第2章圆锥曲线（单元提升卷）

第2章圆锥曲线（单元提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，16题每题4分，712题每题5分，1．抛物线的准线方程为．【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．【解答】解：的准线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．2．已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为2．【分析】利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义即可求解．【解答】解：由椭圆方程得：，，，，，由椭圆定义知：，，解得：．故答案为：2．【点评】本题考查椭圆的定义及性质，属于基础题．3．若无论实数取何值，直线与圆恒有交点，则的取值范围为，．【分析】恒过点，判断这个定点与圆的位置关系即可．【解答】解：恒过点，无论实数取何值，直线与国恒有交点，则在圆内或圆上，则．则的取值范围为，．故答案为：，．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，属于基础题．4．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，，则点的横坐标为．【分析】设准线为与轴交点为，则可知，又，从而可求出，从而可得点的纵坐标，再代入抛物线方程，即可求解．【解答】解：如图，设准线为与轴交点为，根据题意及抛物线的几何性质可得：，又，，，，．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属基础题．5．已知椭圆，，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，则直线与所成角大小为．【分析】根据椭圆的几何性质及向量法即可求解．【解答】解：根据题意可得，，，，，，，，，，，直线与所成角大小为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，向量法的应用，属基础题．6．已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当时，，则．【分析】由已知结合抛物线的定义可求得，再根据余弦定理求解．【解答】解：过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，．由题意，点到准线的距离为：，解得，则，．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是中档题．7．已知椭圆的左、右焦点分别为、．若为椭圆上一点，且，则△的面积为7．【分析】根据椭圆的定义和已知条件求解，进而求解，即可求解结论．【解答】解：椭圆，，，，，，，可得，．故△的面积为：．故答案为：7．【点评】本题考查椭圆的性质，涉及椭圆中三角形的面积和余弦定理的应用，属于中档题．8．已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是．【分析】由恒成立可知，始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离即为线段长度的最小值．【解答】解：如图，由题可知，圆心为点，半径为，若直线上存在两点，，使得恒成立，则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为，所以长度的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．9．高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆．通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率．【分析】建立平面直角坐标系，解得图中、的横坐标，列方程组即可求得椭圆的、，进而求得椭圆的离心率．【解答】解：以为原点建立平面直角坐标系，则，，直线的方程为，设，，由到直线的距离为1，得，解之得或（舍，则，又设直线的方程为，由到直线的距离为1，得，整理得，则，又，故，则直线的方程为，故，由，解得，故椭圆的离心率．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．10．已知双曲线的焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为．【分析】由双曲线的定义和三角形的余弦定理与中线长公式，化简整理，可得双曲线的离心率．【解答】解：设，，由双曲线的定义可得，在△中，由余弦定理可得，即为，即有，由三角形的中线长公式，可得，即，化为，则．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理和中线长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则4．【分析】推得四边形是平行四边形，再由双曲线的定义和平行四边形的性质，推得平行四边形的邻边的长，由余弦定理和向量数量积的定义，可得所求值．【解答】解：双曲线的，，，设在第一象限，在第四象限，设，，由题意可得，由，，可得四边形是平行四边形，则，由双曲线的定义，可得，即，即有，，在△中，由余弦定理可得，即有，则．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及平行四边形的性质、余弦定理的运用和向量数量积的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线，的离心率分别为，，则的最大值是．【分析】由，设，然后由离心率公式和辅助角公式化简即可求解．【解答】解：由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为，则，所以，又，故设，所以，当时，取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及正弦函数的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。13．抛物线的方程为，，焦点为，点为上一点，且，则的值为A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用抛物线的性质，列出方程，求解即可．【解答】解：由题意可得，解得．故选：．【点评】本题考查抛物线的定义的应用，考查运算求解能力．是基础题．14．已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为A． B． C． D．