专题07 函数、方程与不等式实际应用（解析版）

专题07函数、方程与不等式实际应用目录热点题型归纳 1题型01一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值） 1题型02一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案） 7题型03二元一次方程（组）与不等式的实际应用（最值） 13题型04二元一次方程（组）与不等式的实际应用（方案） 19题型05分式方程的实际应用 23题型06二次函数的实际应用（最值） 23题型07反比例函数的实际应用 37中考练场 46题型01一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值）【解题策略】一次函数的最值问题，关键是要根据题意列出函数关系式，其中求自变量取值范围是关键；一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求自变量的取值范围；③根据一次函数的增减性和自变量取值范围，求出最值问题即可。【典例分析】例.（2023·江苏南通·中考真题）某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：类别价格A种B种进货价(元/盒)2530销售价(元/盒)3240(1)若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒；(2)若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？【答案】(1)则购进B种粽子20盒，A种粽子36盒(2)购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元【分析】(1)设未知数，根据A种的数量是B种数量的2倍少4盒，列方程求解；(2)设购进B种“粽子”m盒，销售利润为W元，根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”进货数量的2倍，可得，而，由一次函数性质可得购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元．【详解】（1）设购进B种粽子x盒，，解得，，则购进B种粽子20盒，A种粽子36盒．（2）设购进B种“粽子”m盒，销售利润为W元，则购进A种“粽子”盒，∵根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”进货数量的2倍，∴，解得，根据题意得，∵，∴W随m的增大而增大，∴时，W取最大值，最大值为(元)，此时，答：购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元．【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．【变式演练】1．（2023·贵州贵阳·二模）丹寨县的苗族蜡染入选贵州省第一批非物质文化遗产名录，某店选中A，B两款苗绣蜡染装饰品，其进货价和销售价如表：类别价格A款B款进货价（元/个）7068销售价（元/个）8075(1)第一次该店用1520元购进了A，B两款苗绣蜡染装饰品共22个，求这两款装饰品分别购进的数量；(2)第二次该店进货时，计划购进两款苗绣蜡染装饰品共36个，且A款进货数量不超过B款进货数量的一半．应如何设计进货方案才能获得最大利润，并求出最大利润．【答案】(1)第一次购进A款12个，B款10个；(2)当购进A款12个，B款24个时获得最大利润，最大利润为288元【分析】本题考查二元一次方程，一元一次不等式的应用及一次函数解实际应用题，读懂题意，准确得到方程组及一次函数解析式是解决问题的关键．（1）设该店第一次购进A款苗绣蜡染装饰品x个，则购进B款个，根据题意列一元一次方程求解即可；（2）设该店第一次购进A款苗绣蜡染装饰品a个，利润为y元，【详解】（1）设该店第一次购进A款苗绣蜡染装饰品x个，则购进B款个，根据题意表示出，然后求出，然后根据一次函数的性质求解即可．根据题意：．解得．∴B款苗绣蜡染装饰品购进了（个）．∴第一次购进A款12个，B款10个．（2）设该店第一次购进A款苗绣蜡染装饰品a个，利润为y元．根据题意得：化简得：∵A款苗绣蜡染装饰品的进货数量不超过B款进货数量的一半．∴．解得．又∵，所以a的取值范围为．∵y随a的增大而增大，∴当a取12时，y取到最大值，最大值为288元．∴当购进A款苗绣蜡染装饰品12个，B款苗绣蜡染装饰品24个时获得最大利润，最大利润为288元．2．（2024·河南·一模）春节期间，A、B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：A超市B超市优惠方案所有商品按八折出售购物金额每满100元返30元(1)当购物金额为90元时，选择超市（填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市（填“A”或“B”）更省钱；(2)若购物金额为元时，请分别写出A、B两超市的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？(3)对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．【答案】(1)A；B(2)当时，A超市函数表达式为，B超市函数表达式为；当时，选择A超市更省钱；当时，A、B两超市花费一样多；当时，选择B超市更省钱(3)不一定，见解析【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．（1）根据题意，分别计算购物金额为和元时，两家超市的费用，比较即可求解；（2）根据题意列出函数关系，分三种情况：，，，分别求出x的取值范围，结合题意，即可求解；（3）根据题意以及（2）的结论，举出反例即可求解．【详解】（1）解：∵，∴A超市八折优惠，B超市不优惠，∴选择A超市更省钱；∵，∴A超市应付：（元），B超市应付：（元），∵，∴选择A超市更省钱；故答案为：A；B．（2）解：当时，A超市函数表达式为：，B超市函数表达式为：，当，即时，选择A超市更省钱；当，即时，A、B两超市花费一样多；当，即时，选择B超市更省钱．（3）解：不一定，例：在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，例如：当B超市购物100元，返30元，相当于打7折，即优惠率为，当B超市购物120元，返30元，则优惠率为，∴在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．3．（2023·河南周口·二模）某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进副“九连环”和副“鲁班锁”共需元；购进副“九连环”和副“鲁班锁”共需元．

