直线与双曲线的位置关系（原卷版）

直线与双曲线的位置关系TOC\o"13"\h\z\u题型1直线与双曲线的交点坐标 1题型2直线与双曲线的位置关系 3题型3双曲线的切线方程 4题型4弦长问题 7题型5双曲线中三角形四边形问题 8题型6双曲线中的通径问题 9题型7取值范围与最值问题 11题型1直线与双曲线的交点坐标【方法总结】直线与双曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用。【例题1】（2023·河南信阳·高三统考期末）设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2-yA．52 B．12 C．5【变式11】1.（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，直线l过坐标原点并与双曲线交于P,Q两点（P在第一象限），过点P作l的垂线与双曲线交于另一个点AA．1 B．22 C．2 D．【变式11】2.（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知F1为双曲线C:x24【变式11】3.（2023秋·高二课时练习）如图，已知双曲线x2a2-y2b2(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线PA1,PA2(3)若△PA1A【变式11】4.（2022秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的实轴长为2，A、B分别是双曲线的左、右顶点，Dx(1)求双曲线C的方程；(2)若线段BD的中点为M，过M且与BD垂直的直线与AD交于N点，且MN=1，求点D【变式11】5.（2021春·湖北·高二校联考期中）如图，已知O为坐标原点，B，C为双曲线r:x2a2-y2b2=1上的两点.A1，A2为双曲线τ的左、右顶点，若______，从①双曲线（1）求双曲线τ的方程：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（2）已知点T(-1,0)，点B在第一象限，且B，C关于y轴对称，直线A2B，A2题型2直线与双曲线的位置关系【方法总结】将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程x2a2-y若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点【例题2】（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C1：y2a2-x2b2=1及双曲线C2：y2bA．2 B．12 C．5【变式21】1.（2021秋·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期中）已知双曲线C的方程为x2(1)求与双曲线C有公共渐近线，且过点(2,2)的双曲线标准方程；(2)当过点(2,1)的直线l与双曲线C有两个公共点时，求直线l斜率取值范围.【变式21】2.（2012·广东佛山·高三阶段练习）已知圆C1：x-42+y2=1，圆C2（1）求直线l的方程；（2）直线l上是否存在点Q，使点Q到点A-22,0【变式21】3.（2024·全国·高三专题练习）已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2，其一条渐近线斜率为2．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点A1,1能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于P、Q两点，且点A是弦PQ的中点？如果直线l【变式21】4.．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线m：y=kx-1与双曲线C的左、右两支分别交于P,Q两点，与双曲线的渐近线分别交于M,题型3双曲线的切线方程【方法总结】过圆x-a2+y-b2=过圆x-a2+y-b2=过椭圆x2a2+y过双曲线x2a2-【例题3】（2023·全国·高三专题练习）直线y=kx+1与双曲线x23A．1 B．2 C．3 D．4【变式31】1.(多选)（2021秋·湖南长沙·高二长沙一中校考期中）下列直线过点A（0，1）且与双曲线x2A．2x-y+1=0 B．3x-y+1=0 C．10x-y+1=0 D．【变式31】2.（2023·全国·高三专题练习）过点P(3,3)作双曲线C：x2-y【变式31】3.（2022秋·山西·高二长治市上党区第一中学校校联考期中）已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线(1)求双曲线C的标准方程；(2)若点P为双曲线C右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线C在点P处的切线PT平分∠F【变式31】4.（多选）（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，过双曲线C:x2-y2A．△AOB的面积为bB．P为AB的中点C．AB的最小值为2D．若存在点P，使cos∠F1【变式31】5.（2023·全国·高三专题练习）平面直角坐标系Oxy中，Px0,y0x0>a是双曲线C:x2a2-y2(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)设点P关于x轴的对称点为Q，直线PB与直线QA交于点M，过点M作x轴的垂线，垂足为N，求证：直线PN与双曲线C只有一个公共点.【变式31】6.（2020秋·江苏南通·高二江苏省平潮高级中学校考期中）焦距为2c的双曲线C：x2a2（1）若双曲线C是“等差双曲线”，求其渐近线的方程；（2）对于焦距为10的“等差双曲线”，若过点M0,2的直线l与其仅有一个公共点，求直线l【变式31】7.（2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知C1:x(1)证明：y=x-2总与C1(2)在（1）的条件下，若y=x-2与C1在y轴右侧相切于A点，与C2在y轴右侧相切于B点．