高考文数一轮课件2第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性总纲目录教材研读1.函数的奇偶性考点突破2.奇（偶）函数的性质3.周期性考点二函数周期性的判断与应用考点一函数奇偶性考点三函数性质的综合问题1.函数的奇偶性教材研读奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

①

f(-x)=f(x)

,那么函数f(x)是偶函数关于②

y轴

对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

③

f(-x)=-f(x)

,那么函数f(x)是奇函数关于④

原点

对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称.(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑤

相同

,偶函数在关

于原点对称的区间上的单调性⑥

相反

.(3)在公共定义域内(i)两个奇函数的和是⑦

奇函数

,两个奇函数的积是⑧

偶函数

.(ii)两个偶函数的和、积都是⑨

偶函数

.(iii)一个奇函数,一个偶函数的积是⑩

奇函数

.(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.与函数奇偶性有关的结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定

义域D是关于原点对称的非空数集.(3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自

变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,

取最值时的自变量也互为相反数.3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义

域内的任何值时,都有f(x+T)=

f(x)

,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中

存在一个最小

的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.有关周期函数的几个常用结论周期函数y=f(x)满足:(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|;(3)若f(x+a)=-

,则函数的周期为2|a|;(4)若f(x+a)=

,则函数的周期为2|a|;(5)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则函数f(x)的周期为2|b-a|;(6)若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是2|b-a|;(7)若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)

的周期是4|b-a|;(8)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2|a|;(9)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4|a|.1.(2018北京东城期末)下列函数中为偶函数的是

()A.y=(x-2)2

B.y=|lnx|C.y=x·cosx

D.y=e-|x答案

D偶函数需具备:①定义域关于原点对称;②满足f(-x)=f(x),只有

D项符合,故选D.D2.(2017北京朝阳期中)下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是

单调递增函数的是

()A.y=x-1

B.y=tanxC.y=x3

D.y=-

答案

C

A.y=x-1是非奇非偶函数,不符合题意.B.y=tanx是奇函数,但在定义域上不是单调函数,不符合题意.C.y=x3是奇函数,在定义域上为增函数,符合题意.D.y=-

是奇函数,在定义域上不是单调函数,不符合题意.故选C.C3.(2016北京东城二模)已知函数g(x)=f(x)-x是偶函数,且f(3)=4,则f(-3)=

()A.-4

B.-2

C.0

D.4答案

B∵g(x)=f(x)-x是偶函数,∴g(x)=g(-x).B∵g(3)=f(3)-3=4-3=1,∴g(-3)=f(-3)-(-3)=1.∴f(-3)=-2.4.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当

0<x<1时,f(x)=

,则f

+f(0)=

.答案-2解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,f

=-f

.∵函数f(x)的周期为2,∴f

=f

=2.∴f

+f(0)=-2.-25.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=

,b=

.答案

;0解析因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=

.由函数f(x)=

x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点(图略),易得b=0.6.(2015北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)

=x2-4,则x>0时,f(x)的解析式为

,不等式f(x)<0的解集为

.答案

f(x)=-x2+4;(-2,0)∪(2,+∞)解析当x>0时,-x<0,∴f(-x)=x2-4,又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2+4;当x<0时,f(x)=x2-4<0,∴-2<x<2,∴-2<x<0;当x>0时,f(x)=-x2+4<0,∴x<-2或x>2,∴x>2,∴不等式f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).考点一函数奇偶性命题角度一函数奇偶性的判断考点突破典例1(1)(2017北京西城期末)下列函数中,定义域为R的奇函数是