(1)分别求这两种玩具的单价；(2)该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的倍还多副，且两种益智玩具的总数量不少于副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？【答案】(1)每副“九连环”元，每副“鲁班锁”元(2)购进“鲁班锁”副，购进“九连环”副，费用最少，最少费用为元【分析】（1）设每副“九连环”元，每副“鲁班锁”元，列方程组可解得每副“九连环”元，每副“鲁班锁”元；（2）设购进“鲁班锁”副，则购进“九连环”副，一共的购买费用为元，由两种益智玩具的总数量不少于副，可得，，而，由一次函数的性质可得答案．本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．【详解】（1）设每副“九连环”元，每副“鲁班锁”元，根据题意得，解得，每副“九连环”元，每副“鲁班锁”元．（2）设购进“鲁班锁”副，则购进“九连环”副，一共的购买费用为元，两种益智玩具的总数量不少于副，，解得，根据题意得：，，随的增大而增大，当时，取最小值，最小值为元；此时，购进“鲁班锁”副，购进“九连环”副，费用最少，最少费用为元题型02一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案）【解题策略】根据题意列方程和不等式，根据未知数的取值范围列出几种方案。一般答题思路：①根据题意列方程；②用含未知数的式子分别表示出几个未知的量；③根据题意求自变量的取值范围；④根据题意列出符合题意的方案；⑤选择最优方案。【典例分析】例．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示甲型客车乙型客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名(2)6(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于辆，即可解答；（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，列出不等式组，解得，设租车费用为y元，得出，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，，解得：，∴，答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，∴汽车总数不超过6辆，∵要保证所有师生都有车坐，∴汽车总数不少于（辆），则汽车总数最少为6辆，∴共需租车6辆，故答案为：6．（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，，解得：，∵a为整数，∴或，方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；设租车费用为y元，，∵，∴y随a的增大而增大，∴当时，y最小，，综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．【变式演练】1．（2024·辽宁沈阳·一模）为防控新型冠状肺炎疫情，某药店制定口罩进货方案如下表：口罩类别A种B种进价（单位：元）3元2元备注1．用不超过26000元购进A、B两种口罩共10000个；2．A种口罩不少于4000个．(1)已知A种口罩售价是B种口罩售价的倍．某顾客购买个A种口罩和个B种口罩，一共付款元，求A、B两种口罩的售价；(2)为共克时艰，让利群众，在（1）的条件下，药店调整了销售方案；A种口罩每个售价降低a元（），B种口罩售价不变，这样所有口罩可以全部售完．问该药店应如何进货才能获得最大利润？【答案】(1)A种口罩的售价为元，B种口罩的售价为元；(2)①当时，A种口罩购进个，B种口罩购进个，利润最大；②当时，利润均为元；③当时，A种口罩购进个，B种口罩购进个，利润最大．【分析】本题考查了一次函数和不等式组的应用；（1）设B种口罩的数量的售价为元，则A种口罩的售价为元，，根据购买个A种口罩和个B种口罩，一共付款元即可列出方程求解，（2）设购进A种口罩个，则B种口罩的数量为个，根据商品利润计算总利润，得到利润关于m的一次函数解析式，由a的取值范围分三种情况讨论即可．【详解】（1）解：设B种口罩的数量的售价为元，则A种口罩的售价为元，根据题意得：，解得，则，答：A种口罩的售价为元，B种口罩的售价为元；（2）设购进A种口罩个，则B种口罩的数量为个，根据题意得：，解得，设全部售完获得利润为y元，根据题意得：，∵，∴有以下三种情形：①当时，，∴y随m的增大而增大，又，∴时，y最大值；故A种口罩购进个，B种口罩购进个，利润最大；②当时，，获得利润均为元；③当时，，∴y随m的增大而减小，又，∴时，最大值；故A种口罩购进个，B种口罩购进个，利润最大．2.（2023·广东清远·二模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途经，保障人民群众的身体健康．据某市3月份统计，甲接种点完成一批加强针的接种任务用了m天，乙接种点完成相同数量的加强针接种任务多用2天，且乙接种点平均每天接种加强针的人数比甲接种点少20%．(1)求整数m的值．(2)接种工作包含登记、接种、留观，需要组队完成．某中学现有2160人符合接种加强针条件，甲接种点需要组建A和B两种团队到校接种，A种团队每小时可完成100人的接种，B种团队每小时可完成60人的接种．若AB两种团队共10个，其中A种团队不超过5个，要求上午9点同时开始工作，中午12点前（包含12点）完成．问甲接种点有几种派遣方案前往该中学可以在12点前（包含12点）完成该校加强针的接种．【答案】(1)8(2)有3种派遣方案【分析】（1）根据题意列方程求解即可；（2）根据题意，列不等式，解不等式即可；（1）解：根据题意得，解得：所以m的值为8．（2）设有A种团队x个，B种团队（10-x）个；，解得：x的解集为：，当x=3时，10-x=7；当x=4时，10-x=6；当x=5时，10-x=5；所以有3种派遣方案．3.（2023·山东济宁·一模）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行，北京是唯一一个既举办冬季奥运会又举办夏季奥运会的城市.为了迎接2022年北京冬季奥运会，某校准备举行冬季长跑比赛，为奖励长跑优胜者，学校需要购买一些冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融中性笔和徽章．了解到某商店中性笔的单价比徽章的单价多11元，若买2支中性笔和3个徽章共需67元．(1)中性笔和徽章的单价各是多少元？(2)该商店推出两种优惠方案，方案一：消费金额超过200元的部分打八折；方案二：全店商品打九折.若学校需要购买10支中性笔和30个徽章，选择哪种方案更优惠？【答案】(1)中性笔和徽章的单价分别是20元和9元(2)选择方案一更优惠【分析】（1）设中性笔的单价是元，则徽章的单价是元，根据买2支中性笔和3个徽章共需67元，即可列出一元一次方程，解出即可；（2）根据方案一与方案二进行计算，比较结果即可得出那个方案更优惠．【详解】（1）（1）设中性笔的单价是元，则徽章的单价是元，根据题意，得：，解得，．答：中性笔和徽章的单价分别是20元和9元．（2）（2）方案一：；，，方案二：．因为所以选择方案一更优惠．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题目条件正确的列出一元一次方程是解决问题的关键．题型03二元一次方程（组）与不等式的实际应用（最值）【解题策略】一般答题思路：①根据题意分别设两未知数为x和y并列方程；②解二元一次方程组。③根据题意，如与一次函数综合，则参考题型一答题即可。