、DAB

（2）作直线CD。

即直线CD就是线段AB的垂直平分线。

归纳：因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，B

所以我们也用这种方法作线段的_____________。/

7、如图，在AABC中，ZC=90°,DE是AB的垂直平分线。E/

1）贝BD=_____；

2）若NB=40°,则NBAC=°,ZDAB=°,/D

°,ZCDA

3）若AC=4,BC=5,则DA+DC=,AACD的周长为。

8、如图，DE为4ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E,AC=5,BC=8,

求：ZXAEC的周长。

模块三形成提升

在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,ZkABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm,

求AB、BC,

模块四小结反思

一、本课知识：

1、线段垂直平分线上的——到这条线段两个端点的距离。

2、到一条线段两个端点距离——的点，在这条线段的线上。

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第三节线段的垂直平分线(二)

【学习目标】

1、知道三角形三条边的垂直平分线的性质。

2、能够利用尺规作已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：用尺规作已知线段垂直平分线。

难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、尺规作图是指用作图。

2、线段垂直平分线上的点到o

3、到一条线段两个端点距离相等的点，在。

4、阅读教材：第3节《线段的垂直平分线》

二、教材精读

5、已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P,

求证：AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P,且AP=BP=CP。

证明：连接AP、BP、CP,

;点、P在线段AB的垂直平分线上，

；.PA=—(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.)

..•点P在线段BC的垂直平分线上，

归纳：三角形三条边的线相交于,并且这一点到三个的距离相等。

推理格式：•.•点P是aABC的三条边的垂直平分线的交点，

PA==.

6、做一做：已知,底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a、h

求作：△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.

ah

作法：

(1)作线段AB=a；解：作图如下:

(2)作线段AB的垂直平分线/,交BC于点D,

(3)在L上作线段DC,使DC=h

(4)连接AC,BC»AABC为所求的等腰三"角形。

模块二合作探究

7、如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站建在什么地方,

才能使它到A、B的距离相等？

街道___________________

8、已知直线AB和AB上（外）一点P,利用尺规作/的垂线，使它经过点P。

•P

ABA-------------------------B

模块三形成提升

1、ZXABC的三条边的垂直平分线相交于点P,若PA=10,则PB=,PC=o

2、已知：线段a=3cm、C=5cm

求作：RtAABC,使斜边AB=C

作法：

3、已知：AABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于0。

求证：OA=OB=OC.

模块四小结反思

一、本课知识：

1、三角形三条边的线相交于,并且这一点到三个______的距离相等。

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第四节角平分（一）

【学习目标】

1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理。

2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：角平分线的性质定理、判定定理。

难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、点到直线的距离：由这点向直线引—，这点到垂足间线段的—叫做这点到直线的距离。

2、角平分线性质定理：角平分线上的—到这个角的两边的距离o

3、阅读教材P28—P29：第4节《角平分线》

二、教材精读

4、已知：如图，0C是NAOB的角平分线，点P在0C上，PDJ_OB,PEJ_OA,垂足分别为D,E,

求证:PD=PE

证明：•.•PDLOB,PEJ_OA,垂足分别为D,E,

：.ZPD0=______=90°

'：0C是ZA0B的角平分线，P

0^-------------A

归纳：角平分线上的一到这个角的两边的距离。（证明两条线段相等）

推理格式：•.•点P在NAOB的角平分线上，PE±OA,PD_LOB,

/.PD=

5、已知：如图，点P为NAOB一点，PE±OA,PD±OB,且PD=PE,R

求证：0P平分NAOB。%.

0>^----------------A

归纳：在一个角的部，且到角的两边距离相等的一,在这个角的平分线上（证明角相等）

推理格式：VPE±OA,PD_LOB,且PD=PE,

二点P平分O

实践练习：如图，在△ABC中，/ACB=90°,BE平分NABC,DE_LAB于D,如果AC=3cm,那

么AE+DE等于)A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

模块二合作探究

6、如图，CD1AB,BEXAC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于0,N1=N2,求证：OB=OCo

7、如图，E是线段AC上的一点，AB_LEB于B,AD_LED于D,且/I=N2,CB=CD。

求证：Z3=/4。

8、如图，在△ABC中，AC=BC,ZC=90°,AD是AABC的角平分线，DE1AB,垂足为E。

（1）已知CD=4cm,求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD。

模块三形成提升

1、如右图，已知BEJ_AC于E,CFJ_AB于F,BE、CF相交于点D,

求证：AD平分/BAC。

2、如图，在△ABC中，BE±AC,AD±BC,AD、BE相交于点P,AE=BD»

求证：P在NACB的角平分线上。

模块四小结反思

一、本课知识：

1、角平分线上的一到这个角的两边的距离o（证明两条线段相等）

2、在一个角的部，且到角的两边距离相等的—，在这个角的平分线上.（证明角相等）

二、本课典例：

三、我的困感：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第四节角平分线(二)

【学习目标】

1、进一步发展学生的推理证明意识和能力。

2、能够利用尺规作已知角的平分线。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】

重点：角平分线的相关结论。

难点：角平分线的相关结论的应用。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、角平分线上的点到______________________________

2、在一个角的部，且到角的两边距离相等的点，在—

3、阅读教材：P30—P31第4节《角平分线》

二、教材精读

4、已知：点P是△ABC的两条角平分线BM、CN的交点,

求证：NA的平分线经过点P,且PD=PE=PF。

证明：过点P作PELBC于E,PF_LAC于F,PD_LAB于D,

VCN是4ABC的角分线,点P为CN上一点，

；.PE=_____(

VBM是4ABC的角分线,点P为BM上一点,

；.PE=(

归纳：三角形三条角平分线相交于——，并且这一点到三角形三条一的距离O

推理格式：二•点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PELBC,PF±AC,PDJ_AB,

；.PD==.