【分析】由题意设圆心，利用，即可求解．【解答】解：圆心在直线上，设圆心，直线与圆相切于点，，即，解得，圆心，半径为5，则圆的方程为．故选：．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．15．已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是A． B． C． D．【分析】要使，只要，只要，即只要，【解答】解：要使，只要，只要，因为直线的斜率为，即只要，设直线方程为：，联立，整理可得：，因为为方程的一个根，故，，所以点，可得，由于，故，令，可得，可得，可得离心率．所以离心率的取值范围是．故选：．【点评】本题考查椭圆的性质的应用及直线与圆相切的性质的应用，属于中档题．16．设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为A． B． C． D．【分析】根据题意及三角形重心的性质易得，，又直线与的右支交于，两点，从而可得，从而可得，又易知当离心率时，，，，四点共线，从而可得，再根据点差法及双曲线的几何性质可得：直线斜率关于的函数模型，从而通过函数思想，即可求解．【解答】解：设为的中点，为的重心，，又，从而可得，，又直线与的右支交于，两点，，，经检验知：当离心率时，，，，四点共线，，又根据点差法易得，又，，又，，，，故选：．【点评】本题考查三角形重心的性质，直线与双曲线的位置关系，点差法的应用，不等式思想，函数思想，属中档题．三、解答题（本大题共有5题78分，1719题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。17．已知直线，圆．（1）求直线与圆相交所得的弦长；（2）求圆关于直线对称所得的圆的方程．【分析】（1）设直线与圆相交的弦为线段，求得圆心到直线的距离，利用勾股定理即可求解；（2）设圆关于直线对称所得的圆为圆，由题意可得点和点关于直线对称，设，由对称性求出点的坐标，即可得解．【解答】解：（1）设直线与圆相交的弦为线段，因为圆心，半径为2，则圆心到直线的距离，由题意知，解得，则直线与圆相交所得的弦长为；（2）设圆关于直线对称所得的圆为圆，由题意可得圆心和圆心关于直线对称，且圆和圆的半径相等，都等于2，设圆心，则，解得，则，，故圆的方程为．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．18．在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，，与圆交于点，．（1）若直线的斜率为3，求的面积；（2）若，求的长．【分析】（1）直线的方程为，计算，再计算面积得到答案；（2）设直线，根据得到，计算得到答案．【解答】解：（1）若直线的斜率为3，则直线的方程为，所以点到直线的距离为点到直线的距离为，所以，所以；（2）由题可知，直线的斜率显然存在且不为0，设为，则直线，所以点到直线的距离，所以，，所以，解得，因为直线与直线互相垂直，所以直线，所以点到直线的距离，所以．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．19．已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于、两点．（1）求双曲线的方程；（2）若，求的大小；（3）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由．【分析】（1）由短轴长及离心率的值，以及，，之间的关系，可得，，的值，进而求出双曲线的方程；（2）由双曲线的定义可得的值，在△中，由余弦定理可得的余弦值，进而可得角的大小；（3）假设存在满足条件的直线，设直线的方程没有双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由题意可得，代入整理可得这样的参数不存在．【解答】解：（1）由题意可得，解得，，所以双曲线的方程为：；（2）由双曲线的定义可得，，在△中，由余弦定理可得，所以；（3）假设存在直线满足条件，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，且，设，，，，联立，整理可得：，可得△，即，且且，，，因为点在以为直径的圆上，所以，即，，，可得，即，整理可得：，即，整理可得：，解得（舍，所以假设不成立，即不存在这样的直线满足条件．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，直线与双曲线的综合应用，属于中档题．20．已知椭圆为坐标原点．（1）求的离心率；（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；（3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于，两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用参数方程，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得，，，再联立直线与椭圆方程得到，关于的表达式，进而化简得到与的关系，由此得解．【解答】解：（1），，，则，所以；（2）设，，，故当时，；当时，．（3）设，，，，，直线，，故，，，联立方程，消去整理得，则，，，故．【点评】本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．21．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数．（1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；（2）当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围；（3）无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）根据类比推理，即可求解；（2）根据题意可得时，恒成立，再根据函数，，分类讨论利用导数，即可求解；（3）归纳猜想，再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）平方关系：；两角和角公式：；导数：；（2）因为当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，所以时，恒成立，设，，则由（1）可知，①当时，由，又，故，等号不成立，所以，又此时，所以，所以为在上单调递增，所以，所以对任意，恒成立，满足题意；②当时，设，，则，所以在上单调递增，又，所以根据零点存在性定理可知：存在