【典例分析】例．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产，两种不同款式的服装，每套款服装所用布料的米数相同，每套款服装所用布料的米数相同，若套款服装和套款服装需用布料米，套款服装和套款服装需用布料米．(1)求每套款服装和每套款服装需用布料各多少米；(2)该中学需要，两款服装共套，所用布料不超过米，那么该服装厂最少需要生产多少套款服装？【答案】(1)每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米(2)服装厂需要生产套款服装【分析】（1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）解：每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意得，，解得：，答：每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米；（2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意得，，解得：，∵为正整数，∴的最小值为，答：服装厂需要生产套款服装．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键．【变式演练】1．（2023·辽宁阜新·二模）在年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入件纪念册和件吉祥物共花费元，第二次购入件纪念册和件吉祥物共花费元．(1)分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价；(2)为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的倍，若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为元、元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．【答案】(1)每件纪念册的进价为元，每件吉祥物的进价元；(2)购入纪念册件和吉祥物件时，商店获得利润最高．【分析】（）设每件纪念册的进价为元，和每件吉祥物的进价元，根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（）设购入纪念册为件，吉祥物购入件，利润为元，根据题意可以写出利润与的函数关系式，然后根据的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值；本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【详解】（1）解：设每件纪念册的进价为元，和每件吉祥物的进价元，由题意得，解得：，答：每件纪念册的进价为元，每件吉祥物的进价元；（2）设购入纪念册为件，吉祥物购入件，利润为元，，∴，整理得，∵，∴随的增大而减小，∵购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的倍，∴，∴，∵为正整数，∴最小，而此时取得最大值，，答：购入纪念册件和吉祥物件时，商店获得利润最高．2．（2023·江苏常州·二模）学校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳．已知购买2根A型跳绳和1根B型跳绳共需元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需元．(1)购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元?(2)若班级计划购买A，B两型跳绳共根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，设购买A型跳绳m根，求购买跳绳所需最少费用是多少元?【答案】(1)购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需15元(2)购买跳绳所需最少费用是600元【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程及关系式是解题关键．（1）设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设所需的费用为W元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元，根据题意，得，解这个方程组，得，答：购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需元．（2）解：设所需的费用为W元，则，根据题意，得，，m的最大值是，，W随m的增大而减小，当时，W的最小值是，答：购买跳绳所需最少费用是600元．3．（2023·湖北十堰·二模）某汽车贸易公司销售，两种型号的新能源汽车，型车进货价格为每台万元，型车进货价格为每台万元，该公司销售台型车和台型车，可获利万元；销售台型车和台型车，可获利万元．(1)求销售一台型、一台型新能源汽车的利润各是多少万元？(2)该公司准备用不超过万元，采购，两种新能源汽车共台，问最少需要采购型新能源汽车多少台？(3)公司按照原售价销售型新能源汽车，每月可卖台，售价每降元，销量涨台．设该公司每台型新能源汽车降千元，要使降价后每月销售型新能源汽车所得的利润超过不降价时的每月销售型新能源汽车所得的利润，直接写出整数的最大值．【答案】(1)销售一台型、一台型新能源汽车的利润分别为万元，万元(2)最少需要采购型新能源汽车台(3)整数的最大值为【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出二次函数的表达式．（1）设销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元，根据“公司销售台型车和台型车，可获利万元；销售台型车和台型车，可获利万元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设需要采购型新能源汽车台，则采购型新能源汽车台，根据总价单价数量，结合总价不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；（3）设该公司每台型新能源汽车降千元后的利润为元，根据题意可得，然后计算当时所对应的的值，从而可确定“降价后每月销售型新能源汽车所得的利润超过不降价时的每月销售型新能源汽车所得的利润”的取值范围，结合题意可得结论；【详解】（1）解：设销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元，由题意，得：，解得：，答：销售一台型、一台型新能源汽车的利润分别为万元，万元；（2）设需要采购型新能源汽车台，则采购型新能源汽车台，由题意，得：，解得：，答：最少需要采购型新能源汽车台；（3）降价前每月销售型新能源汽车的利润为：（元），设每台型新能源汽车降千元，∴降价后每月销售型新能源汽车的利润：，当时，得：，解得：或，∴时，，∴整数的最大值为．4．