直线l与C1和C2l题型4弦长问题【方法总结】弦长公式已知直线y=kx+m与双曲线E:x2a2【例题4】（2023·全国·高二专题练习）过双曲线x2-y23=1的左焦点(1)求证：l与双曲线有两个不同的交点A,B；(2)求线段AB的中点M的坐标和AB.【变式41】1.（2023秋·高二课时练习）已知双曲线C:x2a(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线y=x+2与双曲线C交于不同的两点A，B，求AB.【变式41】2.（2023春·上海·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的焦距为4，虚轴长为2，左右焦点分别为(1)求双曲线C的方程及其离心率e；(2)如果直线l过点F2且AB=23(3)是否存在直线l使得A，B两点都在以D(0,-1)为圆心的圆上？如果存在，求【变式41】3.（2023·全国·高二专题练习）设第一象限的点Mx0,y0(1)求b的值，并证明：22(2)若直线l:y=x-3和曲线C相交于E，F两点，求EF．【变式41】4.（2023春·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考开学考试）双曲线y2a2-x2b(1)求双曲线方程；(2)过双曲线的下焦点作倾角为45∘的直线交曲线于M、N，求MN题型5双曲线中三角形四边形问题【例题5】（2024·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，A(1,0)，B(-1,0)，直线AM，BM的斜率之积为4，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)直线l经过点0,-3，与E交于P，Q两点，线段PQ中点D为第一象限，且纵坐䏡为32，求△OPQ【变式51】1.（2024·全国·高三专题练习）设动点Px,y与点F10,0之间的距离和点P到直线l:x=102的距离的比值为2(1)求曲线C的方程；(2)若O为坐标原点，直线y=12x+1交曲线C于A,B【变式51】2.（2023秋·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线C:x2a2-y2(1)求双曲线C的方程；(2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点（不与A点重合），且两条直线的斜率k1，k2满足k1+k2=1，直线PQ与直线x=2，y【变式51】3.（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知A-2,0，B2,0，对于平面内一动点P(1)求点Р的轨迹C的方程；(2)当x>2时，直线l与曲线C交于不同两点Q，R，与直线y=x交于点S，与直线y=-x交于点T，若TQ=QR=【变式51】4.（2023春·云南·高三阶段练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率是3，实轴长是2，OPx0,y0为双曲线C上任意一点，过点(1)当l的方程为x0xa(2)设MP=λPN，求证：【变式51】5.（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线x23-y2=1,F(1)若P的坐标为3,2，求证：l为∠(2)过F1,F2分别作l的平行线l1,l2，其中l1交双曲线于A､B题型6双曲线中的通径问题【方法总结】双曲线的半通径是b2a【例题6】（2022秋·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线C的焦点为F1-5,0，F25,0，点P在双曲线CA．x24-y2=1【变式61】1.（2022·全国·高三专题练习）设双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别是F1A．6 B．3 C．2 D．3【变式61】2.（2022秋·高二课时练习）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线y2A．94 B．92 C．9【变式61】3.（多选）（2022秋·江苏扬州·高二扬州市第一中学校考期中）如图，已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，左､右顶点分别为A,B，点M在双曲线C上，且A．e=B．AC．直线OM的斜率为-2D．直线AM的斜率为-3【变式61】4.（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2(1)求C的方程；(2)过点A0,-1的直线l2与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若GH=λ题型7取值范围与最值问题【方法总结】【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.【例题7】（2023秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）平面直角坐标系xOy中，P为动点，PA与直线x=3y垂直，垂足A位于第一象限，PB与直线x=-3y垂直，垂足B位于第四象限，∠APB>90°且APBP(1)求C的方程；(2)已知点M-2,0，N2,0，设点T与点P关于原点O对称，∠MTN的角平分线为直线l，过点P作l的垂线，垂足为H，交C于另一点Q，求【变式71】1.（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线x2a2-y2b2=1(1)求双曲线的方程；(2)过右焦点F2作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线OP，其中OP⊥MN，垂足为E,P为射线OP与双曲线右支的交点，求4【变式71】2.（2023·湖南岳阳·湖南省岳阳县第一中学校考二模）双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左顶点为A(1)求双曲线C的方程；(2)M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2=-2，求点【变式71】3.（2023秋·江西萍乡·高二芦