()A.y=x2+1

B.y=tanxC.y=2x

D.y=x+sinx(2)(2017北京石景山一模)下列函数中为偶函数的是

()A.f(x)=2x-

B.f(x)=xsinxC.f(x)=excosx

D.f(x)=x2+sinx答案(1)D(2)B解析(1)A,y=x2+1是偶函数,不满足条件.B,y=tanx是奇函数,但函数的

定义域不是R,不满足条件.C,y=2x为增函数,为非奇非偶函数,不满足条

件.D,y=x+sinx是R上的奇函数,满足条件,故选D.(2)四个函数的定义域均为R.对于A,易判断是奇函数;对于B,f(-x)=(-x)·

sin(-x)=x·sinx=f(x),是偶函数;对于C,f(-x)=e-x·cos(-x)=e-x·cosx,既不是奇

函数也不是偶函数;对于D,f(-x)=(-x)2+sin(-x)=x2-sinx,既不是奇函数也

不是偶函数.方法技巧判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法.首先判断定义域是否关于原点对称,然后判断f(-x)与f(x)的关

系.(2)图象法.若图象关于原点对称,则函数为奇函数;若图象关于y轴对称,

则函数为偶函数.(3)性质法.“奇±奇”是奇,“奇·奇”“奇÷奇”是偶;“偶±偶”是偶,

“偶·偶”“偶÷偶”是偶;“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.命题角度二函数奇偶性的应用典例2已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,函数g(x)=f(|x|),若g(lg

x)>g(1),则x的取值范围是

()A.(0,10)

B.(10,+∞)C.

D.

∪(10,+∞)D答案

D解析∵g(x)=f(|x|),∴g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x),∴g(x)为偶函数.又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴g(x)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,当|x|越大时,g(x)越大,若g(lgx)>g(1),则|lgx|>1.∴lgx>1或lgx<-1,故x>10或0<x<

.故选D.方法技巧应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化到已知区间上求解.(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充

分利用奇偶性,构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系

数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.1-1

(2018北京海淀期中)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递

增的是

()A.f(x)=-x2

B.f(x)=3-xC.f(x)=ln|x|

D.f(x)=x+sinx1-1

(2018北京海淀期中)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递

增的是

()A.f(x)=-x2

B.f(x)=3-xC.f(x)=ln|x|

D.f(x)=x+sinx答案

C符合偶函数的只有A,C,函数f(x)=-x2在(0,+∞)上单调递减,故

选C.C1-2

(2015北京海淀一模)已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=ex,则f(-1)=

()A.

B.-

C.eD.-e答案

D∵函数f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-e.D1-3函数f(x-1)是R上的奇函数,∀x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,则f(1-x)<

0的解集是()A.(-∞,0)

B.(0,+∞)C.(-∞,2)

D.(2,+∞)答案

C由于函数f(x-1)是R上的奇函数,故有f(-x-1)=-f(x-1),令x=0,则

有f(-1)=-f(-1),于是有f(-1)=0.∀x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在R上单调递减,不等式f(1-x)<0

等价于f(1-x)<f(-1),则有1-x>-1,解得x<2,故选C.C典例3(1)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1)时,f(x)=

则f

=

()A.0

B.1

C.

D.-1(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=

.考点二函数周期性的判断与应用答案(1)D(2)1008解析(1)因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f

=f

=f

=4×

-2=-1,故选D.(2)∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期T=2,又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2016)=0,f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2015)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=1008.规律总结判断函数周期性的几个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(2)f(x+a)=

(a≠0,f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(3)f(x+a)=-

(a≠0,f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.2-1已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=

,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=

.答案2.5解析由f(x+2)=

得f(x+4)=f((x+2)+2)=

=

=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数.∴f(105.5)=f(26×4+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5).∵f(x)为偶函数,且当2≤x≤3时,f(x)=x,∴f(105.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.2.5考点三函数性质的综合问题典例4

(2016北京东城(上)期中)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),对

于任意x1,x2∈[0,+∞),

<0(x2≠x1),则

()A.f(-1)<f(-2)<f(3)

B.f(3)<f(-1)<f(-2)C.f(-2)<f(-1)<f(3)

D.f(3)<f(-2)<f(-1)答案

D解析由f(-x)=f(x)得f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),对于任意x1,x2∈[0,+∞),

<0,所以当x≥0时,f(x)为减函数,所以f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(-2)<f(-1),故选D.D方法技巧