（2024·陕西西安·一模）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元．(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元(2)水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元【分析】本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量的增减性是本题的关键．（1）分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；（2）将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得的总利润关于这个字母的函数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字母取何值时总利润取最大值，求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量．【详解】（1）解：设甲、乙两种水果的进价分别是元和元．根据题意，得，解得，甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元．（2）解：设购进甲水果千克，那么购进乙水果千克，，解得，根据题意，售完这两种水果获得的总利润，，随的减小而增大，当时，最大，此时，（千克），水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元．题型04二元一次方程（组）与不等式的实际应用（方案）【解题策略】一般答题思路：①根据题意分别设两未知数为x和y并列方程；②解二元一次方程组。③根据题意，如与一次函数综合，则参考题型一；如与方案性问题综合，则参考题型。【典例分析】例．（2023·湖北恩施·中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．(1)男装、女装的单价各是多少？(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元．(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；（2）设参加活动的女生有a人，则男生有人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意得：，解得：．答：男装单价为100元，女装单价为120元．（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人，根据题意可得，解得：，∵a为整数，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，故一共有11种方案，设总费用为w元，则，∵，∴当时，w有最小值，最小值为（元）．此时，（套）．答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．【变式演练】1．（2023·山东菏泽·二模）当前我国约有十分之一的教师因为种种原因患上嗓音疾病．针对于此，某校工会计划为超课时任务的教师配备音频放大器．已知购买2个型音频放大器和3个型音频放大器共需352元；购买3个型音频放大器和4个型音频放大器共需496元．(1)求两种类型音频放大器的单价；(2)该校准备采购两种类型的音频放大器共30个，且型音频放大器的数量不少于型音频放大器数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1)型音频放大器的单价是80元，型音频放大器的单价是64元；(2)最省钱的购买方案为：购买20个型音频放大器，10个型音频放大器．【分析】（1）根据题意可以列出二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意列不等式，即可得到结论．本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．利用方程的思想解答．【详解】（1）解：设型音频放大器的单价是元，型音频放大器的单价是元，根据题意得：，解得：答：型音频放大器的单价是80元，型音频放大器的单价是64元；（2）解：最省钱的购买方案为：购买20个型音频放大器，10个型音频放大器，理由如下：设采购个型音频放大器，则采购个型音频放大器，根据题意得：，解得：．设采购两种类型的音频放大器共需元，则，即．，随的增大而增大，又，当时，取得最小值，此时，最省钱的购买方案为：购买20个型音频放大器，10个型音频放大器．2．（2023·河南·三模）“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一，期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的，为历届冬奥会最高，某企业准备采购A，B两种型号的新能源客车，若采购辆A型新能源客车，辆B型新能源客车则共需要万元，若采购辆A型新能源客车，辆B型新能源客车则共需要万元．(1)求A，B两种型号新能源客车的采购单价分别是多少万元？(2)该企业准备采购A，B两种型号新能源客车共辆，但能用来采购的资金不超过万元，A型新能源客车每辆可以载客人，B型新能源客车可以载客人，那么如何安排采购方案，可以使这些车辆每天的载客量最大？每天最多可载客多少人？【答案】(1)A种型号新能源客车的采购单价是万元，B种型号新能源客车的采购单价是万元；(2)A型新能源客车采购辆，B型新能源客车采购辆，可以使这些车辆每天的载客量最大，每天最多可载客人．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，掌握题意，列出一次函数和二元一次方程是关键．（1）设，两种型号新能源客车的采购单价分别是万元、万元，根据采购辆A型新能源客车，辆B型新能源客车则共需要万元，若采购辆A型新能源客车，辆B型新能源客车则共需要万元，列出二元一次方程组进行解答；（2）设种型号新能源客车的采购数量是辆，则种型号新能源客车的采购数量是辆，根据能用来采购的资金不超过万元，列不等式求出m取值范围，再使这些车辆每天的载客量最大，进行解答．【详解】（1）解：设，两种型号新能源客车的采购单价分别是万元、万元，根据题意得：，解得：，答：种型号新能源客车的采购单价是90万元，种型号新能源客车的采购单价是50万元；（2）解：设种型号新能源客车的采购数量是辆，则种型号新能源客车的采购数量是辆，根据题意可得：，解得：，又型新能源客车每辆可以载客36人，型新能源客车可以载客22人，要使这些车辆每天的载客量最大，应让型新能源客车尽量多，即，型新能源客车采购5辆，型新能源客车采购5辆，（人，答：型新能源客车采购5辆，型新能源客车采购5辆，可以使这些车辆每天的载客量最大，每天最多可载客290人．题型05分式方程的实际应用【解题策略】列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审——仔细审题，找出等量关系；

(2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)验——检验增根；