实践练习：

(1)如图4,点P为4ABC三条角平分线交点，PD±AB,PE±BC,PF±AC,则

PDPE______PF.

(2)如图5,P是/AOB平分线上任意一点，且PD=2cm,若使PE=2cm,则PE与OB的关系

是.

图4图5

模块二合作探究

5、用尺规作图法作出图1中各个角的平分线。

6、如图2,求作一点P,使PC=PD,并且点P到/AOB两边的距离相等。（用尺规作图）

7、已知：如图在aABC中，ZC=90°,AD平分/BAC,交BC于D,若BC=32,BD：CD=9：7,

求：D至UAB边的距离.

模块三形成提升A

1、一直角三角形的纸片，如图1-36那样折叠，图1-36

使两个锐角顶点46重.合，岩DE=DC,则N4=.°.

2、已知：如图，Z\ABC的外角/CBDT和/BCE的角平分线相交于点F.

求证：点F在/DAE的平分线上.

模块四小结反思

一、本课知识：

1、三角形三条角平分线相交于——，并且这一点到三角形三条—的距离一

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

回顾与思考

【学习目标】

1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方

法，尺规作图等。

2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规的数学

语言表达论证过程的能力。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固

难点：本章知识的综合性应用。

【学习过程】

模块一复习反馈

1、等腰三角形的性质：（边）；（角）；“三线合一”的

容。

2、等边三角形的性质：（边）；（角）。

3、判定等腰三角形的方法有：（边）；（角）。

4、判定等边三角形的方法有：（边）;（角）。

5、线段垂直平分线的性质定理：。

逆定理：。

三角形的垂直平分线性质：。

6、角的性质定理：。

逆定理：.

三角形的角平分线性质：。

7、三角形全等的判定方法有：»

8、30°锐角的直角三角形的性质：。

9、方法总结：

（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定

理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质;

5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全

等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角

形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

模块二合作探究

1、填空：（1）中，乙4：NB：ZC=1：2：3,最小边小=4cm,最长边。

（2）直角三角形两直角边分别是5cm.12cm,其斜边上的高是。

（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形。

（4）三角形三边分别为a、b、c,且a-bc=a（b-d）,则这个三角形（按边分类）一定是

2、已知：如图，1）是△ABC的BC边上的中点，DE±AC,DF1AB,垂足分别是E、F,且DE=DF。

求证：aABC是等腰三角形。▲

D

3、如图，在aABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,已知4BCE的周长为8,AC-

BC=2.求AB与BC的长.

4、已知，在aABC中，AD垂直平分BC,且CA=CE,点B、D、C、E在同一条直线上。

求证：AB+DB=DE

模块三形成提升

1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为

2、如图1,在AABC中，已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,ABCE

的周长等于50,则BC的长为。

3、如图2,在AABC中，NACB=90°,BE平分/ABC,ED_LAB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE

图I图2

4、命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是.

它是一个命题。等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是

______________________________________________________这个逆命题是命题.

5、如图，AC平分NBAD,CE1AB,CF1AF,E、F是垂足，且BC=CD。

求证：（1）ABCE^ADCF；（2）DF=EB。

模块四小结反思

一、本课知识：

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组

§2.1不等关系

学习目标：

1.理解不等式的意义.

2.能根据条件列出不等式.

3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.

4.通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类

历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.

1.不等式的概念：

一般地，用符号“V"(或W),(或连接的式子叫做

2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为

例1,用不等式表示

(1)a是正数；(2)a是负数；

(3)a与6的和小于5；(4)x与2的差小于一1；

(5)x的4倍大于7；(6)y的一半小于3.

变式训练：

1、用适当的符号表示下列关系：

(1)a是非负数；

(2)直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；

(3)X与17的和比它的5倍小。

2.(1)当年2时，不等式户3>4成立吗？

收斐与感悟

(2)当.1.5时，成立吗？

(3)当A=-l呢？

活动与探究：

当6两个实数在数轴上的对应点如图1—2所示：

~b6a**

图1-2

用“V”或“>”号填空：

(1)ab；(2)|a|\b\；

(3)a+Z)0；(4)a-b0；

(5)a^ba~b；(6)aba

拓展训练：

1.某校两名教师带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司，经洽谈后，甲公司

优惠条件是1名教师全额收费，其余7.5折收费；乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.

试问当学生人数超过多少人时，其余7.5折收赛；甲旅游公司比乙旅游公司更优惠？(只列

关系式即可)

§2.2不等式的基本性质

学习目标：

1.探索并掌握不等式的基本性质；

2.理解不等式与等式性质的联系与区别.

3.通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨

别能力.

1.不等式的基本性质有哪些？

不等式的基本性质1：

不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向

不等式的基本性质2：