(6)答——答题．分式方程中常见的数量关系：速度差=V甲-V乙=甲路程甲时间-时间差=T甲-T乙=甲路程甲速度-数量差=甲数量-乙数量=甲总价甲单价-单价差=甲单价-乙单价=甲总价甲单价-总工程量（1）=甲工效×甲时间+乙工效×乙时间【典例分析】例．（2023·辽宁阜新·中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．(1)求：足球和排球的单价各是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？【答案】(1)足球的单价是80元，排球的单价是65元；(2)学校最多可以购买70个足球．【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，依题意得：，解得：．又∵m为正整数，∴m可以取的最大值为70．答：学校最多可以购买70个足球．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式演练】1．（2023·山东泰安·二模）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙”为10元(2)该水果商城购买25千克“血橙”，15千克“脐橙”，最大利润是210元【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．（1）设每千克“脐橙”为元，则每千克“血橙”为元，根据题意列方程求解即可；（2）设可再购买千克“血橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意求出的取值范围；设总利润为元，并求出与的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：设每千克“脐橙”为元，则每千克“血橙”是元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，，答：每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙”为10元；（2）设可再购买千克“血橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意，得，解得；每千克“血橙”的利润为：（元，每千克“脐橙”的利润为：（元，设总利润为元，根据题意，得，因为，所以最的增大而增大，所以当时，有最大值，，此时，，答：该水果商城购买25千克“血橙”，15千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是210元．2．（2023·河南郑州·三模）卓越中学为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同．(1)求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？(2)若学校还需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少钱？【答案】(1)购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元(2)元【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．（1）设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，利用数量总价单价，结合学校用元购买了、两种体育器材共件，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出购买一件种器材所需费用，再将其代入中，即可求出购买一件种器材所需费用；（2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，根据再次购买的种器材的数量不多于种器村数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设学校再次购买两种器材共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元；（2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，根据题意得：，解得：．设学校再次购买两种器材共花费元，则，即，，随的增大而减小，又，且为正整数，当时，取得最小值，最小值．答：至少要花元钱．3．（2023·贵州黔东南·二模）某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加．今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：A型车B型车进货价格（元）800950销售价格（元）今年的销售价格1200(1)求今年A型车每辆售价多少元？(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且A型车辆至少30辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？【答案】(1)今年A型车每辆售价元(2)应进A型车30辆，B型车20辆.售完后获利最多【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．（1）设今年型车每辆售价元，去年型车辆的售价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出答案；（2）设今年进型车辆，则型车辆，总获利为元，根据题意得出关于的关系式，由一次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）解：设今年型车每辆售价元，去年型车辆的售价为元，由题意，得，解得，经检验：是原分式方程的解，且符合题意，答：今年型车每辆售价元；（2）解：设今年进型车辆，则型车辆，总获利为元，则，又，∴随的增大而减小，又，∴当时，最大为，∴应进型车30辆，型车20辆，售完后获利最多．4．（2023·广西南宁·二模）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人．(1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人；(2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问：①A、B两种游船每艘分别有多少个座位；②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．【答案】(1)七年级教师有26人，学生有274人(2)①A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；②见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）设八年级教师有x人，学生有y人，根据七、八年级的师生数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，根据八年级乘坐B型船要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，根据每艘游船恰好全部坐满，即可得出关于a，b的二元一次方程，变形后可得出，再结合a，b均为非负整数，即可得出各租船方案．【详解】（1）解：设八年级教师有x人，学生有y人，依题意，得：，解得：，∴．答：七年级教师有26人，学生有274人；（2）解：①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，依题意，得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，∴．答：A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，依题意，得：，∴．又∵a，b均为非负整数，∴，，，，，∴共有5种租船方案，方案1：租用13艘B型船；方案2：租用2艘A型船，10艘B型船；方案3：租用4艘A型船，7艘B型船；方案4：租用6艘A型船，4艘B型船；方案5：租用8艘A型船，1艘B型船．题型06二次函数的实际应用（最值）【解题策略】二次函数（方程）实际应用的一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求出自变量的取值范围；③化为顶点式，根据二次项系数“a”的正负性和对称轴判定最值。【典例分析】例．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【答案】(1)(2)6元(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质，即可解答．【详解】（1）解∶根据题意可得，该函数经过点，设y与x的函数关系式为，将代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为，（2）解；根据题意可得：，∴，整理得：，解得：，∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；（3）解：设利润为w，，∵，函数开口向下，∴当时，w随x的增大而增大，∵，∴当时，w有最大值，此时，∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．【变式演练】1．（2023·山东菏泽·三模）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．(1)求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）；(2)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；(3)求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大．【答案】(1)每盒产品的成本为30元；(2)(3)当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可；（3）先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为元，根据题意，得，解得，经检验是方程的解，，每盒产品的成本是：（元，答：每盒产品的成本为30元；（2）根据题意，得，关于的函数解析式为：；（3）由（2）知，∵，∴抛物线开口向下，当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元．2．（2022·安徽·模拟预测）面对全球疫情蔓延、芯片短缺等不利影响，新能源汽车销量仍大幅增长，因此，2022年的新能源汽车补贴标准在2021年基础上退坡30%．某新能源汽车销售公司去年二月份的销售额为300万元，今年受补贴标准的影响，二月份A型汽车的售价比去年同期每辆涨价1万元，在卖出相同数量的A型汽车的前提下，二月份的销售额为320万元．(1)求今年二月份每辆A型汽车的售价．(2)经过一段时间后，该销售公司发现，A型汽车的售价在二月份的基础上每涨1万元，销售量会减少2辆，已知A型汽车的进价不变，每辆12万元，那么如何确定售价才可以获得最大利润？【答案】(1)16万元(2)每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元【分析】（1）设今年二月份每辆型汽车的售价为万元．根据卖出相同数量的A型汽车列方程，解方程并检验即可得到答案；（2）设每辆型车的售价为元，利润为元．列出w关于a的二次函数，根据二次函数的性质求出答案即可；此题考查了二次函数的应用、分式方程的应用，读懂题意，正确列出方程和函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设今年二月份每辆型汽车的售价为万元．根据题意，得，解得．经检验，是分式方程的解且符合题意．答：今年二月份每辆型汽车的售价为16万元．（2）设每辆型车的售价为元，利润为元．根据题意，得，∴当每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元．3．（2023·山东青岛·三模）崂山是“海上第一名山”，其胜景在于它的山景和海景并存，名山蕴名水，名水育名茶，这是品茶人的讲究与去年相比，今年某种崂山茶叶的产量增加了千克，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了，解决下列问题：(1)已知去年这种崂山茶叶批发销售总额为万元，求这种茶叶今年每千克的平均批发价是多少元？(2)调查发现，若每千克崂山茶叶的平均销售价为元，则每天可售出千克；若每千克的平均销售价每降低元，每天可多卖出千克，工商部门规定，该茶叶利润率不得超过，设茶叶店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时售价取整数计算，该茶叶店一天的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)今年这种茶叶每千克的平均批发价是元(2)当每千克的平均销售价为元时，该茶叶店一天的利润最大，最大利润是元【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题和二次函数解应用题的方法与步骤是解答题此的关键．（1）设去年这种茶叶每千克的平均批发价是元，则今年这种茶叶每千克的平均批发价是元，然后根据等量关系“今年的销售量去年的销售量千克”列出方程，解方程即可得出答案；（2）设今年每千克平均销售价为元，先根据“工商部门规定，该茶叶利润率不得超过，”列出不等式，解此不等式求出的取值范围，再根据“总利润每千克的利润销售量”列出函数关系式，根据函数的性质结合的取值范围求出函数的求最值即可．【详解】（1）解：设去年这种茶叶每千克的平均批发价是元，则今年这种茶叶每千克的平均批发价是元．依题意得：，化简得：，解得：，检验后知道：是原方程的根，．答：今年这种茶叶每千克的平均批发价是元；（2）解：设今年这种茶叶每千克的平均售价为元，工商部门规定，该茶叶利润率不得超过，，，且整数，茶叶店一天的利润为元，，整理得：，，，当时，为最大，最大利润，答：当每千克的平均销售价为元时，该茶叶店一天的利润最大，最大利润是元．4．（2023·河南郑州·三模）随着社会的进步，科技的力量已融入到我们生活的方方面面为提高校学生足球队的技术水平，数学兴趣小组对某一主力球员的射门能力进行了大量的测试，并对采集的数据进行汇总分析，得出如下结论：如图所示，该球员在离球门点米远的处时将球踢出，球在离他米远的处上升到最大高度为米据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线．(1)求该抛物线的解析式；(2)已知球门的高为米（球门的上沿离地面的距离），请你帮忙计算一下，该球员要想一次性射门成功，他应该在离球门多远的范围内将球踢出．（答案精确到米，参考数据：）【答案】(1)(2)离球门米【分析】本题主要考查二次函数的应用，在利用二次函数解决实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，于是可设抛物线的顶点式为，将点的坐标代入即可求解；（2）当时，解得，，则该球员的最大射程为米，当时，解得，，则，以此即可求解．【详解】（1）该球员在离球门点米远的处时将球踢出，球在离他米远的处上升到最大高度为米．，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式为，将点代入得，，解得：，抛物线的解析式为；（2）当时，，解得：，，该球员的最大射程为（米），当时，，解得：，，，该球员应在离球门米出将球踢出时可以直接将球射入球门．题型07反比例函数的实际应用【解题策略】普通几何问题一般答题思路：①根据未知量，正确的设未知数；②通过图形获得定量和变量的等量关系；②根据题意列方程求值即可；动点几何问题一般答题思路：①用含未知数x的式子表示出已移动的量和关联的量；②根据面积、周长或移动距离等关系列方程（构建函数模型）；③根据点的位置进行分类讨论。【典例分析】例．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸；(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．【详解】（1）设函数关系式为，根据图象可得：，，当时，，，解得：，，随的增大而减小，要使气球不会爆炸，，此时，气球的半径至少为时，气球不会爆炸；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．【变式演练】1．（2023·广西玉林·模拟预测）为了更好助推乡村振兴，今年水果上市期间，某单位驻村工作队立足本地特色，在打通为农服务“最后一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作社，帮助果农进行销售，该村水果月销售额y（万元），在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分，成立村级供销合作社后是一次函数图象的一部分．(1)当时，求y与x的关系式，并求出该种水果4月份的销售额；(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？【答案】(1)当时，y与x的关系式为；万元(2)该村水果有6个月的月销售额不超过90万元【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用．（1）用待定系数法求出当时，y与x的关系式，然后令时求出y的值即可得到答案；（2）先求出当时，y与x的关系式为，然后分别求出当时和当时，月销售额不超过90万元的月份，即可得到答案．【详解】（1）解：设当时，y与x的关系式为，把点代入得，∴，∴当时，y与x的关系式为，∴当时，，∴当时，y与x的关系式为，4月份的销售额为45万元；（2）解：设当时，y与x的关系式为，把点和点代入得，∴，∴当时，y与x的关系式为，当时，令，则，∴，当时，，∴2月、3月和4月销售额不超过90万元；当时，令，解得，∴5月、6月和7月销售额不超过90万元；∴该村水果有6个月的月销售额不超过90万元．2．（2023·广东江门·一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为米的平台，垂直于水平面，滑道分为两部分，其中段是双曲线的一部分，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点为抛物线的顶点，且点的竖直高度为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．

(1)求滑道所在抛物线的解析式；(2)求甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离；(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点与最高点连线与水平面夹角应不大于，且由于实际场地限制，，请直接写出长度的取值范围．【答案】(1)(2)米(3)【分析】（1）点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出点坐标．又因为点为抛物线的顶点，且点到地面的距离为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．据此可求出解析式；（2）依据前面的解析式求出、的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；（3）先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可．【详解】（1）解：依题意，点到地面的距离为米，设点坐标为，，代入，解得，点距地面的距离为米，距点的水平距离为米，的坐标，，由题意得：，，故设滑道所在抛物线的解析式为，将的坐标，代入，得，解得：，则；（2）令，，解得：不合题意，舍去，又将代入，解得，甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离为米．（3）根据上面所得，，，时，此时，则点不可往左，可往右，则最小值为，又，，．长度的取值范围为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．3．（2023·辽宁抚顺·三模）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时：气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．

(1)请写出这一函数的解析式；(2)当气球内气体的体积为时，气体的气压是多少？(3)当气球内气体的气压为，气体的体积是多少？(4)当气球内的气压大于时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积应不小于多少？【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据温度=气体的气压气体体积V，求温度，再确定P与V的函数关系式；（2）把代入（1）中的函数关系式求即可；（3）把代入（1）中的函数关系式求即可；（4）依题意，即，解不等式即可．【详解】（1）设，将代入可得，解得，∴；（2）当时，；当气球内气体的体积为时，气体的气压是；（3）当时，，解得；当气球内气体的气压为，气体的体积是；（4）当时，，解得，即气球内气体的体积应不小于．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．4．（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．时间x/月份2345售价/（元/千克）1286甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．

(1)求与x之间的函数关系式；(2)求与x之间的函数关系式；(3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)为整数）(2)，且x为整数）(3)水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；（3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为，把代入解析式，则，解得，∴与x之间的函数关系式为为整数）；（2）解：把代入，得：，解得，∴与x之间的函数关系式为，且x为整数）；（3）解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则，=，对称轴为直线．∵，∴当时，w随x的增大而减小．∵x为整数，∴当时，w有最大值，最大值（元），答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元．【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．1．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．(1)求m、n的值；(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．【答案】(1)的值为3，的值为2(2)(3)0.5【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出、的值；（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润每支利润数量”分别列出代数式即可求出与的函数关系式，注意写出自变量的取值范围；（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令，先根据题意列出关于的关系式，再写出关于的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．【详解】（1）解：根据表格可得：，解得：，∴的值为3，的值为2；（2）当时，店主获得海鲜串的总利润；当时，店主获得海鲜串的总利润；∴；（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令，∵，∴，∴，∵，∴，∴随的增大而减小，当时，的值最小，由题意可得：，∴，即，解得：，∴的最大值是0.5．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键．2．（2023·江苏·中考真题）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．

(1)请解释图中点的实际意义；(2)求出图中线段所表示的函数表达式；(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有(2)(3)小时【分析】（1）根据点的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；（2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解；（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．【详解】（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时，则点的横坐标为，此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为，∴设直线的表达式为∴解得：∴直线的表达式为（3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则，解得：∴甲乙两地的距离为千米，设快车返回的速度为千米/小时，根据题意，解得：，∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时）【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键．3．（2023·海南·中考真题）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？【答案】甲型号客车租辆，乙型号客车租辆【分析】设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案．【详解】解：设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆，由题意得：，解得：，答：甲型号客车租辆，乙型号客车租辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题关键．4．（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：品名AB进价（元/件）4560售价（元/件）6690(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．①请求出W与m的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．【答案】(1)2880元(2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数；（2）①根据条件，可列，整理即可；②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可．【详解】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为：，解得，全部售完获利（元）．（2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即，，②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：由①可知，，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值，（元），，服装店第二次获利不能超过第一次获利．【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．5．（2023·山东淄博·中考真题）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：购票人数（人）每人门票价（元）605040*题中的团队人数均不少于10人现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．(1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？(2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费